“一線三直角”淺談

姚群

在八年級(jí)學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，我們學(xué)習(xí)過如圖1的基本圖形，如果∠EDA=∠EAC=∠ABC=90°，AE=AC，則△ADE≌CBA.這個(gè)基本圖形無論在平時(shí)的練習(xí)中，還是在中考中應(yīng)用都非常廣泛.下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬?duì)“一線三直角”的理解.

第一，當(dāng)一條直線上有三個(gè)相等的直角，且兩個(gè)三角形中的一條邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩個(gè)三角形全等.

例1如圖2，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，

垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解析：結(jié)論：EP=FQ.證明：因?yàn)椤鰽BE是等腰三角形，所以AB=AE，∠BAE=90°.所以∠BAG+∠EAP=90°.因?yàn)锳G⊥BC，所以∠BAG+∠ABG=90°.所以∠ABG=∠EAP.因?yàn)镋P⊥AG，所以∠AGB=∠EPA=90°.所以Rt△ABG≌Rt△EAP.所以AG=EP.同理AG=FQ.所以EP=FQ.

第二，當(dāng)一條直線上有三個(gè)相等的直角時(shí)，兩個(gè)三角形相似.

例2如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.

（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y

與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積.（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求x的值.

解析

第三，當(dāng)一條直線上有三個(gè)相等的60°角時(shí)，兩個(gè)三角形相似.

總之，圖形在幾何教學(xué)中有著不可忽視的作用，幾何問題的解決依賴于幾何圖形.準(zhǔn)確的圖形，

不僅能夠開闊學(xué)生的解題思路，而且能夠幫助學(xué)生理解圖形的基本性質(zhì)、位置關(guān)系，從而讓學(xué)生感受到幾何直觀圖形對(duì)幾何學(xué)習(xí)的重要性.