• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    數(shù)學(xué)王國的探索者

    2016-08-16 15:47杜月嬌
    科學(xué)中國人 2016年7期
    關(guān)鍵詞:級(jí)數(shù)算術(shù)公式

    杜月嬌

    劉東文,浙江大學(xué)“青年千人計(jì)劃”特聘研究員。1987年1月生,安徽人。2002.09~2006.06,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科;2006.08~2011.06,香港科技大學(xué)博士;2011.08~2012.07,廈門大學(xué)助理教授;2012.0~2015.08,康涅狄格大學(xué)博士后。2015年9月就聘于浙江大學(xué)。主要研究方向是針對(duì)抽象調(diào)和分析、自守形和表示論做出了若干推廣。兼任美國數(shù)學(xué)會(huì)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員、德國《數(shù)學(xué)文摘》評(píng)論員。2010年以來發(fā)表論文7篇,多次參加國家學(xué)術(shù)會(huì)議,并受邀在韓國高等研究院、日本九州大學(xué)、康涅狄格大學(xué)、耶魯大學(xué)、廈門大學(xué)、香港科技大學(xué)等地進(jìn)行學(xué)術(shù)報(bào)告?;貒蟪袚?dān)項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目“高維adele和算術(shù)曲面”(2013~2015);浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”(2016.1~2017.12)。

    專家簡(jiǎn)介:

    2010年8月19日,在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上,越南數(shù)學(xué)家吳寶珠獲得國際數(shù)學(xué)界大獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng)。他“通過引入新的代數(shù)—幾何學(xué)方法,證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式中的基本引理”,該成果于2009年被美國《時(shí)代》周刊列為年度十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。

    “朗蘭茲綱領(lǐng)”“自守形”,同樣的關(guān)鍵詞,也出現(xiàn)在浙江大學(xué)“青年千人計(jì)劃”特聘研究員劉東文的履歷中。29歲的他,“研齡”不長(zhǎng),卻折服于數(shù)論之魅力,做好了在自守形和表示論領(lǐng)域內(nèi)“打持久戰(zhàn)”的準(zhǔn)備。

    享受“朗蘭茲”的江湖

    2002年9月,15歲的劉東文走進(jìn)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班?!拔沂前不杖?,離中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)比較近,恰好我當(dāng)時(shí)也符合少年班的報(bào)考條件,就試了一下?!痹谟浾叩暮闷胬铮瑒|文并沒有講述一個(gè)神童的成長(zhǎng)故事,只是輕描淡寫地說了幾句。按照少年班的規(guī)矩,劉東文在學(xué)習(xí)了一年的基礎(chǔ)課之后,選擇了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向。

    “我更喜歡理論一點(diǎn)的東西。”他說,轉(zhuǎn)而又給記者分析起自己的研究方向。“表示論是一個(gè)很寬的理解方向,分支很多。一般來說,表示論其實(shí)是通過研究一個(gè)對(duì)象在另一個(gè)空間上的作用來研究對(duì)象本身?!边@種借力打力的方式,讓劉東文覺得趣味盎然。而自守形則是其中的核心方向,“對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù),比如3,你可以考慮三進(jìn)制數(shù)或者五進(jìn)制數(shù)等。也就是說,對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù),都可以考慮這個(gè)素?cái)?shù)上對(duì)應(yīng)的李群,以及它的表示。當(dāng)你把所有素?cái)?shù)的表示放在一起,最直接的意義就是可以去考慮這些表示的整體性質(zhì),給出一個(gè)自守表示,得到一個(gè)L函數(shù)。我們的目的就是用表示論的方法去研究L函數(shù)的性質(zhì)?!?/p>

    現(xiàn)在的劉東文,可以清晰直觀地去分析,但當(dāng)年的他卻只能一步步摸索。2006年6月,劉東文本科畢業(yè),兩個(gè)月后,他前往香港科技大學(xué)繼續(xù)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面深造,師從朱永昌教授?!拔艺嬲臄?shù)學(xué)訓(xùn)練其實(shí)就是在香港科技大學(xué)攻讀博士學(xué)位那幾年開始的,在朱老師身上學(xué)到了很多東西,讓我懂得判別什么樣的數(shù)學(xué)是好的。”在朱永昌教授的建議下,劉東文選擇了無窮維李群。他在博士論文中研究了一般數(shù)域上loop群的拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu),誘導(dǎo)了cuspidal Eisenstein級(jí)數(shù),在Godemen條件下證明了常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)收斂,從而證明了級(jí)數(shù)本身的幾乎處處收斂性。他們還計(jì)算并討論了常數(shù)項(xiàng)和傅里葉系數(shù)。“一直以來,大家做的都是有限維李群方向,無窮維李群方向的研究人群很少,是屬于比較新的進(jìn)展?!?/p>

    眾所周知,Eisenstein級(jí)數(shù)在自守形理論中起到非常重要的作用。它不僅決定了自守形空間的連續(xù)譜,而且還通過取留數(shù)可以給出離散譜中所有的非cuspidal表示。另一方面,著名的Langlands-Shahidi方法對(duì)Langlands functoriality和拉馬努金猜想都有重要的應(yīng)用,然而卻只能夠解決有限的幾種情況。為了得到更廣泛的結(jié)果,Garland首先提出把Eisenstein級(jí)數(shù)的理論推廣到無窮維Kac-Moody群上,并對(duì)affine Kac-Moody群,也就是所謂loop群在有理數(shù)域的情況奠定了基礎(chǔ)。基于Garland的這個(gè)想法,近年來關(guān)于loop群上的Eisenstein級(jí)數(shù)理論取得了很多進(jìn)展,并且在表述論和數(shù)論領(lǐng)域吸引了越來越多的注意。為了將來在數(shù)論上的應(yīng)用,首先需要建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ),那么第一個(gè)步驟則是研究loop群上的測(cè)度理論和Eisenstein級(jí)數(shù)的解析性質(zhì)。在這種背景之下,劉東文在博士期間去挖掘loop群上Eisenstein級(jí)數(shù)的常數(shù)項(xiàng)和傅里葉系數(shù)具有非常重要的意義。如果考慮從Borel子群誘導(dǎo)出的Eisenstein級(jí)數(shù),那么其常數(shù)項(xiàng)由所謂的affine Gindikin-Karpelevich公式給出。在有限維的情況下,Gindikin-Karpelevich公式就是Langlands-Shahidi方法的起點(diǎn)。

    “這里面,我們所關(guān)心的朗蘭茲綱領(lǐng),從某種意義上說,是一種大一統(tǒng)理論。會(huì)把分析、數(shù)論、幾何等數(shù)學(xué)里不同的分支統(tǒng)一起來,去揭示數(shù)學(xué)里面一種很普遍的現(xiàn)象,甚至把一些看起來不相關(guān)的東西和算術(shù)聯(lián)系到一起。在有限維的群上,對(duì)于Langlands-Shahidi方法,我們能用的例子幾乎都用完了,很難再得到新的結(jié)果,所以考慮無窮維的群也是大勢(shì)所趨,因?yàn)榭梢杂懈嗟膶?duì)象可以利用,就會(huì)出現(xiàn)一些新的可能性?!眲|文的“可能性”,是回歸到解析性質(zhì)的研究,進(jìn)一步對(duì)級(jí)數(shù)本身的絕對(duì)收斂證明做出更加細(xì)致的分析。借鑒朗蘭茲綱領(lǐng)的技巧,他實(shí)現(xiàn)了對(duì)常數(shù)項(xiàng)和級(jí)數(shù)本身的比較,最終在一些條件下對(duì)一般數(shù)域的情況證明了Eisenstein級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂,并且猜測(cè)這些條件可以被放寬。這些結(jié)果將發(fā)表在Transactions of the AMS上。

    這只是一個(gè)開始,隨著研究的進(jìn)展,劉東文在和L.Carbone,H.Garland,D.Gourevich,K-H.Lee,S.Miller等人的合作中,把Eisenstein級(jí)數(shù)理論推廣到了更一般的Kac-Moody群上。“ 我們?cè)贕odemen條件下證明了常數(shù)項(xiàng)在Tits cone上是絕對(duì)收斂的,并寫出了Gindikin-Karpelevich公式。特別地,對(duì)于秩為2的雙曲Kac-Moody群,我們得到了Eisenstein級(jí)數(shù)本身的收斂性,并證明了cuspidal Eisenstein級(jí)數(shù)是一個(gè)整函數(shù)。而對(duì)于一般的情形,我們收斂性的問題歸結(jié)到關(guān)于Kac-Moody代數(shù)和秩為3的Frenkel-Feingold代數(shù)。另外,我們對(duì)有限域上秩為2的Kac-Moody群的Eisenstein級(jí)數(shù)也做了一些有趣的工作。”他習(xí)慣用“有趣”來形容這些在檻外人看來異常艱深的研究,并繼續(xù)用朗蘭茲綱領(lǐng)舉例,“著名的費(fèi)馬大定理就用到了自守形表示,朗蘭茲綱領(lǐng)在其中起到了非常重要的作用?!彼J(rèn)為,這種作用極有創(chuàng)見性,需要去了解很多東西,當(dāng)不同的分支交叉起來,“你會(huì)看到不同的領(lǐng)域是怎樣被統(tǒng)一的”,他很享受這種過程。endprint

    能夠應(yīng)用到“朗蘭茲綱領(lǐng)”的理論非常多,它們圍繞著自守形,形成了一個(gè)獨(dú)特的“江湖”。劉東文一直在其中探索新的應(yīng)用,在與Y.Zhu的合作中,他們?cè)诟匀坏臈l件下證明了loop辛群上theta函數(shù)的絕對(duì)收斂,并討論了它的模性質(zhì)。這項(xiàng)工作發(fā)表在Journal of Algebra。受到這一工作的啟發(fā),他們觀察到一些punctured算術(shù)曲面上的向量叢的同構(gòu)類可以用loop群的算術(shù)商來刻畫,而定義在這些算術(shù)商上的theta函數(shù)可以理解為無窮維torus上的線叢的截面,從幾何的觀點(diǎn)給出了loop theta函數(shù)的解釋,發(fā)表在Mathematical Research Letters。而在對(duì)loop群結(jié)構(gòu)的研究中,他們分類了典型loop群的共軛類,并發(fā)表在Proceedings of the AMS上。

    從算術(shù)曲面上尋求突破

    上世紀(jì)50年代,著名的Tate's thesis中,J.Tate用局部緊群的調(diào)和分析理論和adele的語言來研究Hecke L函數(shù)的性質(zhì),證明了它的解析延拓和函數(shù)方程。這一經(jīng)典工作可以視為現(xiàn)代自守形理論的基礎(chǔ)。而作為局部緊群調(diào)和分析理論的另一個(gè)代表性的應(yīng)用,A.Weil引入了Weil指標(biāo)和Weil表示,給出了二次互反律的解析證明。這些工作對(duì)現(xiàn)代表示論的發(fā)展產(chǎn)生了無法估量的深遠(yuǎn)影響。從數(shù)論和算術(shù)的觀點(diǎn)來看,經(jīng)典調(diào)和分析理論為整體域,也就是算術(shù)曲線的函數(shù)域的研究提供了有力的工具。

    “我們的想法是希望用解析的方法來研究更高維的算術(shù)對(duì)象,在二維的情形,也就是算術(shù)曲面。”提到這個(gè)想法,又要說到Y(jié).Zhu了。依然是與之合作,劉東文將調(diào)和分析推廣到非局部緊致交換群,乃至比局部緊致交換群更高一層的范疇上?!邦愃朴谒腎nd-Pro范疇,我們把這個(gè)范疇叫做LCA(2)。LCA(2)里的對(duì)象非常豐富,比如它包含所有的二維局部域?!眲|文介紹。他們將這些對(duì)象引入了測(cè)度理論和Bruhat-Schwartz函數(shù)空間,從而可以進(jìn)一步定義傅里葉變換。他們也推廣了Weil指標(biāo)的概念,得到了曲面上的一些二次互反律?!拔覀儾孪?,另一個(gè)潛在的應(yīng)用可能會(huì)給出算術(shù)曲面某種形式的Riemann-Roch定理?!痹谟?jì)劃書里,劉東文認(rèn)真寫道。

    對(duì)于一位數(shù)學(xué)研究者來說,方法是十分重要的,尤其是這種需要代入多個(gè)數(shù)學(xué)分支的研究。劉東文通過代數(shù)的方法,利用Milnor K理論和Kato余數(shù)同態(tài)等工具,在算術(shù)曲面上推廣了tame符號(hào),并證明了這些局部定義在K群上的符號(hào)滿足若干互反律。在混合特征的情形下,給出了Kato余數(shù)同態(tài)的具體公式,還發(fā)現(xiàn)了它和Contou-Carrere符號(hào)的密切聯(lián)系,發(fā)表在Advances in Mathemtics上。

    這些都是對(duì)無窮維代數(shù)群上自守形的研究,但劉東文并非只抱定無窮維,相反,他對(duì)傳統(tǒng)的有限維代數(shù)群自守形理論也有所涉獵。對(duì)于同樣大小的dual pair酉群來說,從Rallis內(nèi)積公式得到的zeta積分給出一些自守L函數(shù)的中心值,可以進(jìn)而對(duì)志村簇等一些算術(shù)對(duì)象提供有用的信息。劉東文的一項(xiàng)進(jìn)展,就是計(jì)算了實(shí)李群U(2,1)上的某種zeta積分。在計(jì)算過程中,他們一方面用joint harmonics來得到Weil表示的矩陣系數(shù),另一方面用Schmid算子、Riemann微分方程和超幾何級(jí)數(shù)等工具來得到離散級(jí)數(shù)表示的矩陣系數(shù)。其中的公式由離散級(jí)數(shù)表示的Harish-Chandra參數(shù)給出。這是在現(xiàn)有文獻(xiàn)中所沒有出現(xiàn)過的新結(jié)果。

    做起來會(huì)覺得枯燥嗎?當(dāng)記者在他的講解中忍不住有此一問時(shí),劉東文老老實(shí)實(shí)地回答:“主要問題不是枯燥,是壓力比較大?!奔词寡旋g不長(zhǎng),他也已經(jīng)深刻體會(huì)到,要做好一項(xiàng)理論研究,需要花費(fèi)很多時(shí)間和精力去做準(zhǔn)備,越是難的問題就需要越多的準(zhǔn)備,而且還不一定能夠做出結(jié)果。“我們要在發(fā)表文章的數(shù)量和質(zhì)量之間做選擇,真正做好需要對(duì)數(shù)學(xué)保持比較好的品位,不能為了發(fā)表文章就灌水。當(dāng)然,也不能從一開始就貿(mào)然去做一些特別大的問題,這也不現(xiàn)實(shí)。確定了自己認(rèn)為比較重要的方向之后,我們就需要一步步去積累。再龐大的理論系統(tǒng),都是從一個(gè)個(gè)細(xì)節(jié)積累出來的。我要一邊學(xué)習(xí),一邊做力所能及的問題,打好基礎(chǔ)。然后在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候去嘗試深入的研究。”

    對(duì)他來說,這一領(lǐng)域本來就處于起步階段,盡管做出了一些很有意義的成果,并得到越來越多國內(nèi)外同行的關(guān)注,依然有很多的新的問題需要解決。而那廣闊的未知,將是他未來的發(fā)展空間。

    挖掘潛力股

    2011年6月,獲得香港科技大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士學(xué)位后,劉東文入聘廈門大學(xué)助理教授職位。一年后,遠(yuǎn)赴美國康涅狄格大學(xué)從事博士后研究,直到2015年9月回國至浙江大學(xué)任職。“現(xiàn)在國內(nèi)的工作環(huán)境越來越好,對(duì)科研項(xiàng)目的支持力度很大,回來是一個(gè)挺好的選擇。而選擇浙大,還有一個(gè)個(gè)人原因。”劉東文補(bǔ)了一句,“我太太是杭州人”。

    新的學(xué)年開始,劉東文也在浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目的支持下,開展起“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”研究。

    Siegel-Weil公式在上個(gè)世紀(jì)首先由Siegel和Weil給出,并在后續(xù)的工作中被很多表示論和數(shù)論的專家推廣到更一般的形式,其中代表性的工作由S.Kudla,S.Rallis, A.Ichino, W.T.Gan,S.Takeda,Y.Qiu,S.Yamana等人給出。loop群的情況目前唯一的結(jié)果則由H.Garland和Y.Zhu給出。而他們,正是劉東文的重要合作者。事實(shí)上,劉東文此前的工作,也為該項(xiàng)研究提供了必要的工作基礎(chǔ),而H.Garland和Y.Zhu也在工作中引用了他們的結(jié)果。

    “我們首先希望把loop Siegel-Weil公式推廣到isotropic正交群的情形。這種情況下,對(duì)theta積分的收斂性問題,我們的主要解決方案是分別研究isotropic和anisotropic的部分,利用仿射李代數(shù)和李群的結(jié)構(gòu)來計(jì)算正交loop群上的軌道積分。我們打算應(yīng)用A.Weil的方法以及Garland-Zhu的推廣來比較loop Eisenstein級(jí)數(shù)和loop theta積分,得到它們的求和項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而證明Siegel-Weil公式。”采訪中,劉東文提到了“theta對(duì)應(yīng)和theta提升”問題,希望從局部和整體兩個(gè)層面上進(jìn)行研究,這些都基于A.Braverman和D.Kazhdan所研究的p進(jìn)制loop群的spherical Hecke代數(shù)和Satake同構(gòu)。endprint

    從局部來說,劉東文要考慮的是p進(jìn)制域上的一對(duì)loop辛群和loop正交群。它們的spherical Hecke代數(shù)作用在Weil表示的Schwartz函數(shù)空間上并且互相交換。通過theta對(duì)應(yīng),他們將構(gòu)造這兩個(gè)群的Hecke代數(shù)之間的同態(tài),并討論其與Satake同構(gòu)的聯(lián)系。在有限維的情形下,這個(gè)同態(tài)在regularized Siegel-Weil公式的證明里起到重要的作用。劉東文要做的是將其推廣到loop Siegel-Weil公式中。

    整體情況時(shí),他要借助的就是從有限維正交群上的尖形式到loop辛群的theta提升了。在經(jīng)典的情形下,尖自守表示通過一個(gè)Witt tower的theta提升在首次出現(xiàn)的時(shí)候總是不可約表示?!霸趌oop情形,我們將考慮由有限維首次出現(xiàn)所給出的loop群?!比绻ㄟ^計(jì)算常數(shù)項(xiàng)證明出這一點(diǎn),那么將成為loop群上第一個(gè)尖形式的例子,從而對(duì)loop自守形式的研究具有非常重要的意義。

    “本項(xiàng)目的預(yù)期目標(biāo)包括在國際刊物上發(fā)表高水平的SCI學(xué)術(shù)論文4?5篇,拓展并完善表示論專業(yè)的研究團(tuán)隊(duì)和研究方向,培養(yǎng)表示論方向3?5名優(yōu)秀的博士生與碩士生,提高項(xiàng)目負(fù)責(zé)人的學(xué)術(shù)水平,并為申請(qǐng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目提供有力的支持?!表?xiàng)目書上的每一個(gè)字都是劉東文對(duì)未來的期許和承諾。他一直都清楚自己所做的是非常有潛力的工作。然而,也正是因?yàn)槿绱?,才需要面?duì)更大的挑戰(zhàn)。為此,他長(zhǎng)期與無限維李群、傳統(tǒng)自守形這兩個(gè)領(lǐng)域的專家都保持著合作與交流,香港科技大學(xué)朱永昌(博士導(dǎo)師)、康涅狄格大學(xué)Kyu-Hwan Lee(博士后導(dǎo)師)、耶魯大學(xué)Howard Garland、羅格斯大學(xué)Lisa Carbone,Steve Miller、紐約州立大學(xué)阿爾巴尼分校Cristian Lenart等,都是他的合作者。當(dāng)一切在浙江大學(xué)重新開始時(shí),他也期望能夠?qū)⑦@種合作精神發(fā)揚(yáng)光大。“希望能夠在回國3年內(nèi)定期邀請(qǐng)國際專家到浙江大學(xué)進(jìn)行交流訪問,通過與同行互訪并進(jìn)行學(xué)術(shù)報(bào)告的方式來進(jìn)行學(xué)術(shù)研討,互相了解領(lǐng)域內(nèi)的進(jìn)展。條件成熟的情況下希望能夠下組織適當(dāng)規(guī)模的國際學(xué)術(shù)會(huì)議,邀請(qǐng)更多的學(xué)者共同交流,促進(jìn)學(xué)科的發(fā)展?!碑?dāng)然了,路要一步一步走,全新的2016年,劉東文回國后的事業(yè)也將全面展開。他已經(jīng)有了招收研究生的計(jì)劃,正如他一直所強(qiáng)調(diào)的,一個(gè)新的學(xué)科方向,需要很多人去共同努力,才能有長(zhǎng)足發(fā)展。

    “從博士畢業(yè)到現(xiàn)在,我一直在打基礎(chǔ),花很長(zhǎng)的時(shí)間去尋找值得做的問題。這個(gè)找問題的過程對(duì)我來說很長(zhǎng)很長(zhǎng),雖然也發(fā)表了一些文章,但是我覺得水平還沒有到。接下來至少要奮斗10到15年,真正投入到更重要、更有價(jià)值的研究中去?!眲|文一語定出了自己未來的基調(diào)。endprint

    猜你喜歡
    級(jí)數(shù)算術(shù)公式
    組合數(shù)與組合數(shù)公式
    排列數(shù)與排列數(shù)公式
    二重Dirichlet級(jí)數(shù)在收斂半平面內(nèi)的增長(zhǎng)性
    一個(gè)非終止7F6-級(jí)數(shù)求和公式的q-模擬
    一年級(jí)數(shù)學(xué)期末小測(cè)試
    擔(dān)心等
    算算術(shù)
    學(xué)算術(shù)
    小狗算算術(shù)
    “兩兩三三”解決天體問題
    91精品国产国语对白视频| 91精品国产国语对白视频| 欧美成人免费av一区二区三区 | 午夜久久久在线观看| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 男女高潮啪啪啪动态图| 老司机深夜福利视频在线观看| 悠悠久久av| 亚洲第一av免费看| 国产三级黄色录像| cao死你这个sao货| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 精品高清国产在线一区| 欧美成人午夜精品| 啦啦啦免费观看视频1| 天堂动漫精品| 中国美女看黄片| 久久这里只有精品19| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 亚洲专区国产一区二区| 国产真人三级小视频在线观看| 亚洲熟妇熟女久久| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 叶爱在线成人免费视频播放| av福利片在线| av天堂久久9| 一本综合久久免费| 欧美+亚洲+日韩+国产| 亚洲国产看品久久| 天天添夜夜摸| 制服诱惑二区| 国产人伦9x9x在线观看| 女性被躁到高潮视频| 婷婷成人精品国产| 一区二区日韩欧美中文字幕| 男女之事视频高清在线观看| 操美女的视频在线观看| 啦啦啦在线免费观看视频4| 欧美日韩av久久| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 久久天堂一区二区三区四区| 国产精品偷伦视频观看了| av网站在线播放免费| 午夜免费鲁丝| 麻豆乱淫一区二区| 国产高清激情床上av| 一个人免费在线观看的高清视频| 欧美日韩一级在线毛片| 精品久久久久久久久久免费视频 | 成人国语在线视频| 亚洲av片天天在线观看| 欧美精品亚洲一区二区| 国产深夜福利视频在线观看| 捣出白浆h1v1| 欧美精品一区二区免费开放| 精品欧美一区二区三区在线| 亚洲中文日韩欧美视频| 国产一区二区三区视频了| 免费少妇av软件| 亚洲人成77777在线视频| 亚洲五月婷婷丁香| 搡老乐熟女国产| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 好男人电影高清在线观看| 热99久久久久精品小说推荐| 欧美日韩乱码在线| 国产97色在线日韩免费| 一本综合久久免费| 国产亚洲精品第一综合不卡| 日韩视频一区二区在线观看| 久久久久视频综合| 成年人午夜在线观看视频| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 国产一区二区激情短视频| 久久久久国内视频| 成年人免费黄色播放视频| 国产精品偷伦视频观看了| 夫妻午夜视频| 国产1区2区3区精品| 欧美 日韩 精品 国产| 丰满的人妻完整版| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 成人三级做爰电影| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 国产亚洲一区二区精品| 欧美激情 高清一区二区三区| 国产亚洲精品久久久久5区| 99热网站在线观看| 欧美乱色亚洲激情| 国产成人系列免费观看| 日韩视频一区二区在线观看| 热99re8久久精品国产| 中文字幕高清在线视频| 一级a爱视频在线免费观看| 老熟女久久久| 成人免费观看视频高清| 在线观看日韩欧美| 看片在线看免费视频| 久久久精品区二区三区| 黄片小视频在线播放| 亚洲黑人精品在线| 免费av中文字幕在线| 老司机亚洲免费影院| 新久久久久国产一级毛片| 国产淫语在线视频| 亚洲片人在线观看| 日韩中文字幕欧美一区二区| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 久久国产亚洲av麻豆专区| 色综合婷婷激情| 国产精品久久久久成人av| 一本综合久久免费| a级毛片黄视频| 国产亚洲精品一区二区www | 91精品三级在线观看| 欧美激情极品国产一区二区三区| 精品久久久久久久毛片微露脸| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 亚洲av美国av| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 成人18禁在线播放| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 亚洲成国产人片在线观看| 国精品久久久久久国模美| 热re99久久精品国产66热6| 热99久久久久精品小说推荐| 欧美精品一区二区免费开放| 国产99久久九九免费精品| 欧美日韩黄片免| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 黄片小视频在线播放| 一级,二级,三级黄色视频| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 大码成人一级视频| 曰老女人黄片| 国产亚洲精品第一综合不卡| 大型av网站在线播放| 大片电影免费在线观看免费| 在线观看免费视频日本深夜| 国产精品国产av在线观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 色婷婷av一区二区三区视频| 亚洲av成人一区二区三| 午夜福利视频在线观看免费| 老鸭窝网址在线观看| www.精华液| 国产精品98久久久久久宅男小说| 热99久久久久精品小说推荐| 桃红色精品国产亚洲av| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 韩国精品一区二区三区| 91av网站免费观看| 校园春色视频在线观看| 亚洲熟女毛片儿| 1024香蕉在线观看| 久久香蕉激情| 亚洲 欧美一区二区三区| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 极品教师在线免费播放| 超色免费av| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 一进一出抽搐gif免费好疼 | 国产99久久九九免费精品| 999精品在线视频| 国产男女超爽视频在线观看| 精品午夜福利视频在线观看一区| 国产欧美日韩一区二区三区在线| a级片在线免费高清观看视频| 久久精品成人免费网站| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 两性夫妻黄色片| 亚洲欧美一区二区三区久久| 深夜精品福利| 老司机福利观看| 亚洲精品国产区一区二| 男女之事视频高清在线观看| 怎么达到女性高潮| 国产又色又爽无遮挡免费看| 黄色片一级片一级黄色片| 成年人午夜在线观看视频| 99国产精品免费福利视频| 首页视频小说图片口味搜索| 老司机靠b影院| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲精品久久午夜乱码| 搡老岳熟女国产| 亚洲七黄色美女视频| 一级片'在线观看视频| 亚洲国产精品合色在线| 1024香蕉在线观看| 精品国产一区二区久久| 午夜91福利影院| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 日韩人妻精品一区2区三区| 正在播放国产对白刺激| 天堂俺去俺来也www色官网| 叶爱在线成人免费视频播放| 久久久国产成人精品二区 | 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| av线在线观看网站| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产精品乱码一区二三区的特点 | 亚洲中文字幕日韩| 国产一区二区三区视频了| 国产在线一区二区三区精| 亚洲美女黄片视频| 国产不卡av网站在线观看| 黄片小视频在线播放| 电影成人av| 大片电影免费在线观看免费| 国产精品乱码一区二三区的特点 | 国产精品永久免费网站| 欧美精品啪啪一区二区三区| 成年动漫av网址| 欧美精品人与动牲交sv欧美| x7x7x7水蜜桃| 啦啦啦在线免费观看视频4| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 一区二区日韩欧美中文字幕| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 中文字幕高清在线视频| 亚洲 国产 在线| 国产91精品成人一区二区三区| 飞空精品影院首页| www.熟女人妻精品国产| 91在线观看av| 老司机深夜福利视频在线观看| 日本黄色视频三级网站网址 | 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 男女下面插进去视频免费观看| 一区二区三区精品91| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 久久久精品区二区三区| 深夜精品福利| 亚洲av日韩在线播放| 99久久综合精品五月天人人| xxxhd国产人妻xxx| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 精品人妻1区二区| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 亚洲av美国av| 亚洲人成电影免费在线| 女人被狂操c到高潮| 不卡av一区二区三区| 国产欧美日韩精品亚洲av| 免费在线观看黄色视频的| 丝袜美足系列| 黄色女人牲交| 国产熟女午夜一区二区三区| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 午夜福利,免费看| 久久久国产成人免费| 精品少妇久久久久久888优播| a级毛片黄视频| 亚洲视频免费观看视频| 亚洲人成电影免费在线| 美女国产高潮福利片在线看| 欧美黑人欧美精品刺激| 女人被狂操c到高潮| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 91精品三级在线观看| 久久这里只有精品19| 国产99白浆流出| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 女人被狂操c到高潮| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 99热只有精品国产| 欧美在线一区亚洲| 国产激情欧美一区二区| 无遮挡黄片免费观看| 夜夜爽天天搞| 国产精品一区二区免费欧美| 免费黄频网站在线观看国产| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 欧美激情久久久久久爽电影 | 90打野战视频偷拍视频| 久久ye,这里只有精品| 91字幕亚洲| 国产亚洲精品久久久久5区| 国产精品 欧美亚洲| 12—13女人毛片做爰片一| 视频区欧美日本亚洲| 久久久国产一区二区| 妹子高潮喷水视频| 色94色欧美一区二区| 精品午夜福利视频在线观看一区| 国产精品亚洲一级av第二区| 男女下面插进去视频免费观看| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产深夜福利视频在线观看| 天天操日日干夜夜撸| 丰满迷人的少妇在线观看| 国产亚洲av高清不卡| 99国产综合亚洲精品| 午夜成年电影在线免费观看| 黄色 视频免费看| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 搡老乐熟女国产| 好男人电影高清在线观看| 啪啪无遮挡十八禁网站| 美国免费a级毛片| 宅男免费午夜| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 亚洲精品国产区一区二| 国产成人精品无人区| 淫妇啪啪啪对白视频| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 亚洲av欧美aⅴ国产| av国产精品久久久久影院| 热99久久久久精品小说推荐| 亚洲avbb在线观看| 国产又色又爽无遮挡免费看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 搡老岳熟女国产| 大香蕉久久成人网| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 视频区欧美日本亚洲| 亚洲avbb在线观看| 乱人伦中国视频| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 久久99一区二区三区| 丁香六月欧美| 人妻 亚洲 视频| 男人操女人黄网站| 日韩中文字幕欧美一区二区| 村上凉子中文字幕在线| 91成年电影在线观看| 亚洲成国产人片在线观看| 欧美乱色亚洲激情| 国产高清激情床上av| 久久精品国产亚洲av香蕉五月 | 免费在线观看亚洲国产| 成人永久免费在线观看视频| 国产亚洲精品第一综合不卡| 中文欧美无线码| 一级毛片女人18水好多| 身体一侧抽搐| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 手机成人av网站| 亚洲美女黄片视频| 露出奶头的视频| 免费在线观看亚洲国产| 亚洲国产中文字幕在线视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 极品少妇高潮喷水抽搐| 黄色视频不卡| 欧美乱妇无乱码| 国产精品欧美亚洲77777| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 欧美精品高潮呻吟av久久| 女性生殖器流出的白浆| 人人妻人人澡人人看| 99国产精品99久久久久| 国产精品国产av在线观看| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 一级a爱视频在线免费观看| 91成年电影在线观看| 国产片内射在线| 亚洲片人在线观看| 在线av久久热| 久久久久久人人人人人| 日韩人妻精品一区2区三区| 色老头精品视频在线观看| 91成年电影在线观看| av一本久久久久| 91字幕亚洲| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 亚洲欧美激情在线| 最近最新中文字幕大全免费视频| 真人做人爱边吃奶动态| 岛国毛片在线播放| 一级毛片女人18水好多| 国产主播在线观看一区二区| 高清在线国产一区| 久久国产乱子伦精品免费另类| 中国美女看黄片| 在线观看66精品国产| 午夜亚洲福利在线播放| 亚洲精品久久午夜乱码| 国产蜜桃级精品一区二区三区 | 免费观看精品视频网站| 精品视频人人做人人爽| 精品福利永久在线观看| 99久久国产精品久久久| 18禁观看日本| 后天国语完整版免费观看| 色老头精品视频在线观看| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 日日夜夜操网爽| 1024香蕉在线观看| 久久久久国内视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 午夜福利欧美成人| 免费av中文字幕在线| 亚洲全国av大片| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲成人免费电影在线观看| 久久性视频一级片| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 日韩三级视频一区二区三区| 成人影院久久| 亚洲少妇的诱惑av| 欧美一级毛片孕妇| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 女人精品久久久久毛片| 嫩草影视91久久| 一级片免费观看大全| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 超碰97精品在线观看| 波多野结衣一区麻豆| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 久久性视频一级片| 欧美精品亚洲一区二区| 国产黄色免费在线视频| 国产精品国产高清国产av | 中文字幕精品免费在线观看视频| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 多毛熟女@视频| 午夜免费成人在线视频| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产免费男女视频| 99国产精品一区二区蜜桃av | 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 91老司机精品| 午夜福利一区二区在线看| xxx96com| 午夜免费观看网址| 黄色a级毛片大全视频| 精品乱码久久久久久99久播| 国产亚洲欧美98| 精品电影一区二区在线| 国产精品久久视频播放| 国产亚洲av高清不卡| 老鸭窝网址在线观看| 久久久久久久久久久久大奶| 亚洲情色 制服丝袜| 日韩精品免费视频一区二区三区| 国产97色在线日韩免费| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 91成人精品电影| 午夜久久久在线观看| 在线免费观看的www视频| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 久久中文字幕人妻熟女| 国产精品99久久99久久久不卡| 国产欧美日韩一区二区三| 精品第一国产精品| 久久久国产精品麻豆| 99国产精品一区二区三区| 制服诱惑二区| 99国产综合亚洲精品| 少妇的丰满在线观看| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 天堂√8在线中文| 国产亚洲欧美98| 欧美精品亚洲一区二区| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 国产精品av久久久久免费| 免费在线观看亚洲国产| 成年版毛片免费区| 宅男免费午夜| 嫁个100分男人电影在线观看| 亚洲在线自拍视频| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 伦理电影免费视频| 国产在线一区二区三区精| 满18在线观看网站| 免费在线观看日本一区| 一级a爱片免费观看的视频| 日韩有码中文字幕| 欧美不卡视频在线免费观看 | 夜夜爽天天搞| 日日夜夜操网爽| 亚洲成人国产一区在线观看| 亚洲欧美激情综合另类| 欧美精品亚洲一区二区| av有码第一页| 男女高潮啪啪啪动态图| 村上凉子中文字幕在线| 欧美乱妇无乱码| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 女人久久www免费人成看片| svipshipincom国产片| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 久久性视频一级片| 不卡av一区二区三区| 露出奶头的视频| 99精品在免费线老司机午夜| 久久天堂一区二区三区四区| 欧美黄色淫秽网站| 超碰97精品在线观看| 久久99一区二区三区| 黄色毛片三级朝国网站| 国产精品免费一区二区三区在线 | 久久热在线av| 免费少妇av软件| 很黄的视频免费| 久久婷婷成人综合色麻豆| 日韩人妻精品一区2区三区| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| www.999成人在线观看| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 亚洲成人免费av在线播放| 视频区图区小说| 欧美日韩黄片免| a级毛片在线看网站| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 黄色视频不卡| 久久ye,这里只有精品| 国产不卡一卡二| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 丰满饥渴人妻一区二区三| 高清黄色对白视频在线免费看| 亚洲av片天天在线观看| 国产av一区二区精品久久| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 精品福利观看| 午夜福利免费观看在线| 精品国产乱子伦一区二区三区| 国产野战对白在线观看| 男人的好看免费观看在线视频 | 男女下面插进去视频免费观看| av不卡在线播放| 国产精品av久久久久免费| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 狂野欧美激情性xxxx| 免费在线观看影片大全网站| 久久精品成人免费网站| 岛国在线观看网站| 18禁美女被吸乳视频| av电影中文网址| 老司机影院毛片| 亚洲中文日韩欧美视频| 亚洲精品美女久久av网站| 国产高清videossex| 精品国产一区二区三区四区第35| 十分钟在线观看高清视频www| 亚洲 国产 在线| 一级作爱视频免费观看| 一区二区三区激情视频| 亚洲国产欧美一区二区综合| 免费日韩欧美在线观看| 香蕉丝袜av| 99国产精品一区二区三区| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 成人永久免费在线观看视频| 精品久久久久久久毛片微露脸| 国产成人av激情在线播放| 两个人免费观看高清视频| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 大片电影免费在线观看免费| 无遮挡黄片免费观看| 午夜精品久久久久久毛片777| 日韩中文字幕欧美一区二区| 母亲3免费完整高清在线观看| 国产免费男女视频| 亚洲九九香蕉| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 日韩三级视频一区二区三区| 淫妇啪啪啪对白视频| 99热只有精品国产| 久久久久久久久免费视频了| 18禁国产床啪视频网站| av一本久久久久| 另类亚洲欧美激情| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 国产真人三级小视频在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 精品视频人人做人人爽| √禁漫天堂资源中文www| 一区二区日韩欧美中文字幕| 校园春色视频在线观看| 久久狼人影院| 国产精品欧美亚洲77777| 在线观看免费视频网站a站| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 午夜福利乱码中文字幕| 国产精品 欧美亚洲| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 999久久久精品免费观看国产| 欧美乱妇无乱码| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 69精品国产乱码久久久| 久久久久久久国产电影| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲人成伊人成综合网2020| 国产一区有黄有色的免费视频| 老司机福利观看| 少妇被粗大的猛进出69影院| 高清av免费在线| 国产主播在线观看一区二区| 欧美中文综合在线视频| 亚洲国产看品久久| 夫妻午夜视频| 宅男免费午夜| 高潮久久久久久久久久久不卡| 国产精品二区激情视频| 99精品在免费线老司机午夜| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 久久性视频一级片| 久久久久久免费高清国产稀缺| 男人操女人黄网站| 男人舔女人的私密视频|