傅立葉變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用研究

司新新 李佳

【摘要】 傳統(tǒng)的信號分析和處理使用了傅立葉變換，這種數(shù)學(xué)工具可以處理非平穩(wěn)信號的分析局限問題，有著非常重要的意義。本文立足于相關(guān)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)探討了短時傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)情況以及窗函數(shù)的選取，希望為后期的相關(guān)應(yīng)用研究提供參考和建議。

【關(guān)鍵詞】 不確定性原理 矩形窗 平移卷積 FFT

一、理論基礎(chǔ)

作為一種傳統(tǒng)數(shù)學(xué)工具，傅立葉變換在信號分析與處理方面有著較為重要的作用。傅立葉變換投入使用之后，就可以實(shí)現(xiàn)信號的時域和頻域之間的自由變換[1]。有些確定信號的頻譜并不會隨著時間變化，還有一些平穩(wěn)的隨機(jī)信號，這些信號只要樣本選取的較為合理，就會通過傅立葉的相關(guān)分析在滿足一定條件后得到合適的結(jié)果。本文主要是立足于數(shù)字信號處理過程中，短時傅立葉變換是如何發(fā)揮作用的，最后使用Matlab 語言編程來了解相關(guān)的分析結(jié)果。

二、短時傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)

（1）連續(xù)短時傅立葉變換的定義

假設(shè)：x（t）代表被分析信號，t=- ∞～∞，分析窗為w（t），那么就可以使用以下公式來解釋非平穩(wěn)信號x（t）的短時傅立葉變換。即：

時間t 處短時傅立葉變換的計算也是按照了一個完整的過程展開的，具體情況如下：

1）獲取w（τ-t）。把分析窗w（τ）由時間零處平移至?xí)r間t 的位置上，得到需要的結(jié)果；2）獲取短時信號xi（τ）=x（τ）w（τ-t）。用水平方向移動過后的分析窗加窗截斷相關(guān)的信號，獲取需要的結(jié)果；3）分析結(jié)果。使用傅立葉變換分析短時信號xi（τ）的頻譜。在這個過程當(dāng)中，相關(guān)環(huán)節(jié)的實(shí)際需求是較為明顯的，只要按照流程進(jìn)行，就能得到相應(yīng)的結(jié)果。如果，想要獲取高分辨率，那么在分析窗的選擇上要嚴(yán)格一些，時間短的分析窗比較符合標(biāo)準(zhǔn)。

（2）連續(xù)短時傅立葉變換的頻域形式

傅立葉變換有著自己獨(dú)特的性質(zhì)，那么，兩個時域信號乘積的傅立葉變換與各自頻域的卷積相等，根據(jù)這個原理，（1）式也可以得到以下的結(jié)果：

式中窗函數(shù)在整個公式中有著自己獨(dú)特的存在價值，主要是為了實(shí)現(xiàn)x（n）在n 時刻附近的一小段信號的處理，這種處理也是由傅立葉變換來完成的。窗函數(shù)的變化與n之間是相輔相成的，前者隨著后者移動，從這個方面就可以得到相關(guān)的結(jié)論：信號頻譜隨著時間n的變化而變化。

2）從線性濾波的角度解釋離散短時傅立葉變換

（4）短時傅立葉變換的時域、頻域采樣

短時傅立葉變換的ω作為一個變量，屬于連續(xù)性的，在計算機(jī)開展相關(guān)的運(yùn)算的時候，頻域之間應(yīng)該是離散化的。如果按照上述的解釋，那么選取的所有的參數(shù)必須符合相關(guān)的頻率采樣定理。在窗口的位置上，每次移動的距離應(yīng)該都是一樣的，設(shè)定的數(shù)值為30。這就是一個與采樣有關(guān)的問題。短時傅立葉變換的時間分辨率是非常有限的，因此，在選樣方面要掌握好一個度，不然沒法滿足相應(yīng)的需求，同樣，采樣的間隔也是要設(shè)置合理的。

三、窗函數(shù)的選取

1）不同的窗的選擇。不同的窗有著各自獨(dú)特的特點(diǎn)，因此應(yīng)該按照實(shí)際的需求選擇合適的窗。矩形窗主瓣寬度較窄，旁瓣峰值較大，旁瓣峰值衰減速度較慢，這些屬性導(dǎo)致其容易泄露頻譜，從而導(dǎo)致分析性能的弱化。漢寧窗和海明窗有著與矩形窗截然相反的屬性，比較適合分析，因此，使用相關(guān)的分析方式時，能夠取得較為優(yōu)異的分析結(jié)果。實(shí)際上，最佳的分析窗正好是上面兩者的結(jié)合，因此，在很多時候，具體的操作都是結(jié)合不同條件來選取最合適的分析窗函數(shù)的。2）不同的窗長度的選擇。當(dāng)分析窗函數(shù)確定了之后，也應(yīng)該注意選擇合適的分析窗長度。當(dāng)窗口過于長的時候，信號不是很平穩(wěn)的話，那么傅立葉變換的價值就會較小，運(yùn)算量就會很大；相反，窗口過小，那么攝取的信息量又會太小。因此，要想獲取精確的結(jié)果，務(wù)必要選擇合適的窗函數(shù)的長度。

結(jié)束語：傅立葉變換在分析時變信號和非平穩(wěn)信號方面有著自己的局限，而短時傅立葉則剛好可以解決這些問題，但是也并非沒有任何缺陷。另外，窗函數(shù)的長度也是必須要合適的，這樣才能確保短時信號處于較為穩(wěn)定的狀態(tài)，進(jìn)而得到比較精確的分析結(jié)果。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]王金嬋，趙永安.分?jǐn)?shù)傅立葉變換的進(jìn)展與展望[J].應(yīng)用光學(xué)，2003（5）：57.

[2]朱全銀，鄧建平.基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻干擾抑制[J].探測與控制學(xué)報，2009（1）：1014.

[3]竇德召，常鴻森，林睿.變形分?jǐn)?shù)傅立葉變換相關(guān)器[J].華南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005（3）：7079.