對數(shù)輔助函數(shù)在解題中的重要應(yīng)用

馬小霞

摘 要： 對數(shù)函數(shù)作為輔導(dǎo)函數(shù)的一個重要類型在解題中起著很重要的作用.本文主要總結(jié)幾種題型中對數(shù)輔助函數(shù)的使用效果，說明對數(shù)輔助函數(shù)的重要性和使用情形.

關(guān)鍵詞： 輔助函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 極值

對數(shù)函數(shù)有很多類型，但應(yīng)用最廣泛的是以e為底的對數(shù)，由于lnx的很好的特性，如：能夠?qū)⑦B乘的函數(shù)化成和式；函數(shù)y=f（x）與函數(shù)lnf（x）有相同的單調(diào)性等，決定了對數(shù)輔助函數(shù)的重要地位和不可替代的作用.下面通過幾個例子說明本文觀點(diǎn).

1.在求導(dǎo)數(shù)時的重要應(yīng)用

（1）我們通常將形如u（x）的函數(shù)式稱為冪指函數(shù)，這種函數(shù)在求導(dǎo)時既不能當(dāng)成冪函數(shù)，又不能當(dāng)成指數(shù)函數(shù)，所以在解題之前需要對其進(jìn)行變形.

（2）如果函數(shù)涉及根號下連乘或連除，則可以通過對數(shù)變形成我們能夠求導(dǎo)的形式，從很大程度上減少計算量.

本題還可以直接求導(dǎo)數(shù)，但是如果將題目復(fù)雜化，就必須通過取對數(shù)進(jìn)行化簡，本文就不再對更復(fù)雜的情形進(jìn)行舉例說明了.

2.在求極值中的使用

由于我們知道函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性和相對數(shù)式lnf（x）的單調(diào)性相同，因此在遇到復(fù)雜的連乘函數(shù)求極值問題，可以通過轉(zhuǎn)換成對數(shù)函數(shù)，將連乘轉(zhuǎn)化為求和，再求極值，并且極值點(diǎn)和原函數(shù)的極值點(diǎn)相同.這方面的應(yīng)用在概率論語數(shù)理統(tǒng)計的極大似然估計法中得到了充分應(yīng)用.

也就是原來函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)情況如上表所示.

注意：此題如果直接利用函數(shù)求導(dǎo)求極值會相當(dāng)復(fù)雜，計算量會相當(dāng)大，但是通過對數(shù)輔助函數(shù)可以很好地簡化計算.

以上只對對數(shù)函數(shù)在解題方面的應(yīng)用做了總結(jié)，事實(shí)上，對數(shù)函數(shù)作為輔助函數(shù)在證明中也有非常重要的應(yīng)用，此處不再說明.

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