一個歐拉不等式加強猜想的證明

廣東省廣雅中學　(510160)

楊志明

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一個歐拉不等式加強猜想的證明

廣東省廣雅中學(510160)

楊志明

文[1]證明了文[2]提出的兩個問題：

設 ΔABC 的三邊為 a,b,c ，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有

最后提出如下

猜想1設 ΔABC 的三邊為 a,b,c ，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有

經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，(3)式成立.

f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.當R=8r 時,R-8r=0,f(s2)=1056r2s2>0.當2r≤R<8r 時,R-8r<0,此時 f(s2) 是關于 s2的一元二次函數(shù)，且開口向下.

由Gerretsen不等式知， 16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2.要證明 f(s2)≥0 ，只需證明 f(16Rr-5r2)≥0 且 f(4R2+4Rr+3r2)≥0 即可.f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.f(4R2+4Rr+3r2)=16R5-64R4r+96R3r2-64R2r3+16Rr4-32r5=16(R-2r)(R4-2R3r+2R2r2+r4)=16(R-2r)[R2(R-r)2+r2(R2+r2)]≥0.

綜上可知,f(s2)≥0.

由(1)和(3)式不難提出如下猜想：

猜想2設ΔABC的三邊為a,b,c，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有

猜想3設ΔABC的三邊為 a,b,c，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有

猜想4設ΔABC的三邊為 a,b,c，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有

[1]馬占山，何慧敏.一個與歐拉不等式相關的表達式問題的證明[J].中學數(shù)學研究(江西).2016,2.

[2]安振平.外森比克不等式的再探究[J].中學數(shù)學教學.2015，2.

[3]陳勝利.關于R,r與s的銳角三角形不等式.見：幾何不等式在中國[M].江蘇教育出版社，1996,6:72-78.