彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的一類振動反問題

萬文婷

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000)

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彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的一類振動反問題

萬文婷*

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000)

本文討論了系統(tǒng)慣性能量約束下的接地彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的構(gòu)造問題。通過求解一類廣義逆特征值問題，得到問題有解的一個充分必要條件，并給出解的計算表達式、數(shù)值算法及算例。

接地彈簧質(zhì)點系統(tǒng)；廣義逆特征值問題；Jacobi矩陣；特征對

工程實際中常遇到例如樁的縱向振動問題，這類問題中桿是沿長方向與彈性基礎(chǔ)相連的，其桿的縱向振動反問題利用集中質(zhì)量法或有限差分法可離散為彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的振動反問題。彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的振動反問題是動力學(xué)反問題中的基本問題，相關(guān)研究在振動控制、結(jié)構(gòu)設(shè)計、參數(shù)識別等方面都有著重要的應(yīng)用。所謂彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的振動反問題，就是由已測量的部分頻率(特征值)和相應(yīng)的振型(特征向量)確定系統(tǒng)其余物理參數(shù)。此類問題在數(shù)學(xué)上常轉(zhuǎn)化為Jacobi矩陣的特征值反問題，目前，關(guān)于Jacobi矩陣特征值反問題的研究已有一些較好的結(jié)果[1-5]。文[6-11]分別研究了由兩組特征值、由一個或兩個特征對、由兩個不完整特征對確定彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的振動反問題，并給出了相應(yīng)問題的可解性條件及求解的數(shù)值方法。結(jié)合工程實際問題，本文考慮由系統(tǒng)的部分物理參數(shù)、兩個特征對及系統(tǒng)的慣性能量構(gòu)造了一類不同于文[11]的彈簧質(zhì)點系統(tǒng)，得到了相關(guān)問題解的存在條件、表達式及算法。

前p個質(zhì)點通過彈簧接地的n自由度彈簧質(zhì)點系統(tǒng)(圖1)對應(yīng)的廣義特征值方程為

KX=λMX，其中λ和X分別稱為矩陣對(K，M)的特征值和特征向量，λ=ω2，ω是固有頻率，X為振型，M=diag(m1，m2，…，mn)是質(zhì)量矩陣，質(zhì)點質(zhì)量mi>0，未接地彈簧剛度ki>0(i=1，2，…，n-1)，接地彈簧剛度cj>0(j=1，2，…，p)，

為剛度矩陣。

圖1　接地彈簧質(zhì)點系統(tǒng)

本文考慮如下彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的能量約束問題：

KX=λMX，KY=μMY，

(1)

記ui=xi-xi-1，vi=yi-yi-1，li=λxivi-μyiui，i=1，2，…，n，

hi=λxivi+1-μyiui+1，i=1，2，…，n-1，

zi=(λ-μ)xiyi，fi=xivi+1-yiui+1，gi=xivi-yiui，ri=kifi-ki-1gi，

si=kihi-ki-1li，i=1，2，…，p，

這里，x0=y0=0， k0=0。

1　問題唯一解的條件

若mi>0(i=1，2，…，n)，則方程KX=λMX等價于方程JX=λX，這里J=M-1K是n階Jacobi矩陣。

定義[12]對n維實向量X=(x1，x2，…，xn)T，其分量組成的序列的符號改變數(shù)(值為零的項略去不計)記為S(X)。

由于Jacobi矩陣的特征值為互不相等的實數(shù)，不妨設(shè)n階Jacobi矩陣J的特征值為λi>0(i=1，2，…，n)，按升序排列為λ1<λ2<…<λn，則有

引理[12]設(shè)(λ，X)是n階Jacobi矩陣J的特征對，則(λ，X)是J的第i個特征對的充分必要條件是S(X)=i-1， i=1，2，…，n。

式(1)可改寫成

(2)

i=1，2，…，n，這里，k0=kn=0， x0=y0=0， cp+1=…=cn=0。

定理問題有唯一解的充分必要條件是

(1)zi≠0，且zi，ri，si同號，i=1，2，…，p-1；

hi≠0，且hi，li，qi同號， i=p+1，p+2，…，n-1；

xnun>0， ynvn>0， ln=0；

(2) t≠0，且w與t同號；

(3) zp≠0，且zp，rp，sp同號；

(4) S(X)=i′-1，S(Y)=j′-1。

證明當(dāng)i=1，2，…，p-1時，

即zi≠0，i=1，2，…，p-1，且

(3)

又mi>0，ci>0，因而，zi，ri，si同號，i=1，2，…，p-1。

當(dāng)i=p時，不妨設(shè)kp已知，則

(4)

又mp>0，cp>0，則zp，rp，sp同號。另外，mp與cp還可展開為

當(dāng)i=p+1，p+2，…，n-1時，不妨設(shè)kp已知，則

(5)

又ki>0，mi>0，因而hi，li，qi同號，i=p+1，p+2，…，n-1。同樣，ki與mi也可展開為

當(dāng)i=n時，不妨設(shè)kp已知，則

(6)

(7)

因為kp>0， 所以t≠0，且w與t同號。再結(jié)合引理，即得定理。

2　算法和算例

算法1) 計算S(X)，S(Y)。 若S(X)≠i′-1 或S(Y)≠j′-1，則轉(zhuǎn)6)；

3) 若某個zi=0或zi，ri，si(i=1，2，…，p-1)不同號，則轉(zhuǎn)6)；

若某個hi=0或hi，li，qi(i=p+1，p+2，…，n-1)不同號，則轉(zhuǎn)6)；

若xnun≤0或ynvn≤0或ln≠0，則轉(zhuǎn)6)；

5) 計算kp，rp，sp。若zp=0或zp，rp，sp不同號，則轉(zhuǎn)6)；

6) 解無法唯一確定，退出程序；

現(xiàn)需構(gòu)造出K和M，設(shè)計出一個9自由度的接地彈簧質(zhì)點系統(tǒng)，且要求(λ，X)和(μ，Y)分別為系統(tǒng)的第3個和第8個特征對。

由算法，得S(X)=2，S(Y)=7。

因而，t=2.4979，w=5.2239。由式(7)，得k4=2.0913，因而，r4=0.1379，s4=0.2097。

用Matlab重新計算KX=λMX的廣義特征值全體為

σ(K，M)={0.0287，0.3413，0.8411，1.4231，1.7295，2.1545，2.6482，3.3918，4.4495}。

特征值λ=0.8411對應(yīng)的特征向量為

X=(0.0232，0.0502，0.0931，0.1758，0.3745，0.1919，-0.4855，-0.4159，0.6096)T，

特征值μ=3.3918對應(yīng)的特征向量為

Y=(-0.9155，0.3587，-0.0829，-0.1469，0.0670，-0.0177，0.0052，-0.0011，0.0002)T。

3　結(jié)束語

本文研究了系統(tǒng)慣性能量約束要求下，由接地彈簧質(zhì)點系統(tǒng)的部分物理參數(shù)和兩個模態(tài)構(gòu)造真實振動系統(tǒng)的設(shè)計問題。將問題歸結(jié)為一類Jacobi矩陣的逆特征值問題，給出了問題的可解性條件，并提供了問題求解的數(shù)值算法和計算實例。

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(責(zé)任編輯：曾晶)

A Vibration Inverse Problem of Spring-Mass System

WAN Wenting*

(School of Mathematics and Physics， Jingchu University of Technology， Jingmen 448000， China)

A construction problem for grounding spring-mass system under the inertial energy restriction was discussed. By solving a class of general inverse eigenvalue problems， a necessary and sufficient conditions for solution of the problem was obtained. And computational expressions of the solution， numerical algorithms and numerical example were given.

grounding spring-mass system; general inverse eigenvalue problem; Jacobi matrix; eigenpair

A

1000-5269(2016)03-0004-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.03.02

2016-03-28

湖北省教育廳科研項目(B2016264)；荊楚理工學(xué)院校級科研基金項目(QN201607)

萬文婷(1982-)，女，講師，碩士，研究方向：數(shù)值代數(shù)，Email: wentingwan@163.com.

萬文婷，Email：wentingwan@163.com.

O151.21