巧用圓錐曲線定義解題

劉書林

【摘要】在職業(yè)高中的學(xué)習(xí)中，圓錐曲線屬于選修部分，但圓錐曲線和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，且在高考中，圓錐曲線是重要考察內(nèi)容之一，所以掌握好相關(guān)知識(shí)是很必要的。然而在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生卻經(jīng)常出現(xiàn)掌握情況不太好，考試得分率不高的情況，這需要老師認(rèn)真分析，查找原因，找到對(duì)策，扭轉(zhuǎn)這樣的局面。

【關(guān)鍵詞】聯(lián)系生活 數(shù)形結(jié)合 理解記憶 循序漸進(jìn)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）07-0220-01

近年來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線成了多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中難以攻下的山頭。雖然在上課的過(guò)程中，學(xué)生能夠聽懂老師講解的內(nèi)容，但是在實(shí)際做題時(shí)卻總是遇到問(wèn)題，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，造成了畏難情緒。本文就針對(duì)運(yùn)用圓錐曲線定義解題的一類題型進(jìn)行分析，為職業(yè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的參考。

一、數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生了解圓錐曲線，熟悉圓錐曲線的定義

雖然圓錐曲線和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，但學(xué)生可能對(duì)它們了解并不多，甚至都不知道它們是怎么樣畫出來(lái)的。針對(duì)這一現(xiàn)狀，首先，可以通過(guò)圖片向?qū)W生展示生活中的圓錐曲線，如人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道和油罐車的橫截面是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的軸截面是雙曲線，探照燈發(fā)光面的軸截面曲線是拋物線等，讓學(xué)生真切體會(huì)到圓錐曲線和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其次，可以借助幾何畫板向?qū)W生展示如何用軌跡法構(gòu)造圓錐曲。課堂上橢圓可以通過(guò)手工繪圖給學(xué)生看，但雙曲線和拋物線如果想用手工在黑板上繪制還是有一定難度的，傳統(tǒng)的課堂是通過(guò)讓學(xué)生想象或者先給了圖像再驗(yàn)證一下定義，學(xué)生接受起來(lái)比較被動(dòng)。這就可以借用現(xiàn)代化的教學(xué)設(shè)備實(shí)現(xiàn)?！稁缀萎嫲濉分械能壽E作圖，可以完美的展示出運(yùn)用定義構(gòu)造橢圓、雙曲線和拋物線的過(guò)程，使得學(xué)生更加直接的理解圓錐曲線的定義，且印象深刻。再有，圓錐曲線的學(xué)習(xí)在曲線方程之后，通過(guò)軌跡方程的推導(dǎo)可以展示圓錐曲線方程的來(lái)源，達(dá)到數(shù)形結(jié)合的效果，幫助學(xué)生建立更加完整的知識(shí)體系。

二、在理解定義的基礎(chǔ)上，講解相關(guān)例題，做到循序漸進(jìn)，由易到難

定義再現(xiàn)：

橢圓（第一）定義：平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1 F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。雙曲線（第一）定義：平面內(nèi)，與定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且小于|F1 F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。拋物線（第一）定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。

通過(guò)幾何畫板的展示，學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義有了很直觀的理解，影響深刻。在這個(gè)基礎(chǔ)上，再來(lái)解決相關(guān)的題目就輕松多了。

題型一再現(xiàn)：1、一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A（0，）、B（0，-）的距離之和為，則它的軌跡方程為________.

2、已知點(diǎn)F1（-4，0）、F2（4，0），曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2的距離之差為6，則曲線的方程為_______.

3、動(dòng)點(diǎn)P到直線x+4=0的距離與它到點(diǎn)M（2，0）的距離之差等于2，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________.

分析：以上題目是對(duì)圓錐曲線定義的直接考察。題目1中聯(lián)系橢圓的定義可知該動(dòng)點(diǎn)的軌跡即為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，c=，2a=，利用a、b、c三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系求出b就可以寫出方程了。題目2中動(dòng)點(diǎn)P滿足到兩定點(diǎn)的距離之差為6，可知曲線即為雙曲線，且焦點(diǎn)在x軸上，又因?yàn)辄c(diǎn)P到F1的距離較遠(yuǎn)，所以該曲線只是雙曲線的右支。題目3中，點(diǎn)P到定直線x+4=0，即x=-4的距離與到定點(diǎn)M（2，0）的距離不是相等，而是相差2，那說(shuō)明點(diǎn)P到定直線x=-2的距離與到定點(diǎn)M（2，0）的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線，且點(diǎn)M就是它的焦點(diǎn)，從而求出拋物線的方程。

在介紹了各個(gè)圓錐曲線的定義后，先講這種類型的題目，加深了學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的理解，并且將數(shù)和形結(jié)合了起來(lái)。

題型二再現(xiàn)：1、橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）。

2、雙曲線上任一點(diǎn)P到此雙曲線距離較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離是12，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（ ）。

3、若拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離是_______，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______.

分析：以上三種題型是對(duì)定義的一個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)用。如在第1題中，點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a，運(yùn)用減法便可以計(jì)算出點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離。在第2題中，點(diǎn)P到較近的焦點(diǎn)距離為12，假設(shè)點(diǎn)P為雙曲線左支上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離|PF1|為12，那么點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離|PF2|較遠(yuǎn)，而根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為2a，又|PF2|>|PF1|，所以|PF2|-|PF1|=2a，從而求出|PF2|。第3題可以借助圖像分析。如右圖（圖一），過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，交y軸于M點(diǎn)，垂足為N。由拋物線的定義可知，當(dāng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9時(shí)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離也是9，又 |MN|=3，所以|PM|=6，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，將x=6帶入拋物線方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

以上類型的題目學(xué)生在初次見到時(shí)會(huì)感覺(jué)到有點(diǎn)難度，但運(yùn)用所學(xué)的定義解決后會(huì)發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有想象中那么難。這讓他們進(jìn)一步體驗(yàn)到了知識(shí)的力量，增加了學(xué)習(xí)的信心。

題型三再現(xiàn)：1、已知，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng)。

2、設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1、F2 ，過(guò)F1的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=12，求的周長(zhǎng)。

分析：這兩個(gè)題目間接地運(yùn)用了橢圓和雙曲線的定義。題目1中要求計(jì)算三角形的周長(zhǎng)，但直線的方程未知，當(dāng)然無(wú)法分別求出各邊的長(zhǎng)度，所以需要換一個(gè)角度思考問(wèn)題，如右圖（圖二）。將三角形的三邊分成兩部分，每部分恰好是橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，即2a。所以該三角形的周長(zhǎng)就是4a。類似的方法可以求出題目2。

計(jì)算三角形周長(zhǎng)這樣的題目是這幾年高職高考中出現(xiàn)過(guò)的題型，可以稱得上是重點(diǎn)了。學(xué)生初次接觸這種題型感到無(wú)從下手，甚至主觀認(rèn)為計(jì)算量和計(jì)算難度應(yīng)該都很大。但是在運(yùn)用圓錐曲線的定義解決之后，好多學(xué)生驚呼太神奇了。沒(méi)有太多的計(jì)算，只需要理解了定義就可以迎刃而解，他們?cè)俅误w驗(yàn)和收獲了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

職業(yè)中學(xué)的數(shù)學(xué)更加注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，所以不需要講的太深。但作為任課老師在備課和上課的過(guò)程中卻絲毫不容馬虎。因?yàn)槲覀冃枰J(rèn)真思考如何在學(xué)生原本薄弱的基礎(chǔ)上繼續(xù)建設(shè)數(shù)學(xué)這座大廈，這也就在教學(xué)方法上對(duì)我們提出了更高的要求——盡量做到深入淺出，直觀形象，讓學(xué)生接受起來(lái)更加容易。以上的方法就是從如何讓學(xué)生接受起來(lái)更容易為出發(fā)點(diǎn)，爭(zhēng)取讓更多的學(xué)生更好地掌握有關(guān)圓錐曲線的知識(shí)。endprint