壓縮感知及其在地震勘探中的應(yīng)用

王華忠,馮　波,王雄文,胡江濤,李　輝,劉少勇,周　陽(yáng)

(同濟(jì)大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院波現(xiàn)象與反演成像研究組,上海200092)

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壓縮感知及其在地震勘探中的應(yīng)用

王華忠,馮波,王雄文,胡江濤,李輝,劉少勇,周陽(yáng)

(同濟(jì)大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院波現(xiàn)象與反演成像研究組,上海200092)

壓縮感知思想在油氣勘探領(lǐng)域已經(jīng)受到了充分的關(guān)注。主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面,一個(gè)是與隨機(jī)采樣有關(guān)的隨機(jī)地震數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)、同時(shí)源激發(fā)的混疊數(shù)據(jù)分離、空間非規(guī)則數(shù)據(jù)的規(guī)則化、地震數(shù)據(jù)的去噪和地震數(shù)據(jù)壓縮(傳輸)等;另一方面是地震數(shù)據(jù)的特征表達(dá)、模型參數(shù)(如速度模型參數(shù))的特征表達(dá)、模型特征表達(dá)情況下的地震波正演模擬以及對(duì)應(yīng)的稀疏反演方法(包括多尺度反演方法)。前者可以直接借鑒信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域發(fā)展的各種方法;后者需要勘探地球物理學(xué)家及相關(guān)領(lǐng)域研究人員提出合適的思想和方法。來自以沉積地層為主的地下介質(zhì)中的反射(繞射)波場(chǎng)是有特征的或可壓縮的;以層狀地層為主的模型參數(shù)也是可壓縮的。這是壓縮感知方法能用于地震勘探的基礎(chǔ)。首先簡(jiǎn)述了壓縮感知的基本思想，指出它是一套隨機(jī)采樣理論。然后闡述了無(wú)論是疊前地震數(shù)據(jù)或是疊前偏移成像結(jié)果都是可以稀疏表達(dá)的，壓縮感知理論可以在地震勘探中得到有效應(yīng)用。接著從隨機(jī)采樣、同時(shí)源激發(fā)的混疊數(shù)據(jù)的分離、高維數(shù)據(jù)規(guī)則化方面展示了壓縮感知思想的應(yīng)用。關(guān)于隨機(jī)采樣，指出當(dāng)前地震數(shù)據(jù)采集的技術(shù)重點(diǎn)應(yīng)該是更高效地實(shí)現(xiàn)“兩寬一高”的數(shù)據(jù)采集。最后列舉了壓縮感知思想在特征數(shù)據(jù)提取、編碼炮集成像和特征波場(chǎng)成像中的應(yīng)用。

信號(hào)和圖像的特征表達(dá);稀疏與冗余表示;壓縮感知;隨機(jī)采樣;L1/L0范數(shù)反演

1　壓縮感知思想

壓縮感知的基本思想是假定實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中包含稀疏特征信號(hào),選擇合適的基函數(shù)能夠抽取或表達(dá)這樣的稀疏特征。所謂稀疏就是信號(hào)投影到基函數(shù)空間中,有有限個(gè)數(shù)的、冪指數(shù)衰減的投影系數(shù)值。可壓縮性指的是可以用這樣的投影系數(shù)值及對(duì)應(yīng)的基函數(shù)的線性組合很好地表達(dá)原信號(hào)。在此基礎(chǔ)上,可以用隨機(jī)采樣的方式(不必按香農(nóng)(Shannon)采樣定律)對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏采樣(此處與稀疏的特征不同)。這個(gè)隨機(jī)采樣的過程可以認(rèn)為是感知信號(hào)特征的過程。與Shannon采樣相比,此處的隨機(jī)采樣可以僅僅采集很少的樣點(diǎn)。相比于Shannon采樣,這也是一種壓縮采樣(此處與信號(hào)的可壓縮性不同)。關(guān)鍵是能否實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)的有效(滿足一定精度的)恢復(fù)。Shannon采樣期望實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)的精確恢復(fù);壓縮感知框架下的隨機(jī)采樣期望實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)的按精度要求的恢復(fù)。信號(hào)恢復(fù)問題一般地提為L(zhǎng)1范數(shù)下的上述投影系數(shù)值的估計(jì)問題(當(dāng)然也可以提為L(zhǎng)2,L0甚至Lp范數(shù)下的估計(jì)問題)。此為壓縮感知思想的簡(jiǎn)潔描述。

假定存在可以被壓縮的信號(hào)m,選取基函數(shù)族,形成變換矩陣Φ,列向量代表基函數(shù)。期望列向量組成的基函數(shù)族是正交的基函數(shù)族。為了更稀疏的表達(dá),可以選擇框架基來表達(dá)信號(hào):

(1)

式中:向量x代表信號(hào)矢量在基函數(shù)族上的投影,也是壓縮感知方法要估計(jì)的參數(shù)。它具備可壓縮性特征,意指它具有冪指數(shù)衰減特征[1]。上式是信號(hào)預(yù)測(cè)關(guān)系式。

為了與隨機(jī)觀測(cè)的實(shí)測(cè)信號(hào)對(duì)應(yīng),引入隨機(jī)采樣算子R,預(yù)測(cè)并隨機(jī)采樣后的信號(hào)表示為:

(2)

與規(guī)則(或連續(xù))信號(hào)相比,隨機(jī)采樣后的信號(hào)dcal的采樣點(diǎn)數(shù)很稀少。這正是壓縮感知采樣與Shannon采樣的區(qū)別所在。但是,壓縮感知采樣必須隨機(jī)。隨機(jī)采樣感知到信號(hào)特征的概率要大于稀疏均勻采樣,隨機(jī)采樣可以更好地在變換域進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的恢復(fù)。CANDéS等[2]給出的RIP(Restricted Isometry Property)原則試圖給出隨機(jī)采樣與連續(xù)信號(hào)可恢復(fù)性之間的定量標(biāo)準(zhǔn)。

(1)式和(2)式合并,預(yù)測(cè)并隨機(jī)采樣后的信號(hào)表示式變?yōu)?

(3)

式中:矩陣A被稱為感知矩陣。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)dobs包含信號(hào)和噪聲,往往假設(shè)噪聲滿足加性高斯分布?；?3)式,由隨機(jī)采樣結(jié)果dobs估計(jì)向量x是一個(gè)反問題。一般地,僅僅估計(jì)x的具有比較大值的、有限的分量個(gè)數(shù)。這可以提為L(zhǎng)2,L1或L0范數(shù)下的估計(jì)問題。L1范數(shù)下的估計(jì)應(yīng)用最為廣泛,因?yàn)檫@樣的估計(jì)方法既是凸的,又保持一定的稀疏性。估計(jì)出向量x后,可以由(1)式恢復(fù)規(guī)則信號(hào)。此過程當(dāng)然也可以進(jìn)行去噪聲、數(shù)據(jù)規(guī)則化和數(shù)據(jù)壓縮。

L1范數(shù)下的反問題的提法為:

(4)

反問題的解法主要有:迭代再加權(quán)(IRLS)法、稀疏重構(gòu)梯度投影(GPSR)法、SPGL1法、Bregman迭代方法、分裂Bregman(Split Bregman)迭代方法等[3-4]。

當(dāng)前,Robust_PCA方法(Principal Component Analysis,PCA)代表了一類對(duì)噪聲的非高斯假設(shè)方法,在噪聲稀疏分布假設(shè)下發(fā)展了有效的信號(hào)和圖像處理方法[5]。

很顯然,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中的噪聲特征、信號(hào)m所具備的稀疏特征、變換矩陣的選擇和隨機(jī)采樣矩陣的確定,以及所用的反演方法,一起決定了信號(hào)估計(jì)和恢復(fù)的精度。事實(shí)上,實(shí)際地震勘探中,信號(hào)m中的噪聲對(duì)于信號(hào)的可恢復(fù)性有重大影響。相比較而言,將壓縮感知的思想應(yīng)用于采樣和恢復(fù)時(shí),比Shannon采樣更難把握。這也是隨機(jī)采樣難于在地震勘探中迅速推廣的原因。

2　反射波場(chǎng)和模型參數(shù)的稀疏特征及可壓縮性

我們把勘探地震所面對(duì)的地下介質(zhì)抽象為廣大的、橫向緩慢變化的沉積層中分布著由于火山活動(dòng)、后期地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)和其他地球動(dòng)力運(yùn)動(dòng)引起的小尺度速度異常體(譬如地震勘探中的繞射地質(zhì)體)。像斷層、裂縫、地層尖滅、粗糙不整合面、孔洞等(大)小尺度的地質(zhì)異常體是常見的油氣運(yùn)移通道和/或儲(chǔ)集體,對(duì)它們的刻畫和描述是油氣資源勘探的重要目的。針對(duì)這樣的介質(zhì)情況,我們提出如下的抽象:地下介質(zhì)的速度場(chǎng)可以分為背景速度加反射界面處的速度擾動(dòng)?？捎?5)式表示:

(5)

地震數(shù)據(jù)中不同偏移距接收到的反射同相軸的到達(dá)時(shí)間取決于背景速度vB(v,y,z)+δvB(v,y,z)或vB(v,y,z);同相軸上的反射波振幅取決于反射界面處波阻抗的變化或(角度)反射系數(shù)R(x,y,z;γ,φ)。不同偏移距的數(shù)據(jù)包括透射波數(shù)據(jù)(直達(dá)波和回折波(Diving Wave))和反射波數(shù)據(jù)(一次反射波和多次反射波)。當(dāng)然,也包括其它更復(fù)雜的波現(xiàn)象,但是,目前主要利用透射波和反射波數(shù)據(jù)進(jìn)行反演成像。上述觀察決定了地震波反演成像的基本方法。

疊前地震數(shù)據(jù)可以抽象地描述為:將地表(也可以是井中或海底(OBC)等處)觀測(cè)的地震信號(hào)視為以旅行時(shí)、炮檢點(diǎn)坐標(biāo)(或中點(diǎn)半偏移距)為變量的函數(shù),它的基本特征應(yīng)該是時(shí)距關(guān)系規(guī)定的、帶限反射子波表現(xiàn)出的同相軸,疊加上一定分布特征的隨機(jī)噪聲(當(dāng)然,也可能有不同原因產(chǎn)生的相干噪聲)。速度(和各向異性參數(shù))場(chǎng)的背景部分決定同相軸出現(xiàn)的位置,Q值和波阻抗變化決定反射子波的相對(duì)振幅。這樣的觀測(cè)決定了地震數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)規(guī)則化和去噪聲可以利用壓縮感知的思想,因?yàn)榈卣饠?shù)據(jù)具有稀疏(局部線性)特征且可以被壓縮。這樣的觀測(cè)也說明了疊前地震信號(hào)的特征與地震反射界面(像)的特征緊密相關(guān)。

因此,基于特征波場(chǎng)的數(shù)據(jù)預(yù)處理和反演成像具有勘探地震學(xué)物理基礎(chǔ)。

3　隨機(jī)采樣思想在勘探地震中的應(yīng)用

3.1地震數(shù)據(jù)隨機(jī)采樣

根據(jù)前兩節(jié)的分析,壓縮感知的思想可以被用在隨機(jī)采樣上,因?yàn)榈卣饠?shù)據(jù)具備稀疏、可壓縮性特征。一般地,隨機(jī)采樣是指炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)的空間隨機(jī)采樣。但是,至少目前的硬件條件,遠(yuǎn)遠(yuǎn)不適應(yīng)炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)的隨機(jī)布設(shè)。這也說明了目前發(fā)展獨(dú)立檢波器、獨(dú)立(小的)震源的必要性。另一個(gè)更難以把握的問題是:由于地下介質(zhì)性質(zhì)(主要是速度場(chǎng))橫向空變可能比較劇烈,導(dǎo)致地震波場(chǎng)特征空變嚴(yán)重,如何設(shè)計(jì)出一個(gè)最佳的隨機(jī)采樣方案才能保證恢復(fù)的規(guī)則數(shù)據(jù)能很好地滿足后續(xù)的精確反演成像的要求？RIP準(zhǔn)則并沒有很好地回答這個(gè)問題[2]。實(shí)質(zhì)上,關(guān)于如何構(gòu)建變換矩陣Φ[6]和隨機(jī)采樣矩陣R[4],目前的理論還沒有轉(zhuǎn)化為實(shí)用的方法。而僅僅考慮無(wú)假頻采樣的Shannon采樣思想在設(shè)計(jì)觀測(cè)系統(tǒng)時(shí)要容易得多。

我們認(rèn)為,當(dāng)前地震數(shù)據(jù)采集的核心問題應(yīng)該是如何能真正實(shí)現(xiàn)“兩寬一高(寬頻帶、寬方位和高密度)”采樣,滿足油氣儲(chǔ)層識(shí)別、定位、描述和評(píng)價(jià)的要求。只有在此基礎(chǔ)上,才能開展基于壓縮感知的隨機(jī)采樣,以提高采集效率并同時(shí)降低采集成本。

真正實(shí)現(xiàn)“兩寬一高”地震數(shù)據(jù)采樣首要的問題當(dāng)然是完善目前的采集硬件。獨(dú)立的震源和獨(dú)立的檢波器是最基本的要求。寬帶震源(或多頻帶組合震源)及寬頻響應(yīng)檢波器是必要的。在一個(gè)探區(qū)內(nèi),事先把這些獨(dú)立的震源和檢波器隨機(jī)放置好,然后進(jìn)行同時(shí)源激發(fā)采樣,會(huì)達(dá)到非常高的采集效率。但是,目前還無(wú)法做到這一點(diǎn)。當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)采集,一個(gè)趨勢(shì)是以陸上無(wú)線檢波和海底節(jié)點(diǎn)(OBN)觀測(cè)為代表的獨(dú)立震源和獨(dú)立檢波觀測(cè)方式,但目前它還在按Shannon采樣原則布置炮檢點(diǎn)。這樣的采集方式與同時(shí)源激發(fā)相結(jié)合,試圖實(shí)現(xiàn)寬方位觀測(cè)。只要有足夠多的無(wú)線檢波器(陸上)或節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)(海上),它當(dāng)然也可以很好地兼顧高密度觀測(cè)。高密度觀測(cè)的實(shí)現(xiàn)非常依賴于炮點(diǎn)數(shù)的增加,這是同時(shí)源激發(fā)采集提高效率的自然要求。另一個(gè)趨勢(shì)是增加陸上和海上單炮激發(fā)的帶道能力,但是震源和檢波器不是獨(dú)立的,有線連接在一起。這樣做的缺陷是很難真正地、高效率地實(shí)現(xiàn)寬方位和高密度觀測(cè),一定會(huì)被獨(dú)立震源和獨(dú)立檢波的觀測(cè)方式所取代。

我們認(rèn)為,只有在獨(dú)立震源和獨(dú)立檢波器基礎(chǔ)上形成的觀測(cè)系統(tǒng)才能最佳地與壓縮感知的隨機(jī)采樣方式結(jié)合在一起形成未來的地震數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。期望震源具有寬頻特征(或組合震源具有寬頻特征)、自主移動(dòng)特征及小型化(廉價(jià))特征;檢波器具有獨(dú)立特征、無(wú)線互聯(lián)特征、自主移動(dòng)特征、寬頻響應(yīng)特征及小型化(廉價(jià))特征。

事實(shí)上,當(dāng)前典型的、基本能高效實(shí)現(xiàn)的“兩寬一高”地震數(shù)據(jù)采集的觀測(cè)系統(tǒng)應(yīng)該首推海上的Coiling(及Quad)觀測(cè)系統(tǒng)。但是,上述采集方式能高效實(shí)現(xiàn)的主要原因在于同時(shí)源激發(fā),而不是隨機(jī)空間采樣,至少Coiling(及Quad)觀測(cè)系統(tǒng)并沒有刻意追求隨機(jī)空間采樣[7]。

我們認(rèn)為,在當(dāng)前硬件技術(shù)發(fā)展不滿足要求的條件下,與其把精力放在基于壓縮感知的隨機(jī)采樣上,不如放在如何用同時(shí)源激發(fā)提高寬方位高密度采樣的效率上。同時(shí)源激發(fā)是目前提高“兩寬一高”地震數(shù)據(jù)采樣效率的切實(shí)可行的方法。即便是同時(shí)源激發(fā)數(shù)據(jù)采集也有很多問題要解決,譬如如何更好地設(shè)計(jì)同時(shí)源激發(fā)方案能更高效地進(jìn)行采集,并能更徹底地分解混疊數(shù)據(jù)。

3.2同時(shí)源激發(fā)數(shù)據(jù)的解混疊

此處,我們避開同時(shí)源激發(fā)高效采集方案的設(shè)計(jì)問題,僅僅討論混疊數(shù)據(jù)的分離方法。將混疊地震數(shù)據(jù)表達(dá)成:

db=Td=TΦx=Ax

(6)

式中:db是采集到的混疊數(shù)據(jù);T是隨機(jī)編碼矩陣;d為常規(guī)未混疊的單炮;x是要估計(jì)的變換域的投影值。

提出的解混疊問題為:

(7)

求解(7)式可以實(shí)現(xiàn)同時(shí)源觀測(cè)數(shù)據(jù)的解混疊。但由于隨機(jī)編碼矩陣的形態(tài)很差，逆根本不存在，直接解(7)式定義的反問題不能很好地實(shí)現(xiàn)解混疊。

實(shí)際上，同時(shí)源觀測(cè)數(shù)據(jù)的解混疊過程一般是按去噪的方式進(jìn)行的。同時(shí)源地震激發(fā)時(shí)，副炮的激發(fā)時(shí)間是隨機(jī)的，空間位置隨機(jī)也可以起到相同的作用，按主炮將地震數(shù)據(jù)抽成譬如共偏移距道集，副炮中的同相軸會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)性，類似隨機(jī)噪聲，可以用去噪的方式去除這些所謂的隨機(jī)噪聲，將主炮數(shù)據(jù)分離出來。由于一次去噪往往不徹底，一般設(shè)計(jì)一個(gè)迭代算法，將噪聲去除干凈。

圖1展示了混疊數(shù)據(jù)分解的結(jié)果?；殳B數(shù)據(jù)分解的基本過程是:首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行偽解碼,就是數(shù)據(jù)重排,按一個(gè)選定的“主炮”進(jìn)行數(shù)據(jù)排序,一般地排成共偏移距道集,其它“副炮”產(chǎn)生的數(shù)據(jù)就會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)性。然后,利用設(shè)計(jì)的稀疏反演濾波方法濾除隨機(jī)噪聲,“主炮”的數(shù)據(jù)就被恢復(fù)出來。上述過程的實(shí)現(xiàn)方式很多,Robust_PCA方法是很好的選擇[3]。圖1a展示了未混疊的數(shù)據(jù);圖1b是混疊炮集;圖1c就是用(6)式和(7)式表述的思想進(jìn)行解混疊后的單炮數(shù)據(jù)。

圖1　混疊數(shù)據(jù)分解的結(jié)果a 未混疊的單炮記錄; b 混疊的單炮記錄; c 解混疊后的單炮記錄

3.3地震數(shù)據(jù)規(guī)則化與去噪

針對(duì)空間不規(guī)則采樣(可以視為隨機(jī)采樣),如何更好地進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的規(guī)則化,可以視為壓縮感知思想在勘探地震中的典型應(yīng)用。甚至高維數(shù)據(jù)的去噪聲問題,也可以歸結(jié)為(4)式,只不過此時(shí)采樣矩陣不再是隨機(jī)的。在此意義下,地震數(shù)據(jù)的壓縮(傳輸)也可以歸結(jié)為壓縮感知思想在勘探地震中的一種典型應(yīng)用。實(shí)質(zhì)上,高維數(shù)據(jù)規(guī)則化、去噪聲和數(shù)據(jù)壓縮,這些都是同一類問題,可以放在一起,用一個(gè)統(tǒng)一的框架來解決。這個(gè)統(tǒng)一的框架可以說就是所謂廣義的壓縮感知。

選擇Fourier基函數(shù),我們將高維地震數(shù)據(jù)規(guī)則化問題提為:

(8)

式中:A是前述的感知矩陣;W是Radon譜,引入W的目的是抗假頻。在譜域進(jìn)行殘差估計(jì),主要是計(jì)算方便,更容易考察估計(jì)結(jié)果的信噪比。(8)式用匹配追蹤的方法求解,我們稱此方法為加權(quán)匹配追蹤(Weighted matching pursuit,WMP)。

圖2a展示的是規(guī)則數(shù)據(jù),圖2b是非規(guī)則數(shù)據(jù);圖2c是利用(8)式進(jìn)行的數(shù)據(jù)規(guī)則化結(jié)果,圖2d是用抗泄漏的Fourier變換方法得到的數(shù)據(jù)規(guī)則化結(jié)果。二者的主要差異在于是否用Radon譜進(jìn)行約束。Radon譜約束的主要目的在于更好地反假頻。

圖2　兩種方法得到的數(shù)據(jù)規(guī)則化結(jié)果a 規(guī)則數(shù)據(jù); b 非規(guī)則數(shù)據(jù); c WMP方法規(guī)則化; d 抗泄漏的Fourier變換(ALFT)方法規(guī)則化

4　特征波場(chǎng)提取與特征波成像

前已述及,地震數(shù)據(jù)的像(角度成像道集)與疊前地震數(shù)據(jù)本身都是有特征的、可以進(jìn)行壓縮的。壓縮感知思想可以用在地震波反演成像中。有多種方式將壓縮感知用于地震數(shù)據(jù)的成像過程。最常用的是用隨機(jī)編碼炮記錄進(jìn)行地震波偏移或反演成像,加快偏移或反演成像的計(jì)算效率。編碼炮偏移可以實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)是成像結(jié)果(像)具有特征。

4.1編碼炮道集疊前深度偏移成像

編碼炮數(shù)據(jù)的最小二乘偏移可以表示成:

(9a)

式中:C為隨機(jī)編碼矩陣。隨機(jī)編碼的方式?jīng)Q定了編碼炮偏移的效率以及成像結(jié)果中Cross-Talk噪聲壓制的程度。(9a)式的解可以表示為:

(9b)

式中:CTC是編碼相關(guān)矩陣。選擇合適的編碼矩陣可以使得編碼相關(guān)矩陣接近單位矩陣。當(dāng)編碼相關(guān)矩陣等于單位矩陣時(shí),編碼炮偏移就與常規(guī)單炮偏移完全等價(jià)。編碼炮偏移的目標(biāo)就是選擇合適的編碼矩陣使得在成像效率和成像效果之間達(dá)到最佳平衡。圖3a是真反射系數(shù);圖3b是隨機(jī)常規(guī)單炮道集逆時(shí)偏移(RTM)結(jié)果;圖3c是常規(guī)單炮最小二乘RTM(LS_RTM)結(jié)果;圖3d是隨機(jī)編碼超炮集的LS_RTM結(jié)果。圖3d所示的隨機(jī)編碼超炮集的LS_RTM結(jié)果與圖3c所示的常規(guī)單炮LS_RTM結(jié)果相比基本相同,但計(jì)算效率大為提高。

4.2特征波場(chǎng)提取與特征波場(chǎng)成像

我們提出了特征波場(chǎng)及特征波成像的概念[10]。特征波場(chǎng)定義為:局部時(shí)間空間域的單震相的方向帶限波場(chǎng)。目的是利用特定的波場(chǎng)進(jìn)行有針對(duì)性的成像。

一般地,特征疊前地震數(shù)據(jù)可以表達(dá)成:

(10)

特征像可以表達(dá)成:

(11)

(10)式表達(dá)的數(shù)據(jù)可以視為局部平面波,還可以進(jìn)一步表達(dá)為高斯波包,更進(jìn)一步可以表達(dá)為空間到達(dá)時(shí)或與相位有關(guān)的空間到達(dá)時(shí)。我們提出特征表達(dá)波場(chǎng)的目的不是利用壓縮感知思想處理數(shù)據(jù),而是試圖建立起特征波場(chǎng)與特征像之間的更直接的關(guān)系,有利于后續(xù)的層析成像和最小二乘偏移。

我們首先構(gòu)建了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與局部平面波之間的預(yù)測(cè)關(guān)系:

d(x,ω)=B(x,p,ω)x(p,ω)

(12)

(12)式是空間陣列分析、空間譜分析中典型的預(yù)測(cè)模型[8]?；诖祟A(yù)測(cè)模型可以建立如下反問題:

(13)

式中:B為感知矩陣。求解(13)式所示反問題得到

局部平面波的稀疏估計(jì)[11-12]。圖4a是合成的具有局部平面波特征的數(shù)據(jù);圖4b是L2范數(shù)下估計(jì)的平面波場(chǎng);圖4c是L1范數(shù)下估計(jì)的平面波場(chǎng)?？梢钥闯鯨1范數(shù)下局部平面波估計(jì)結(jié)果的稀疏性大為提高。

圖3　真反射系數(shù)(a),常規(guī)RTM結(jié)果(b),常規(guī)單炮LS_RTM結(jié)果(c)以及隨機(jī)編碼超炮集LS_RTM結(jié)果(d)

圖4　合成波場(chǎng)(a),L2范數(shù)下估計(jì)的平面波場(chǎng)(b)和L1范數(shù)下估計(jì)的平面波場(chǎng)(c)

針對(duì)上述特征波場(chǎng)分解,我們構(gòu)建了特征波場(chǎng)Beam成像方法和特征波場(chǎng)高斯波包成像方法[13]。目的是將特征波場(chǎng)更直接地映射為地下構(gòu)造的像。更進(jìn)一步地,也可以進(jìn)行層析反演成像。圖5a是理論速度模型;圖5b是特征波場(chǎng)高斯波包疊前深度偏移成像結(jié)果。

更進(jìn)一步地,我們希望做的工作是首先抽取參數(shù)模型的某一個(gè)尺度的特征點(diǎn),然后做基于特征點(diǎn)的波動(dòng)方程模擬,接著實(shí)現(xiàn)該尺度下的參數(shù)反演。逐漸加細(xì)尺度,反演越來越詳細(xì)的模型參數(shù)。另一方面,針對(duì)當(dāng)前的FWI難以應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)的情況,我們提出基于特征波場(chǎng)的逐步線性化的反演成像方法,即:波動(dòng)理論的(與相位有關(guān)的)透射波到達(dá)時(shí)層析結(jié)合波動(dòng)理論的(與相位有關(guān)的)反射波到達(dá)時(shí)層析以及LS_RTM,期望通過這種技術(shù)組合的方式推進(jìn)FWI技術(shù)的實(shí)用化。

圖5　理論速度模型(a)及特征波場(chǎng)高斯波包偏移成像結(jié)果(b)

5　結(jié)論

嚴(yán)格地講,壓縮感知是一個(gè)數(shù)據(jù)采樣理論框架。但是在地震數(shù)據(jù)采樣的應(yīng)用中,我們認(rèn)為地震數(shù)據(jù)采集當(dāng)前的核心問題應(yīng)該是如何能真正實(shí)現(xiàn)“兩寬一高”采集,滿足油氣儲(chǔ)層的識(shí)別、定位、描述和評(píng)價(jià)要求。只有在此基礎(chǔ)上,才能開展基于壓縮感知的隨機(jī)采樣,以提高采集效率并同時(shí)降低采集成本。目前震源和檢波器技術(shù)還沒有發(fā)展到與壓縮感知隨機(jī)采樣相適應(yīng)的程度。地震數(shù)據(jù)采樣技術(shù)發(fā)展的重點(diǎn)依然在于如何用同時(shí)源激發(fā)的方式更好地實(shí)現(xiàn)“兩寬一高”采集。

盡管壓縮感知方法具有明晰的思想,并已有若干有效的應(yīng)用實(shí)例,但是依然存在需要深入研究的問題。第一個(gè)問題是隨機(jī)采樣方式與規(guī)則數(shù)據(jù)可恢復(fù)性之間缺乏可操作性的評(píng)價(jià)方法,即究竟如何進(jìn)行隨機(jī)采樣才能保證有較高的信號(hào)恢復(fù)精度,缺乏可操作性的評(píng)價(jià)手段。因?yàn)榛诟兄盘?hào)特征的隨機(jī)采樣方法要依據(jù)信號(hào)特征而變化,而信號(hào)特征事先是未知的。RIP指標(biāo)并不能直接用于地震勘探中隨機(jī)采樣方式的構(gòu)建和評(píng)價(jià)。這應(yīng)該是隨機(jī)采樣方法不能貿(mào)然實(shí)用的原因。第二個(gè)問題是如何基于模型參數(shù)(譬如反射系數(shù))的特征表達(dá),構(gòu)建相應(yīng)的基于特征表達(dá)的波傳播方法及數(shù)值模擬方法,實(shí)現(xiàn)多尺度的模型參數(shù)反演。HERRMANN等雖然提出了模型稀疏表達(dá)下的反演成像方法,但是他們的工作回避了模型的多尺度表達(dá)以及模型特征表達(dá)下的正演計(jì)算。對(duì)于模型參數(shù)特征表達(dá)情形下的反演成像而言,這兩點(diǎn)才是最關(guān)鍵的、最能體現(xiàn)勘探地震或地球物理專業(yè)特點(diǎn)的地方。

壓縮感知思想在勘探地震中的應(yīng)用除了上述兩點(diǎn)外,其它的思想和方法的借用都是順理成章的。本文中列出的若干實(shí)例說明了這一點(diǎn)。

我們認(rèn)為基于模型參數(shù)的多尺度稀疏表達(dá)、與之對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程求解、L1范數(shù)下的稀疏反演成像應(yīng)該是壓縮感知思想方法在勘探地震中重要且長(zhǎng)期的研究方向。

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(編輯：朱文杰)

Compressed sensing and its application in seismic exploration

WANG Huazhong,FENG Bo,WANG Xiongwen,HU Jiangtao,LI Hui,LIU Shaoyong,ZHOU Yang

(WavePhenomenaandInversionImagingGroup(WPI),SchoolofOceanandEarthScience,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

Compressed sensing (CS) has been given full attention in the domain of oil and gas seismic exploration.The idea of CS is mainly implemented in two aspects,one is random-sampling based applications,such as seismic acquisition design and evaluation,de-blending of simultaneous-source data,regularization of seismic data,denoising and compression of seismic data; the other is the characteristic expression of data and model parameters,and the corresponding forward modeling and sparse inversion methods (including multi-scale inversion).The former one can be solved by using various methods developed in signal and image processing fields while the latter one need geophysicists to develop new ideas and methods.Both the reflection scattering waves and layered models are compressible,which make is possible for the successful application of CS in exploration seismology.The basic idea of CS is concisely sketched and it is pointed out that CS is a theoretical frame of random sampling.And then we demonstrate that both the prestack seismic data and its migration results can be sparsely expressed.CS can be reasonably used in seismic exploration.We show its applications in random sampling,de-blending of simultaneous-source data and regularization of multi- dimensional seismic data.It is indicate that the current seismic data acquisition technology development should be focused on how to truly implement the so-called “broadband and wide-azimuth and high sampling density” seismic data acquisition.At last,the application of CS in characteristic data extraction,encoding shot gathers imaging and characteristic wavefield imaging are enumerated.

characteristic expression of signal and image,sparse and redundant representation,compressed sensing,random sampling,L1/L0norm inversion

2016-02-28;改回日期：2016-03-22。

王華忠(1964—),男,教授,主要從事地震波傳播、地震數(shù)據(jù)分析和地震波反演成像方面的研究工作。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41374117)和國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05005-005-008HZ,2011ZX05006-002,2011ZX05023)聯(lián)合資助。

P631

A

1000-1441(2016)04-0467-08DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2016.04.001

This research is financially supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No.41374117) and the National Science and Technology Major Project of China (Grant Nos.2011ZX05005-005-008HZ,2011ZX05006-002,2011ZX05023).