依據(jù)概念 活學(xué)會(huì)用

江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū)九（9）班　張錦陽(yáng)

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數(shù)學(xué)透視眼/數(shù)學(xué)寫(xiě)作
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

依據(jù)概念 活學(xué)會(huì)用

江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū)九（9）班張錦陽(yáng)

學(xué)習(xí)了“銳角三角函數(shù)”，我們知道了正切、正弦、余弦等三角函數(shù)的概念，和老師還一起探索了30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.應(yīng)用探求這些值的方法，我們還能夠?qū)⑵綍r(shí)經(jīng)常遇到的15°、36°特殊角放到適當(dāng)?shù)娜切沃校蟮盟鼈兊娜呛瘮?shù)值.

一、求15°角的三角函數(shù)值

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，不妨設(shè)∠A=15°，則∠ABC=75°.在∠ABC的內(nèi)部作∠ABD=15°，∠ABD的一邊BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC=30°，DB=DA.

圖1

根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，可以知道BD=2BC.

設(shè)BC=k，則BD=2k，AD=2k.

在Rt△DBC中，∠DCB=90°，

同樣的方法，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

因此，我們可以得到15°角的三角函數(shù)值為：

二、求36°角的三角函數(shù)值

如圖2，在△ABC中，AC=BC，不妨設(shè)∠C=36°，則∠ABC=∠CAB=72°.作∠CAB的角平分線AD交BC與點(diǎn)D.

圖2

由此，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義知道點(diǎn)D就是線段BC的黃金分割點(diǎn)，

在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

因此，我們可以得到36°角的三角函數(shù)值（利用計(jì)算器求得它們的近似值）為：

≈0.726 5.

通過(guò)對(duì)15°、36°特殊角三角函數(shù)值的求解，我感悟到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅要記住數(shù)學(xué)概念，更重要的是抓住概念本身所隱含的方法和解題策略，同時(shí)還要聯(lián)系所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通.

王老師點(diǎn)評(píng)：張錦陽(yáng)同學(xué)愛(ài)動(dòng)腦筋，勤于思考，不停留于課本中介紹的30°、45°、60°角三角函數(shù)值的理解和掌握，能夠靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)平時(shí)常見(jiàn)的角度進(jìn)行深入探討.他應(yīng)用三角函數(shù)概念本身隱含的化歸思想，將15°的特殊角放在直角三角形中，利用角度之間的關(guān)系構(gòu)造等腰三角形和30°角，進(jìn)而求得15°的特殊角的三角函數(shù)值；將36°的特殊角放在黃金三角形中，利用角度之間的關(guān)系構(gòu)造相似三角形揭示邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，并化歸為直角三角形，進(jìn)而求得36°的特殊角的三角函數(shù)值.小作者對(duì)于自己目前無(wú)法化簡(jiǎn)的二次根式還利用計(jì)算器求得近似值，更體現(xiàn)小作者解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（指導(dǎo)教師：王競(jìng)進(jìn)）