巖土工程中物質(zhì)點(diǎn)法的發(fā)展及應(yīng)用

伍建成

摘要：選擇能夠模擬大變形問題并獲得破壞過程中流體動(dòng)力特征的數(shù)值方法很重要，大變形問題主要采用無(wú)網(wǎng)格法，在眾多元網(wǎng)格法中，物質(zhì)點(diǎn)法（MPM）已顯示出其一定的優(yōu)越性，需要在今后進(jìn)一步提出一個(gè)全耦合模型。

關(guān)鍵詞：物質(zhì)點(diǎn)法；巖土工程；無(wú)網(wǎng)格法

1物質(zhì)點(diǎn)法概述

物質(zhì)點(diǎn)方法的研究最早可以追溯到1964年，Harbw通過物質(zhì)點(diǎn)在面定背景網(wǎng)格內(nèi)移動(dòng)成功模擬了流體流動(dòng)問題，之后Sulsky等用該方法模擬土力學(xué)問題，并且第一次正式稱之為物質(zhì)點(diǎn)法m a te rial Poin tM elhod，MPM）。MPM可以認(rèn)為是有限元法中的一種任意拉格朗日一歐拉方法（ALE），發(fā)揮了純拉格朗曰算法和歐拉算法的優(yōu)點(diǎn)，避免了普通歐拉方法中，由于非線性對(duì)流項(xiàng)所產(chǎn)生的數(shù)值求解困難，也克服了傳統(tǒng)拉格朗日方法中，由于網(wǎng)格畸變所產(chǎn)生的數(shù)值精度下降問題。MPM法的基礎(chǔ)思想是拉格朗曰質(zhì)點(diǎn)（材料點(diǎn)）在歐拉背景網(wǎng)格（通常為矩形網(wǎng)格）內(nèi)移動(dòng)，雖然存在網(wǎng)格，但其目的只是用于求解控制方程，為了計(jì)算方便而設(shè)置。材料參數(shù)被賦給質(zhì)點(diǎn)，并由質(zhì)點(diǎn)攜帶，網(wǎng)格不攜帶固定信息，因此，MPM法也被認(rèn)為是一種無(wú)網(wǎng)格法。MPM多采用顯式時(shí)間積分，多用于固體力學(xué)分析。雖然MPM方法作為無(wú)網(wǎng)格法存在的時(shí)間不長(zhǎng)，已被研究人員成功用于模擬土力學(xué)問題。

基于物質(zhì)點(diǎn)法的特點(diǎn)，模擬一些巖土工程問題的發(fā)生過程，如邊坡或地基失穩(wěn)、泥石流、海底滑坡、面結(jié)過程、深基坑或地鐵施工時(shí)土體的涌入等，均可得到比較有趣的結(jié)果。

2相關(guān)模擬成果

（1）模擬不同材料的相互作用。York等采用MPM方法模擬薄膜材料，模擬流體與薄膜的相互作用。流體與薄膜之間的邊界條件采用無(wú)滑移邊界，并且不需要額外的附加條件，求解動(dòng)量方程獲得連續(xù)速度場(chǎng)保證了不會(huì)有流體滲透通過薄膜。MPM方法顯示了采用無(wú)滑移邊界模擬不同類型相互作用的材料方面的優(yōu)勢(shì)，如果是模擬滑動(dòng)邊界條件則需要考慮一些特殊的方法（2）模擬干煤土體。B ardenhagen采用MPM顯式時(shí)間積分提出一種連續(xù)模型來(lái)模擬內(nèi)部顆粒變形和顆粒同的接觸問題。該方法結(jié)合了DEM特征，但是并不對(duì)顆粒速度進(jìn)行比較，顆粒材料的運(yùn)動(dòng)采用庫(kù)倫摩擦模型，顆粒間的接觸通過比較所有顆粒插值獲得的節(jié)點(diǎn)速度與單個(gè)顆粒插值獲得的節(jié)點(diǎn)速度比較的方式處理，當(dāng)二者所得的速度不同時(shí)就定義一個(gè)接觸，當(dāng)顆粒相互接近時(shí)對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行約束，采用接觸算法定義滑動(dòng)摩擦，不考慮成對(duì)的兩兩相互作用，在研究土體與結(jié)構(gòu)物相互接觸問題時(shí)以上的接觸算法是很有幫助的.以上的研究也表明了MPM在顆粒材料微觀力學(xué)分析方面的適用性。（3）模擬流-固兩相相互作用。G uilkey用歐拉流體和拉格朗日固體的方法來(lái)求解流體一結(jié)構(gòu)物相互作用問題。流體采用有限體積法，多材料可壓縮計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）模型，固體采用MPM模擬。他們將這種方法用于模擬爆炸過程，其中的流體主要為可壓縮氣體，在整個(gè)歐拉系統(tǒng)的所有區(qū)域中采用單元中心計(jì)算法，該方法僅對(duì)可壓縮流體有效。

3物質(zhì)點(diǎn)法與傳統(tǒng)有限元法的出較

物質(zhì)點(diǎn)法和傳統(tǒng)有限元法主要區(qū)別在于：（1）有限元法采用高斯積分，將積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在各高斯點(diǎn)處的值與該高斯點(diǎn)的權(quán)重及其所代表的體積之積的和：物質(zhì)點(diǎn)法采用質(zhì)點(diǎn)積分，將積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在各質(zhì)點(diǎn)處的值與該質(zhì)點(diǎn)所代表的體積之積的和。（2）有限元方法中計(jì)算網(wǎng)格始終與材料固連，而物質(zhì)點(diǎn)法中計(jì)算網(wǎng)格只在每個(gè)計(jì)算時(shí)間步內(nèi)與材料固連，時(shí)間步結(jié)束之后，丟棄已經(jīng)變形了的計(jì)算網(wǎng)格，因此不會(huì)受到網(wǎng)格變形的約束。

此外，對(duì)于小變形問題，有限元法的計(jì)算效率和計(jì)算精度優(yōu)于物質(zhì)點(diǎn)法；而對(duì)于材料大變形、特大變形問題，有限元法的效率和精度不如物質(zhì)點(diǎn)法。

4物質(zhì)點(diǎn)法與其他無(wú)兩格法的比較

幾乎所有無(wú)網(wǎng)格法都可歸為特殊形式的緊支試函數(shù)加權(quán)余量法，物質(zhì)點(diǎn)法可以看作是一種采用質(zhì)點(diǎn)和網(wǎng)格雙重描述的緊支試函數(shù)加權(quán)余量法，試函數(shù)為基于背景網(wǎng)格的有限元形函數(shù)，加權(quán)佘量格式采用G alerkin弱形式。物質(zhì)點(diǎn)法的形函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量與常用的無(wú)網(wǎng)格法近似函數(shù)相比也小得多，而且物質(zhì)點(diǎn)法的背景網(wǎng)格通常較為規(guī)則，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的影響節(jié)點(diǎn)容易定位，且不需要搜索臨近節(jié)點(diǎn)，大大降低了計(jì)算量，物質(zhì)點(diǎn)算法中速度場(chǎng)的單值條件自動(dòng)滿足，即使不采用額外復(fù)雜的算法也不會(huì)出現(xiàn)物質(zhì)間的穿透現(xiàn)象。在分析泡沐材料、生物體微組織結(jié)構(gòu)分析等問題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)非常復(fù)雜的接觸現(xiàn)象，使得有限元離散模型難以建立，即使采用某些無(wú)網(wǎng)格法建立了離散模型，大量復(fù)雜的接觸過程也是難以處理的.而物質(zhì)點(diǎn)法卻可以方便地建立離散模型并進(jìn)行模擬計(jì)算分析。

5物質(zhì)點(diǎn)法的優(yōu)勢(shì)和不足

相比于傳統(tǒng)有限元方法，物質(zhì)點(diǎn)法充分的展現(xiàn)了其優(yōu)勢(shì)：（1）物質(zhì)點(diǎn)法將計(jì)算區(qū)域內(nèi)的材料離散為一系列不連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行求解，背景網(wǎng)格布置簡(jiǎn)單，既便于離散模型的建立，又便于進(jìn)行前后處理。（2）在每個(gè)時(shí)步中，物質(zhì)點(diǎn)之間通過背景網(wǎng)格相互作用，在背景網(wǎng)格上獲得控制方程離散形式并完成求解，不需要建立臨近質(zhì)點(diǎn)列表，顯著提高計(jì)算效率。（3）物質(zhì)點(diǎn)法中計(jì)算網(wǎng)格只在每個(gè)計(jì)算時(shí)間步內(nèi)與材料固連，時(shí)間步結(jié)束之后，丟棄已經(jīng)變形了的計(jì)算網(wǎng)格，克服了傳統(tǒng)拉格朗日方法中，由于網(wǎng)格畸變所產(chǎn)生的數(shù)值精度下降問題。（4）物質(zhì)點(diǎn)攜帶了材料的所有信息，使得物質(zhì)點(diǎn)法能夠更加容易的追蹤材料界面，而不需要計(jì)算對(duì)流項(xiàng)，避免了普通歐拉方法中，由于非線性對(duì)流項(xiàng)所產(chǎn)生的數(shù)值求解困難。雖然物質(zhì)點(diǎn)法在傳統(tǒng)有限元方法無(wú)法解決或解決不好的問題上展現(xiàn)了其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但目前仍然存在一些問題需要改進(jìn)：（1）計(jì)算時(shí)需在物質(zhì)點(diǎn)與背景網(wǎng)格之間進(jìn)行反復(fù)映射，而目前映射的效率還相對(duì)較低。（2）在背景網(wǎng)格中進(jìn)行每時(shí)步的計(jì)算，背景網(wǎng)格規(guī)則便于質(zhì)點(diǎn)的搜索，但對(duì)于復(fù)雜形狀材料邊界的模擬比較困難，而背景網(wǎng)格不規(guī)則時(shí)將導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)搜索量增加，如何解決好此矛盾可以大幅提高計(jì)算效率，縮短計(jì)算時(shí)間。（3）目前還沒有徹底解決質(zhì)點(diǎn)穿越網(wǎng)格所引起的數(shù)值震蕩噪聲問題。物質(zhì)點(diǎn)方法仍然處于發(fā)展階段，如何進(jìn)—步改善其求解精度和計(jì)算效率，與其他方法的結(jié)合，開發(fā)并行計(jì)算方法等方面，將是其今后重要的發(fā)展方向。