基于貝葉斯混合博弈的空襲火力資源分配決策模型*

周興旺，從福仲，龐世春，侯滿義，辛騰達(dá)

（空軍航空大學(xué)，長春　130000）

基于貝葉斯混合博弈的空襲火力資源分配決策模型*

周興旺，從福仲，龐世春，侯滿義，辛騰達(dá)

（空軍航空大學(xué)，長春130000）

從博弈論的角度出發(fā)研究空襲火力資源的分配問題，針對空襲編隊(duì)和防空火力單元攻防對抗過程中存在的不確定性、靜態(tài)性以及動態(tài)性，建立基于貝葉斯混合博弈的空襲對抗火力分配模型。通過構(gòu)造貝葉斯混合博弈樹，采用逆向回溯法分別建立不同的博弈分析模型，利用混合粒子群算法求解那什均衡。仿真結(jié)果表明：以博弈論為背景研究空襲作戰(zhàn)火力分配問題，符合真實(shí)的作戰(zhàn)壞境，有效性好，有較高的理論應(yīng)用價(jià)值。

博弈論，貝葉斯博弈，混合粒子群算法，火力分配

0　引言

20世紀(jì)80年代以來，世界范圍內(nèi)發(fā)生的幾場高技術(shù)局部戰(zhàn)爭充分體現(xiàn)了空襲與反空襲已成為信息化戰(zhàn)爭的主要作戰(zhàn)樣式，空襲火力的優(yōu)化與分配直接決定著戰(zhàn)爭的進(jìn)程和勝負(fù)。目前，國外對空襲火力分配作了很多的研究，而國內(nèi)的相關(guān)研究卻很有限，除了零星的幾篇UAV對地攻擊［1］和武裝直升機(jī)對地攻擊［2］火力分配外，大多都局限于防空火力資源［3-4］的分配研究中，難以滿足我國加快建設(shè)強(qiáng)大人民空軍的發(fā)展要求和研究空襲作戰(zhàn)的發(fā)展趨勢。

常規(guī)編隊(duì)對地突擊作戰(zhàn)是空襲戰(zhàn)爭的主要作戰(zhàn)力量，本文就是基于常規(guī)編隊(duì)的突擊特點(diǎn)為背景研究空襲作戰(zhàn)的火力資源分配。常用的火力分配（Weapon Target Assignment）方法有傳統(tǒng)解析分配算法［5］、智能優(yōu)化分配算法［6］和混合優(yōu)化分配算法［7］。但是這些方法的共同點(diǎn)都是基于一方最小的武器資源消耗和最大的攻擊或攔擊效果來選擇火力資源的分配策略，從博弈論的角度分析，這種分配策略忽視了對方的決策方案對自己分配策略的影響，即這種均衡策略可能是不可置信的那什均衡策略，存在著較大的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)。

1　基于博弈論的空襲火力基本問題分析

基于不完全信息動態(tài)博弈［8］（dynamic game of incomplete information）的思想，空襲火力資源分配中涉及兩個(gè)局中人，即空襲方A和反空襲方D；涉及一個(gè)虛擬的局中人，“自然人”N2，N2首先選擇博弈局中人D的類型（“防空火力強(qiáng)”（Strong Fire，SF）和“防空火力弱”（Weak Fire，WF）），局中人D自己知道，局中人A不知道，但A對D的類型有自己的先驗(yàn)認(rèn)識α；在自然選擇之后，局中人A開始行動。此過程為有先驗(yàn)知識的貝葉斯博弈過程。

A有A1和A2兩個(gè)行為選擇，A1首先行動，可以選擇“防區(qū)外發(fā)射”（Stand-off Launch，STL）和“防區(qū)內(nèi)突擊”（Protection Zone Within，PZW）兩個(gè)行動。當(dāng)選擇PZW時(shí)，攻防雙方A2和D均能攻擊到對方，雙方都不確定誰先采取行動，卻都在爭取首先攻擊對方，所以此階段可以理解為雙方同時(shí)采取行動的靜態(tài)博弈過程；當(dāng)選擇STL時(shí)，攻防雙方A2和D中有一方不能首先攻擊到對方，局中人的行動有先后順序，A2掌握主動權(quán)首先行動，D處于被動狀態(tài)，D在探測發(fā)現(xiàn)到A行動進(jìn)入自己的防區(qū)并對自己構(gòu)成威脅后選擇自己的應(yīng)對行動，所以此階段可以理解為行動有先后順序的動態(tài)博弈過程。

整個(gè)空襲火力分配問題可以用貝葉斯混合博弈樹進(jìn)行描述，如圖1所示。

圖1　貝葉斯混合博弈樹

2　貝葉斯混合博弈模型的建立與求解

2.1PZW靜態(tài)博弈部分模型的建立

當(dāng)博弈階段經(jīng)過局中人A1選擇PZW行動后進(jìn)行到信息集x5或x6時(shí)，博弈類型變?yōu)楣シ离p方同時(shí)選擇戰(zhàn)略的靜態(tài)博弈過程。

設(shè)防區(qū)內(nèi)空襲突擊飛機(jī)集合為｛F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)H｝，防空火力單元集合為｛D1，D2，…，DK｝，xij=1（或者0）表示第i架空襲飛機(jī)攻擊第j個(gè)防空火力單元（或者不攻擊而處于防御狀態(tài)）。yji=1（或者0）表示第j個(gè)防空火力單元反擊第i架空襲飛機(jī)（或者不反擊而處于防御狀態(tài)）。Ψ和φ分別表示電子干擾機(jī)對所有防空火力單元發(fā)射導(dǎo)彈命中概率的影響率和反空襲方釋放地面干擾對所有突擊飛機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈命中概率的影響率。φij表示第i架突擊飛機(jī)自身干擾對第j個(gè)防空火力單元發(fā)射導(dǎo)彈命中概率的影響率。（）和（）分別表示第i架突擊飛機(jī)對第j個(gè)防空火力單元的（命中精度）毀傷概率和第j個(gè)防空火力單元?dú)麑Φ趇架突擊飛機(jī)的（命中概率）毀傷概率。突擊飛機(jī)編隊(duì)的價(jià)值矩陣為，，防空火力單元的價(jià)值矩陣為，…，分別表示第i個(gè)突擊飛機(jī)和第j個(gè)防空火力單元發(fā)射各自一枚導(dǎo)彈的價(jià)值，和分別表示第i個(gè)突擊飛機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈的價(jià)值和第j個(gè)防空火力反擊突擊飛機(jī)導(dǎo)彈的價(jià)值。

收益是局中人在博弈中的所得或損失。本階段博弈中空襲方的收益必然是敵方的損失，反空襲方的收益是我方的損失，即此博弈為兩人有限零和博弈，博弈雙方收益之和為0。則雙方的收益函數(shù)為

ud=-ua

2.2STL動態(tài)博弈部分模型的建立

當(dāng)博弈階段經(jīng)過局中人A1選擇STL行動后進(jìn)行到信息集x4或x7時(shí)，博弈類型為博弈雙方行動有先后順序的動態(tài)博弈過程。空襲方A2首先行動，反空襲方D在觀測到A2的行動后選擇自己的行動。

STL動態(tài)博弈部分可以用一個(gè)五元函數(shù)表述為G=（Γ，Hi，Ai，，Ui），局中人集Γ為｛A2，D｝。Hi表示博弈樹中局中人i的信息集的集合，為其行動集合，其中A（hi）是在信息集hi的行動集合。表示為每一個(gè)信息集hi上的行動空間A（hi）的笛卡爾積，即。一般地，一個(gè)局中人可選擇的純戰(zhàn)略總數(shù)#，等于。Ui是局中人i的收益。

設(shè)防區(qū)外發(fā)射的空襲導(dǎo)彈集合為 ｛M1，M2，…，MZ｝，防空火力單元集合為｛D1，D2，…，DK｝。Ψ和φ*分別表示電子干擾機(jī)對所有防空火力單元發(fā)射導(dǎo)彈命中概率的影響率和反空襲方釋放地面干擾對所有空襲導(dǎo)彈命中概率的影響率。和分別表示第i個(gè)空襲導(dǎo)彈對第j個(gè)防空火力單元的（命中精度）毀傷概率和第j個(gè)防空火力單元對第i個(gè)空襲導(dǎo)彈的攔截成功概率。空襲導(dǎo)彈的價(jià)值矩陣為，防空火力單元的價(jià)值矩陣為表示第j個(gè)防空火力單元發(fā)射一枚導(dǎo)彈的價(jià)值，vjd表示第j個(gè)防空火力單元攔截空襲導(dǎo)彈的價(jià)值。

則空襲導(dǎo)彈的收益函數(shù)為

ud=-um

2.3貝葉斯混合博弈模型的求解

對于圖1這樣的既有靜態(tài)博弈部分又有動態(tài)博弈部分的貝葉斯混合博弈樹的求解，不能簡單地僅用納什均衡、子博弈精煉納什均衡或者貝葉斯納什均衡直接進(jìn)行分析，應(yīng)該根據(jù)各部分的特點(diǎn)和結(jié)果采用分塊處理思想。本文采用逆向回溯法，分別自下而上對每一部分應(yīng)用相應(yīng)的納什均衡求解策略：

步驟1：對于信息集x5或者x6開始的博弈采用納什均衡求解方法；

步驟2：對于子博弈Γ（x4）或者Γ（x7）采用子博弈精煉納什均衡求解方法；

步驟3：對于原博弈也就是子博弈Γ（x1），結(jié)合步驟1和步驟2的均衡結(jié)果采用貝葉斯納什均衡求解方法得到整個(gè)貝葉斯混合博弈的均衡結(jié)果。

定義1貝葉斯博弈［8］的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡是一個(gè)類型依存的行動組合，其中每個(gè)局中人在給定自己的類型ti和其他局中人的類型依存行動的情況下最大化自己的期望效用。稱4.1行動組合是一個(gè)純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡，如果對于?i∈Γ，均滿足：

定義2擴(kuò)展式博弈［8］的戰(zhàn)略組合是一個(gè)子博弈精煉納什均衡，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下兩個(gè)條件：

1）它是原博弈的納什均衡。

2）它在每一個(gè)子博弈上給出（或構(gòu)成）納什均衡

不論是納什均衡還是子博弈精煉納什均衡首先都得求得納什均衡。而原博弈的貝葉斯納什均衡最優(yōu)戰(zhàn)略必然是每一個(gè)后續(xù)子博弈上的納什均衡最優(yōu)戰(zhàn)略，所有原博弈Γ（x1）的核心問題是求得Γ（x4）（或者Γ（x7））和Γ（x5）（或者Γ（x6））的納什均衡。

以Γ（x5）為例，設(shè)局中人A2的混合戰(zhàn)略為x= ｛x1，x2，…，xM｝，局勢｛ai，dj｝對應(yīng)的純戰(zhàn)略收益為vija，則可得到其納什均衡值為：

上式可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解，即：

傳統(tǒng)求解上式規(guī)劃問題的方法有制約函數(shù)法，Lagrange乘子法等。但這些方法適用范圍有限，處理的都是相對簡單的優(yōu)化問題，而且精度不高，難以用編程實(shí)現(xiàn)。目前處理優(yōu)化問題比較理想的方法是采用混合智能算法。本文采用混合粒子群算法［9-10］，通過在粒子群算法中引入遺傳機(jī)制，加快收斂速度并提高精度。具體的算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：分別構(gòu)造博弈雙方的收益函數(shù)并建立收益矩陣；

步驟2：建立博弈雙方求解納什均衡的目標(biāo)函數(shù)；

步驟3：設(shè)置算法的種群數(shù)popsize，最大迭代次數(shù)gen，以及交叉pc和變異率pm；

步驟4：隨機(jī)產(chǎn)生每個(gè)粒子的位置和速度初始化粒子群；

步驟5：以目標(biāo)函數(shù)作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，以當(dāng)前粒子為個(gè)體最優(yōu)粒子，計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度；

步驟6：對粒子先進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼并轉(zhuǎn)化為遺傳算法的二進(jìn)制編碼；

步驟7：將第i個(gè)粒子位置分別與個(gè)體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子進(jìn)行交叉變異并排序。選擇適應(yīng)度最大的粒子（如果目標(biāo)函數(shù)是越小越好，則選擇適應(yīng)度最小的粒子）對第i個(gè)粒子位置、個(gè)體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子進(jìn)行更新［1］。

步驟8：重復(fù)步驟5～7，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，輸出結(jié)果為全局最優(yōu)粒子。

采用上述混合粒子群算法可以直接求得Γ（x5）（或者Γ（x6））的納什均衡，而對于Γ（x4）（或者Γ（x7））開始的博弈必須先將其擴(kuò)展式表述通過行動集合的笛卡爾積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為戰(zhàn)略式表述，才能進(jìn)行混合粒子群算法的納什均衡求解。

3　實(shí)例仿真

假設(shè)有3個(gè)空襲作戰(zhàn)飛機(jī)，有3個(gè)防空火力單元，A在防區(qū)外具有一架電子干擾機(jī)，D在地面具有干擾源。假定同一作戰(zhàn)飛機(jī)對不同防空火力單元和同一防空火力單元對不同空襲飛機(jī)（或空襲導(dǎo)彈）的命中精度和毀傷概率相等。同一空襲飛機(jī)對不同防空單元命中概率的影響率相等，其部分?jǐn)?shù)據(jù)假設(shè)如表1和表2。當(dāng)防空火力弱時(shí)，Ψ=40%，φ=15%，φ*=12%；當(dāng)防空火力強(qiáng)時(shí)Ψ=20%，φ=30%，φ*=25%。popsize=50，gen=100，pc=0.6，pm=0.05。

為提高作戰(zhàn)效能，在不同的空襲階段其攻防雙方對目標(biāo)的毀傷率達(dá)到85%，可以認(rèn)為目標(biāo)的功能已喪失，并停止對其攻擊或攔截。一般實(shí)戰(zhàn)中對一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行空襲時(shí)為了防止脫靶并提高命中率，普遍采用雙連發(fā)或者三連發(fā)，本文默認(rèn)對一個(gè)目標(biāo)攻擊時(shí)，每次雙連發(fā)，不夠雙連發(fā)的以單計(jì)算。

表1　空襲飛機(jī)及空襲導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù)

表2　防空火力單元及防空導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù)

3.1PZW靜態(tài)博弈部分均衡分析

首先需要確定空襲飛機(jī)和防空火力單元的攻防對抗戰(zhàn)略，再通過收益函數(shù)為空襲飛機(jī)和防空火力單元分別建立收益矩陣B1和B2，最后求得均衡戰(zhàn)略。

當(dāng)自然選擇防空火力單元弱時(shí)，通過分析：對于一對一空防對抗?fàn)顟B(tài)，我方采用防區(qū)內(nèi)突擊空襲 ， 戰(zhàn) 略 為 （1，2，3；1，2，3），（1，2，3；1，3，2），（1，2，3；2，1，3），（1，2，3；3，1，2），（1，2，3；2，3，1），（1，2，3；3，2，1），例如（1，2，3；1，2，3）代表空襲方的一個(gè)戰(zhàn)略，表示為突擊飛機(jī)F1空襲防空火力單元D1，F(xiàn)2空襲D2，F(xiàn)3空襲D3，其收益矩陣分別為6*6維；若為多對一或者一對多空防狀態(tài)，則其收益矩陣就為27*27維，計(jì)算量呈指數(shù)級增加，難以用傳統(tǒng)方法求解。本文采用混合粒子群算法，可以克服計(jì)算量的問題，且速度快，收斂性好。為了簡化計(jì)算量，假設(shè)空防對抗為一對一。

根據(jù)雙方攻防戰(zhàn)略建立B1和B2，采用混合粒子群算法步驟，通過Matlab編程，得到空襲方的那什均衡戰(zhàn)略為（0.046，0.104，0.241，0.082，0.425，0.102），收益為2.351。同理可得當(dāng)自然選擇防空火力單元強(qiáng)時(shí)的均衡戰(zhàn)略為（0.051，0.106，0.208，0.392，0.125，0.118）收益為-0.785。

為了說明本文提出的算法在求解納什均衡的優(yōu)勢，將該算法與普通粒子群算法的仿真結(jié)果對比如表3。

表3　算法性能對比

表3可以看成，采用混合粒子群算法求解納什均衡明顯優(yōu)于普通粒子群算法。

3.2STL動態(tài)博弈部分均衡分析

具備防區(qū)外發(fā)射的導(dǎo)彈分別是3架空襲飛機(jī)上掛載的3種型號的導(dǎo)彈，共計(jì)7枚，編號為M1，M2，…，M7。一般實(shí)戰(zhàn)中對一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行空襲時(shí)為了防止脫靶并提高命中率，普遍采用雙連發(fā)或者三連發(fā)。本文分為3組空襲組合：M1和M2為一組，M6和M7為一組，剩下的為第3組。經(jīng)過分析，空襲方的可選行動有6個(gè)，為（1-2，3-5，6-7；1，2，3），（1-2，3-5，6-7；1，3，2），（1-2，3-5，6-7；2，1，3），（1-2，3-5，6-7；3，1，2），（1-2，3-5，6-7；2，3，1），（1-2，3-5，6-7；3，2，1），分別用 λ1，λ2，…，λ6表示。其中（1-2，3-5，6-7；1，2，3）表示M1和M2空襲D1，M3、M4、M5空襲D2，M6和M7空襲D3。反空襲方在觀測到空襲方的行動后選擇自己的行動，其可供選擇的行動也為6個(gè)，行動集合跟空襲方相同，只是一個(gè)是空襲，一個(gè)是攔截，分別用λ1，λ2，…，λ6表示。從圖1中知，反空襲方有6個(gè)信息集，則其戰(zhàn)略空間為可選行動集合的笛卡爾積為36個(gè)，此時(shí)，空防對抗博弈的戰(zhàn)略式表述為一個(gè)6*36維的矩陣，并建立收益矩陣B3和B4。當(dāng)自然選擇防空火力弱時(shí)，采用混合粒子群算法步驟，通過Matlab編程，得到空襲方的那什均衡戰(zhàn)略為（λ3；｛λ4，λ3，λ3，λ6，λ5，λ1｝），（λ4；λ6，λ4，λ1，λ3，λ4，λ2）和（λ6；λ2，λ5，λ1，λ2，λ3，λ6）。根據(jù)定義2，經(jīng)過分析知前兩個(gè)均衡戰(zhàn)略在由反空襲方D開始的子博弈上不構(gòu)成納什均衡，所以（λ6；λ2，λ5，λ1，λ2，λ3，λ6）是唯一的子博弈精煉納什均衡，其均衡結(jié)果為空襲方選擇λ6行動，反空襲選擇λ6行動，得到收益1.473。同理可得當(dāng)自然選擇防空火力單元強(qiáng)時(shí)的均衡戰(zhàn)略為（λ3；｛λ4，λ3，λ4，λ6，λ2，λ5｝），得到收益0.276。

3.3貝葉斯混合博弈均衡結(jié)果分析

3.1節(jié)和3.2節(jié)分別完成了靜態(tài)博弈部分和動態(tài)博弈部分的納什均衡求解，此時(shí)對于整個(gè)博弈可以看成是只有自然虛擬人N2、局中人A1和A2組成的貝葉斯博弈。SF和WF分別是局中人D的類型，局中人A1不知道D的類型，只知道自然人N2以α的概率選擇SF，以1-α的概率選擇WF。根據(jù)定義1并結(jié)合貝葉斯法則，得到貝葉斯納什均衡的臨界概率滿足為：

帶入數(shù)據(jù)的α*=0.453。即當(dāng)空襲方判斷α≥0.453時(shí)，空襲方的最優(yōu)戰(zhàn)略是A1首先選擇行動STL，接著A2選擇行動λ3，D在觀測到A2的行動后選擇自己的最優(yōu)行動λ4；即當(dāng)空襲方判斷α＜0.453時(shí)，空襲方的最優(yōu)戰(zhàn)略是A1首先選擇行動PZW，接著A2和D同時(shí)選擇戰(zhàn)略，A2的最優(yōu)戰(zhàn)略是以（0.046，0.104，0.241，0.082，0.425，0.102）的概率選擇（1，2，3；1，2，3），（1，2，3；1，3，2），（1，2，3；2，1，3），（1，2，3；3，1，2），（1，2，3；2，3，1），（1，2，3；3，2，1）。實(shí)戰(zhàn)中，反空襲方為了最小化自己的損失，往往通過制造假象迷惑空襲方對α的正確判斷，同樣空襲方也為了最大化自己的收益，通過經(jīng)驗(yàn)和偵察不斷修正對α后驗(yàn)信念（概率分布）的認(rèn)識和判斷。

4　結(jié)論

本文采用博弈論的思想研究不確定條件下空襲作戰(zhàn)火力資源分配問題。這種建模方法克服了傳統(tǒng)分配方法從單方面優(yōu)化分配策略的缺陷，將各種分配策略聚合在攻防雙方相互對抗和不斷優(yōu)化調(diào)整的博弈環(huán)境下，是真實(shí)作戰(zhàn)環(huán)境的直接映射，意義明顯。同時(shí)本文采用混合粒子群算法求解納什均衡，計(jì)算速度快，收斂性好。仿真結(jié)果表明，該建模思路有效性好，真實(shí)性高，具有很強(qiáng)的軍事應(yīng)用價(jià)值。

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Decision-Making Model Research of Air-raid Firepower Resources Allocation Based on Bayesian Mixed Game

ZHOU Xing-wang，CONG Fu-zhong，PANG Shi-chun，HOU Man-yi，XIN Teng-da
（Aviation University Air Force，Changchun 130000，China）

From the perspective of game theory to studying air-raid firepower resources allocation，for air-raid formation and defense firepower unit existing uncertainty，static and dynamic in the process of attack-defense，the firepower distribution model of air-raid countermeasures based on bayesian mixed game is built.By constructing a bayesian mixed game tree，using the reverse backtracking to setting up respectively different game analysis model，using hybrid particle swarm algorithm to solving the Nash equilibrium.The simulation results show：based on the game theory as background to researching the air-raid firepower assignment problem，conforms to the real operational environment，have good effectiveness，high theoretical and application value.

game theory，bayesian game，hybrid particle swarm algorithm，firepower distribution

E911

A

1002-0640（2016）07-0018-05

2015-06-05

2015-07-07
*

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171350）

周興旺（1990-），男，陜西咸陽人，碩士研究生。研究方向：軍事運(yùn)籌與決策建模。