具有逆斷面的正則半群上的同余

馮瑩瑩，商 宇

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東佛山528000；2.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南普洱665000）

具有逆斷面的正則半群上的同余

馮瑩瑩1，商 宇2

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東佛山528000；2.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南普洱665000）

給出具有逆斷面的正則半群上同余的3種刻畫方式：IR，ΛL和LR。

逆斷面；正則半群；同余；刻畫

自從Blyth和McFadden在1982年提出具有逆斷面的正則半群的概念后，這類半群因具有相對集中的逆子半群的結(jié)構(gòu)而備受關(guān)注。不少作者先后研究了這種半群，并得到了豐碩的成果。Saito于1982年給出了這類半群的結(jié)構(gòu)定理：具有逆斷面的正則半群S由3個構(gòu)件I、S°和Λ組成，其中S°是S的逆子半群，I、Λ分別為左正則帶、右正則帶。此外，左逆子半群L、右逆子半群R也是我們比較感興趣的結(jié)構(gòu)子半群。在這類半群的同余的研究問題上，汪立民［1］首創(chuàng)性地給出了具有Q-逆斷面的正則半群上同余的刻畫：具有Q－逆斷面S°的正則半群S上的同余可由3個結(jié)構(gòu)構(gòu)件I、S°和Λ上的同余所作成的同余三元組確定。利用這種同余刻畫方式，可以研究S上的同余格。隨后，唐西林和汪立民［2］對這種方法進(jìn)行推廣，刻畫了具有逆斷面的正則半群上的同余，并在文獻(xiàn)［3］中研究了此類半群的同余格上T、Tr、Tl、U、V這5個等價關(guān)系。本文則從另一個角度給出具有逆斷面的正則半群上同余的另外3種刻畫方式，它們分別由結(jié)構(gòu)構(gòu)件I和R，Λ和L，以及L和R上的同余所作成的同余對給出。

本文沿用文獻(xiàn)［4-5］中的記號。設(shè)S是半群，記S的冪等元集為E（S），S上的同余格為C（S）。記為a的逆元集。設(shè)γ是S上的一個關(guān)系，由γ生成的同余記為γ*。

設(shè)S是正則半群，S°是S的逆子半群，如果S°含有且只含有S的每個元的一個逆元，即對任意x∈，則稱S°為S的逆斷面。x在S°中惟一的逆元記作x°，因此記（x°）-1= x°°，則對任意x∈S，x°°°=x°。在此作一個約定，下文中所指的半群S，如無特別聲明，均表示具有逆斷面S°的正則半群。下面列舉這類半群的一些基本性質(zhì)。

結(jié)論1設(shè)S是具有S°逆斷面的正則半群，則

（1）（?x，y∈S）（xy）°=y°（xyy°）°=（x°xy）°x°=y°（x°xyy°）°x°。

（2）（?x，y∈S）（xy°）°=y°°x°。

（3）S是純正的當(dāng)且僅當(dāng)（?x，y∈S）（xy）°=y°x°［6］。

文獻(xiàn)［2］中針對具有逆斷面S°的正則半群的以I、S°、Λ為構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，用同余三元組給出具有逆斷面的正則半群上同余的刻畫。我們首先把其中的符號和結(jié)論引述如下。設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，ρ是S上的同余，記

結(jié)論2設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群。若xρy，則x°ρ°y°［2］。

如果I上的同余τ滿足

則稱τ是I上的正規(guī)同余。Λ上的正規(guī)同余可以對偶地定義。

設(shè)τI、τΛ分別為I、Λ上的同余，π為S°上的同余，如果三元組（τI，π，τΛ）滿足

則稱（τI，π，τΛ）為S上的同余三元組。定義S上的關(guān)系ρ（τI，π，τΛ）為

結(jié)論3設(shè)S是具有逆斷面的正則半群，對S上的每一同余三元組（τI，π，τΛ），ρ（τI，π，τΛ）是使在I、S°、Λ上的限制分別為τI、π、τΛ的惟一同余。反之，S上的每一同余均可如此構(gòu)造［2］。

1　同余的刻畫和同余格

Saito在文獻(xiàn)［8］中以I、R為構(gòu)件得到具有逆斷面S°的正則半群S的結(jié)構(gòu)定理。在本節(jié)中，筆者基于這個結(jié)構(gòu)定理，引入I、R上同余相容的條件，以及用I、R上的同余作成同余對，給出S上相應(yīng)的同余的刻畫。首先，考慮S上的同余在子半群R和L上的限制。對ρ∈C（S），分別規(guī)定R、L上的關(guān)系ρR、ρL為

在引理1的觀點(diǎn)下，可以認(rèn)為ρR、ρL是ρ分別在R、L上的限制。

引理2設(shè)τ∈C（R），a，b∈R且a τ b，則a°τ b°。

證明 因?yàn)镽是具有逆斷面S°的正則半群，τ∈C（R），a τ b，由引理1知，a°τ b°。

下面定義R和L上的正規(guī)同余。設(shè)S為半群，T為S的子半群，ξ∈C（T），如果存在ρ∈C（S）使得則稱ξ可擴(kuò)張到S上。

定義1設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，τ是R上的同余，若τ滿足

則稱τ為R上的正規(guī)同余。

設(shè)λ為L上的同余，若λ滿足

則稱λ為L上的正規(guī)同余。

下面的定理說明正規(guī)同余正是可擴(kuò)張的同余。

定理1設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，τ為R上的同余，則τ是正規(guī)的當(dāng)且僅當(dāng)τ能擴(kuò)張到S上。

證明 若τ能擴(kuò)張到S上，則顯然τ是正規(guī)的。反之，設(shè)τ為R上的正規(guī)同余，定義S上的關(guān)系ρ為

易見，ρ是S上的等價關(guān)系。設(shè)x ρ y，t∈S。對任意a∈R，注意到

于是，（atx）°°=（at）°°（at）°（（at）°°（at）°atx）°°。而x ρ y，（at）°°（at）°（at）∈R，由ρ的定義，有

又，（at）°°（at）°∈E（S°）?R，τ是R上的同余，故

即（atx）°°（atx）°atx τ（aty）°°（aty）°aty。因此，tx ρ ty。另一方面，注意到

從而，（axt）°°=（ax）°°（ax）°（（ax）°°（ax）°axtt°）°°t°°。由x ρ y，知

又，t°°∈I，由τ的正規(guī)性，有

及（（ax）°°（ax）°（ax）·tt°）°τ（（ay）°°（ay）°（ay）·tt°）°，從而

因?yàn)椋ǎ╝x）°°（ax）°（ax）τ（ay）°°（ay）°（ay），由引理2，有

所以

注意到t°°t°∈E（S°）?R，t°°t°t∈R，τ為R上的同余，故

即（axt）°°（axt）°（axt）τ（ayt）°°（ayt）°（ayt），從而xt ρ yt。因此，ρ是S上的同余。

對偶地，若λ為L上的同余，則λ是正規(guī)的當(dāng)且僅當(dāng)λ可擴(kuò)張到S上。

證明 設(shè)a，b∈R，若aτb，則aτ*b，從而。反之，若即aτ*b，則存在s1，…，sn，t1，R，使得

其中（xi，yi）∈τ（i=1，2，…，n）。由假設(shè)，τ是R上的正規(guī)同余，故存在ρ∈C（S），使得（i=1，2，…，n），則（xi，yi）∈ρ（i=1，2，…，n），于是（sixiti，siyiti）∈ρ（i=1，2，…，n），從而

引理3設(shè)S為具有逆斷面S°的正則半群，則對任意ρ，σ∈C（S），有

因此，

證明 設(shè)ρ1?σ1，ρR?σR，x，y∈S，且xρy，則x°ρ°y°，x°°ρ°y°°，從而xx°ρyy°，x°°x°x ρy°°y°y。而ρ1?σ1，ρR?σR，故，xx°σyy°，x°°x°x σy°°y°y，從而xx°·x°°x°x σyy°·y°°y°y，即xσy，從而ρ?σ。反之，若ρ?σ，易見ρ1?σ1，ρR?σR。

定義2設(shè)S為具有逆斷面S°的正則半群，τI、τR分別為I、R上的正規(guī)同余且滿足

則稱（τI，τR）為S上的IR－同余對。定義S上的關(guān)系ρ（τI，τR）為

下面的引理是對上面的定義作進(jìn)一步的解釋。

引理4設(shè)（τI，τR）為S上的IR－同余對，則

證明 設(shè)e°，f°∈E（S°）。若e°τIf°，由定義2，（e°e°）°τR（e°f°）°，即e°τRe°f°。同理，（f°e°）°τR（f°f°）°，即f°e°τRf°。故。若e°τRf°，由定義2，（e°e°）（e°e°）°τI（f°e°）（f°e°）°，即于是

下面給出S上同余的第1種刻畫。

定理2設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，對S上的任一IR－同余對（τI，τR），關(guān)系ρ（τI，τR）為使在I、R上的限制分別為τI、τR的惟一同余。反之，S上任一同余都可以如此構(gòu)造。

證明 設(shè)（τI，τR）是S上一IR－同余對，記ρ（τI，τR）=ρ。易見ρ是S上的等價關(guān)系。設(shè)x，y∈S且xρy，則xx°τIyy°，x°°x°x τRy°°y°y。對任意z∈S，首先，由定義2知

又，xx°τIyy°，由引理2知，x°°x°=（xx°）°τI（yy°）°=y°°y°，而τI是I上的同余，故

即（xz）（xz）°τI（yz）（yz）°。另一方面，注意到

（x°°x°xzz°）°°τR（y°°y°yzz°）°°，而x°°x°τIy°°y°，由引理4，x°°x°τRy°°y°。又，x°°x°x τRy°°y°y，由τR是R上的正規(guī)同余，得（x°°x°xzz°）°（x°°x°xzz°）τR（y°°y°yzz°）°（y°°y°yzz°）。而z°°z°∈E（S°）?R，z°°z°z∈R，τR∈C（R），于是

即（xz）°°（xz）°（xz）τR（yz）°°（yz）°（yz）。故，xzρyz。

其次，因?yàn)閤x°τIyy°，由τI的正規(guī)性得（z°zxx°）（z°zxx°）°τI（z°zyy°）（z°zyy°）°。再由τI的正規(guī)性，得z°°（z°zxx°）（z°zxx°）°z°τIz°°（z°zyy°）（z°zyy°）°z°。而zz°∈I，τI是I上的同余，故

即（zx）（zx）°τI（zy）（zy）°。另一方面，注意到

由xx°τIyy°及定義2得

從而（z°°z°zxx°）°°τR（z°°z°zyy°）°°。而x°°x°τIy°°y°，由引理4得，x°°x°τRy°°y°。又，z°°z°∈E（S°）?R，τR∈C（S），于是，有

即（zx）°°（zx）°（zx）τR（zy）°°（zy）°（zy）。所以，zxρzy，從而ρ是S上的同余。

設(shè)e，f∈I，若e ρIf，即e ρIf，則e ρ f，因此ee°τIff°，即e τIf。反之，若e τIf，由引理2，e°τIf°；由引理4，e°τRf°。從而ee°e°e=e°τRf°=f°°f°f，進(jìn)而e ρ f，即e ρIf，所以ρI=τI。設(shè)a，b∈R，若a τRb，由引理1，a ρRb，從而a ρ b，因此a°°a°a τRb°°b°b，即a τRb。反之，若a τRb，即a°°a°a τRb°°b°b，由引理2，a°τRb°，從而a°°a°τRb°°b°。而a°°a°=a°°a°aa°=aa°，b°°b°=b°°b°bb°=bb°，所以aa°τRbb°。又，aa°=a°°a°，bb°=b°°b°∈E（S°）。由引理4，aa°τIbb°。于是，aρb，從而aρRb，ρR=τR。

反之，設(shè)σ∈C（S），易證（σI，σR）是IR－同余對，由前述的證明可知，ρ（σI，σR）是同余。易見σ?ρ（σI，σR）。設(shè)x ρ（σI，σR）y，則xx°σIyy°，x°°x°x σRy°°y°y，即x°°x°x σ y°°y°y，于是，x=xx°·x°°x°x σ yy°·y°°y°y，從而σ=ρ（σI，σR）。

若S是具有Q－逆斷面S°的正則半群，則定義2的條件可用下列條件代替

由定理2，對任一同余ρ，可得IR－同余對Jρ=（ρI，ρR）。反之，對任一IR－同余對，存在同余ρJ與之相對應(yīng)。由此可見是互逆的映射，且ρJρ=ρ，JρJ=J。

記S上的IR－同余對的集合為CPIR（S），定義CPIR（S）上的序≤為按分量的包含。易見，≤是CPIR（S）上的偏序。由引理3，有

由定理2知C（S）與CPIR（S）作為偏序集同構(gòu)，從而作為（完全）格同構(gòu)。下面確定CPIR（S）中元素的∨和∧。

引理5設(shè)S為具有逆斷面S°的正則半群，Ψ為S上的一族同余，對ρ∈Ψ，記Jρ=（ρI，ρR），則

推論2設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，Γ為非空的一族S的IR－同余對，記J＝（τI，τR）∈Γ，則

推論3設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，則CPIR（S）關(guān)于偏序≤是一個格，且CPIR（S）中的運(yùn)算為

證明 由C（S）與CPIR（S）間為格同構(gòu)及引理5、推論2可得。

針對具有逆斷面S°的正則半群S的以子半群I、R為構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，我們有其上同余的IR－刻畫。對偶地，S的結(jié)構(gòu)也可以Λ、L為構(gòu)件。相應(yīng)地，可以得到其上同余的第2種刻畫——ΛL－刻畫。

定義3設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，τΛ、τL分別是Λ、L上的正規(guī)同余且滿足

則稱（τL，τΛ）為S上的ΛL－同余對。定義S上的關(guān)系ρ（τΛ，τL）為

定理3設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，對S上的任一ΛL－同余對（τΛ、τL），關(guān)系ρ（τΛ，τL）是使在Λ、L上的限制分別為τΛ、τL的惟一同余。反之，S上的任一同余都可以如此構(gòu)造。

我們還可以給出具有逆斷面的正則半群上同余的第3種刻畫——基于以L、R為構(gòu)件結(jié)構(gòu)的相應(yīng)的同余的刻畫。

定義4設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，τL、τR分別為L、R上的正規(guī)同余且滿足

則稱（τL、τR）為S上的LR－同余對。定義S上的關(guān)系ρ（τI，τR）為

下面的引理保證定義有意義。

引理6設(shè)（τL、τR）是S上的LR－同余對，則

證明 略。

定理4設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群，（τL、τR）是S上一LR－同余對，則關(guān)系ρ（τI，τR）是使在L、R上的限制分別為τL、τR的惟一同余。反之，S上的任一同余均可如此構(gòu)造。

證明 略。

若S是具有Q－逆斷面S°的正則半群，則定義4的條件可用下列條件代替

［1］WANGLM.On Congruence Lattices ofRegular Semigroups with Q-inverse Transversals［J］.Semigroup Forum，1995，50：141 -160.

［2］TANGXL，WANGLM.Congruences on Regular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Communications in Algebra，1995，23（11）：4157-4171.

［3］WANGLM，TANGXL.Congruence Lattices ofRegular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Communications in Algebra，1998，26（4）：1243-1255.

［4］HOWIE J M.Fundamentals ofSemigroup Theory［M］.London：Clarendon Press，1995.

［5］PASTIJNF，PETRICH M.Congruences on Regular Semigroups［J］.Tran Amer Math Soc，1986，295（2）：607-633.

［6］SAITOT.Construction ofRegular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Proc Edinburgh Math Soc，1989，32：41-51.

［7］TANGXL.Regular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Semigroup Forum，1997，55：24-32.

［8］SAITOT.ANote on Regular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Semigroup Forum，1986，33：149-152.

［9］PASTIJN F，PETRICH M.The Congruence Lattice ofa Regular Semigroup［J］.Journal ofPure and Applied Algebra，1988，53：93-123.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Congruences on regular semigroups with inverse transversals

FENGYing-ying，SHANGYu

（1.School ofMathematics and Data，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China；2.School ofMathematics and Statistics，Puer University，Puer 665000，China）

It is presented three ways of characterization of congruences on regular semigroups with inverse transversal：LR，ΛL and LR.

inverse transversal；regular semigroup；congruences；characterization

O152.7

A

1008-0171（2016）04-0001-07

2016-03-26

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃資助項(xiàng)目（fsyq201408）

馮瑩瑩（1980-），女，廣東廣州人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院講師，博士。