高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

孫瑾

逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要原則，是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體.培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性的過(guò)程.如果學(xué)生有逆向思維的能力，從問(wèn)題的反面去剖析、理解、應(yīng)用、推理、設(shè)想，就能克服思維定式的弊端，找到解題的突破口，尋找到解題方法和恰當(dāng)路徑，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明了，或許會(huì)創(chuàng)造出更好的方法，從而提高學(xué)生的辯證思維能力.

教學(xué)研究表明，有些學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習(xí)公式、定理等，并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開(kāi)拓精神.為全面推進(jìn)素質(zhì)教育，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

一、理解數(shù)學(xué)概念時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

概念是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐積累在人們頭腦中反映出來(lái)的客觀事物的本質(zhì)屬性.因此，數(shù)學(xué)課程中的所有概念都是人們頭腦中形成的現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和形式的本質(zhì)屬性.概念通常是一句話的總結(jié)形式.在講解概念時(shí)，教師往往直接把概念的內(nèi)容寫在黑板上，讓學(xué)生記住一個(gè)概念的文字意義.在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生從“逆向”的角度去思考，挖掘概念中所包含的隱性條件和性質(zhì)，促使學(xué)生深層次地理解概念的本質(zhì).例如，在講“映射”時(shí)，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：假設(shè)A→B是集合A到集合B的映射，則集合A與集合B中的各個(gè)元素的對(duì)應(yīng)情況會(huì)是什么樣？經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生可以得出結(jié)論，即集合A中所有的元素沒(méi)有剩余，其中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到集合B中都有唯一存在的一個(gè)像，而集合B中的元素還可能有剩余，即集合B中的元素在集合A中找不到原像.因此，映射的對(duì)應(yīng)的形式可能是“一對(duì)一”，或者“多對(duì)一”，但絕不會(huì)是“一對(duì)多”的形式.

二、在數(shù)學(xué)公式中注重逆向思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般數(shù)學(xué)公式都是從左到右進(jìn)行運(yùn)算的，也有從右向左運(yùn)用的時(shí)候，可以說(shuō)是正向思維轉(zhuǎn)變?yōu)槟嫦蛩季S的方式.在數(shù)學(xué)習(xí)題解答過(guò)程中，有時(shí)要求轉(zhuǎn)換公式和法則進(jìn)行解題，然而學(xué)生大都缺乏相應(yīng)的自覺(jué)性和基本功.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，讓他們學(xué)習(xí)逆向應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和法則.在講解一個(gè)應(yīng)用題或者公式后，教師可以緊接著尋找一些關(guān)于公式逆向應(yīng)用的例題給學(xué)生練習(xí)，使他們?cè)诰毩?xí)中掌握逆向應(yīng)用的方法，給學(xué)生留下深刻印象.下次學(xué)生再遇到類似的問(wèn)題時(shí)，可以自己獨(dú)立解決.比如，在三角公式中，逆向應(yīng)用所涉及的方面很多，如誘導(dǎo)公式的逆應(yīng)用、三角函數(shù)關(guān)系公式的逆應(yīng)用等.例如，在運(yùn)算工程中， 這些公式使用逆運(yùn)算能夠充分解決問(wèn)題.因此，逆向思維在數(shù)學(xué)公式中的作用是非同小可的.它可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的主觀能動(dòng)性得到發(fā)揮.

三、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

分析法是從結(jié)論出發(fā)“執(zhí)果索因”，步步尋求結(jié)論成立的充分條件，它只要求每相鄰的兩個(gè)論斷中，后一個(gè)是前一個(gè)的充分條件（不一定等價(jià)）.用分析法思考，要論證的結(jié)論本身就是出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生知道了應(yīng)從什么地方著手，自覺(jué)地、主動(dòng)地去思考，能增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心.“由因?qū)Ч钡姆椒ㄍǔ７Q為綜合法.分析法和綜合法各有千秋，可以互相彌補(bǔ)對(duì)方的不足.在實(shí)際論證一個(gè)命題時(shí)，先用分析法思考發(fā)現(xiàn)可以作為論證出發(fā)點(diǎn)的真命題，再用綜合法表達(dá)出證明過(guò)程，兩者配合起來(lái)，在教學(xué)中運(yùn)用十分廣泛，且分析法常用于不等式和恒等式的證明.

逆證法雖然也是從結(jié)論出發(fā)，但它與分析法還是有區(qū)別的，逆證法要求推理過(guò)程中，任何兩論斷都互為充要條件，逆證法首先對(duì)不等式或恒等式進(jìn)行變形，逐步推出一個(gè)已知的不等式或恒等式.這比較直截了當(dāng)，檢查這些變形是可逆的并不困難，但在一般情況下使用逆證法并不省事，應(yīng)讓學(xué)生重點(diǎn)掌握分析法.

四、加強(qiáng)舉反例訓(xùn)練

用命題形式給出的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，要判斷它是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)滿足命題的條件，但結(jié)論不成立的例子，就足以否定這個(gè)命題.這樣的例子就是通常意義下的反例.學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)造反例，不僅對(duì)加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要作用，也是糾正錯(cuò)誤的常用方法，是培養(yǎng)逆向思維能力的重要手段.例如，命題“若兩多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則必相似”為假命題，只需舉一個(gè)菱形和一個(gè)正方形即可判其為假；說(shuō)明“一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形”為假命題，只需舉一個(gè)等腰梯形即可.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生有意地去做與思維方法完全相反的研究，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)逆向思維的方法還有很多.這就需要教育工作者去發(fā)現(xiàn)、去探究.我相信在不久的將來(lái)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)形式會(huì)越來(lái)越豐富，從而使教學(xué)質(zhì)量得到提高.