自由落體式絕對(duì)重力儀中重力加速度精度的優(yōu)化

胡　明　張為民　田　蔚　鐘　敏

1　中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市徐東大街340號(hào)，430077

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自由落體式絕對(duì)重力儀中重力加速度精度的優(yōu)化

胡明1張為民1田蔚1鐘敏1

1中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市徐東大街340號(hào)，430077

摘要：針對(duì)等時(shí)間間隔與等距離間隔兩種工作模式，給出絕對(duì)重力儀中初始位移、初始速度、重力加速度等參數(shù)精度的極限表達(dá)式。詳細(xì)討論了重力加速度擬合精度隨分頻數(shù)、初始速度及數(shù)據(jù)段選取的變化，結(jié)果表明，通過(guò)增加分頻數(shù)、降低初始速度、選擇合適數(shù)據(jù)段等方法能提高重力值的精度。

關(guān)鍵詞：絕對(duì)重力儀；自由落體；數(shù)據(jù)段；等時(shí)間間隔；等距離間隔

FG5絕對(duì)重力儀的測(cè)量精度為μGal級(jí)。文獻(xiàn)[1]利用單次自由落體產(chǎn)生的200個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中的45個(gè)即可滿足精度需求，但未討論自由落體數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的選?。晃墨I(xiàn)[2]從頻域上對(duì)重力儀的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析，并對(duì)比分析等時(shí)間間隔與等距離間隔兩種數(shù)據(jù)處理模式；文獻(xiàn)[3]從時(shí)域上對(duì)自由落體各數(shù)據(jù)權(quán)重進(jìn)行討論，但如何進(jìn)一步設(shè)置干涉條紋分頻數(shù)和選取合適的自由落體數(shù)據(jù)段，對(duì)重力值擬合精度進(jìn)行優(yōu)化，仍是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。本文針對(duì)自由落體式絕對(duì)重力儀，結(jié)合等時(shí)間間隔與等距離間隔兩種模式，對(duì)比分析了自由落體中干涉條紋分頻數(shù)、自由落體數(shù)據(jù)段選取等因素對(duì)重力值g擬合精度的影響。

1　自由落體重力加速度擬合精度

對(duì)于自由落體式高精度絕對(duì)重力儀，若忽略重力梯度效應(yīng)，則位移xi1與時(shí)間ti的關(guān)系為:

(1)

式中x0、v0、g分別表示初始位移、初始速度與當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，M表示干涉條紋分頻數(shù)，λ為激光波長(zhǎng)。通過(guò)等效高度計(jì)算可將重力值歸算到自由落體的起始點(diǎn)，而高程改正能夠?qū)⒅亓χ蹈恼接^測(cè)點(diǎn)。若地表重力梯度為γ，則自由落體方式中位移與時(shí)間的關(guān)系可表示為[4-5]:

(2)

(3)

式中，gt0為t= 0時(shí)的重力加速度，此時(shí)位移x=x0；gx0為x=0處的重力加速度，gt0=gx0+γx0；地表重力梯度γ≈3.086 μGal/cm。

由于重力梯度和光速有限性等因素可通過(guò)相關(guān)公式進(jìn)行改正，因此選用式(1)對(duì)自由落體重力加速度的精度展開詳細(xì)討論。忽略時(shí)間測(cè)量噪聲，并假設(shè)位移測(cè)量噪聲εxi(噪聲來(lái)源主要包括落體棱鏡振動(dòng)、激光干涉信號(hào)測(cè)量電路和地脈動(dòng)對(duì)參考棱鏡的影響等)為零均值隨機(jī)白噪聲，E(εxi)=0，則測(cè)量位移信號(hào)可表示為:

(4)

(5)

(6)

此時(shí)重力加速度的估計(jì)值可表示為:

(7)

根據(jù)誤差理論，對(duì)估計(jì)矩陣進(jìn)行協(xié)方差計(jì)算[6]:

(8)

(9)

(10)

2　兩種數(shù)據(jù)處理模式的對(duì)比分析

2.1等時(shí)間間隔

等時(shí)間間隔采樣是在相同的時(shí)間間隔Δt觸發(fā)系統(tǒng)對(duì)位移信號(hào)xi的采集。自由落體的總時(shí)間為T，則第i次落體的時(shí)間為ti=i·Δt。當(dāng)采集點(diǎn)數(shù)n較大時(shí)，在計(jì)算中忽略小量，則等時(shí)間間隔協(xié)方差矩陣的極限值為:

(11)

2.2等距離間隔

(12)

2.3兩種模式的對(duì)比分析

表1　參數(shù)擬合精度與誤差因子的極限值

對(duì)于等時(shí)間間隔和等距離間隔兩種模式而言，各誤差因子都是隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n的增加而減小，且各誤差因子的極限值γCLS與精確值γN隨著點(diǎn)數(shù)n的增加而更接近。

圖1　等時(shí)間間隔與等距離間隔兩種模式下誤差因子隨點(diǎn)數(shù)n的變化Fig.1　Relative error factors’ variation due to the number n for both equally spaced in time and equally spaced in distance

2.4重力值精度隨各參數(shù)的變化

假設(shè)自由落體高度為0.2 m，落體時(shí)間為0.2 s，干涉激光波長(zhǎng)為633 nm，且位移測(cè)量噪聲的方差為σx=1 nm。

針對(duì)同樣的落體高度，取不同的干涉條紋分頻數(shù)對(duì)應(yīng)不同數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分頻數(shù)越高得到的采集點(diǎn)越少。若使用所有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，重力值方差隨分頻數(shù)的變化曲線如圖2所示。隨著分頻數(shù)的增加，得到的數(shù)據(jù)量隨之減小，重力值的擬合方差增加；在相同的分頻條件下，初始速度v0增加也會(huì)導(dǎo)致g值擬合精度的惡化。

2.4.2等距離間隔重力值擬合數(shù)據(jù)段選取

圖2　重力值精度隨干涉條紋分頻數(shù)和初始速度v0的變化Fig.2　Standard error of the gravity due to different interference fringe scale and initial velocity v0

若固定第1 000點(diǎn)作為終止，重力值精度隨起始點(diǎn)的變化曲線如圖4所示。此時(shí)重力值精度在起始點(diǎn)取100左右時(shí)達(dá)到最優(yōu)，約小于1 μGal，且起始最優(yōu)點(diǎn)將隨著初始速度v0的增減而后移。若固定第1點(diǎn)作為起始，同樣得到重力值方差隨終止點(diǎn)的變化曲線如圖5所示。此時(shí)重力值方差在終止點(diǎn)取900左右時(shí)最優(yōu)，約1 μGal，且終止最優(yōu)點(diǎn)將隨著初始速度v0的增減而后移。

圖3　數(shù)據(jù)長(zhǎng)度固定時(shí)重力值精度隨數(shù)據(jù)段的變化Fig.3　Standard error of the gravity due to different data segment of which the length is fixed

圖4　重力值精度隨數(shù)據(jù)起始點(diǎn)的變化(第1 000個(gè)點(diǎn)固定為終止點(diǎn))Fig.4　Standard error of the gravity due to different data segment of which the stop point is fixed(1 000th point is set as the end)

圖5　重力值精度隨數(shù)據(jù)終止點(diǎn)的變化(第1個(gè)點(diǎn)固定為起始點(diǎn))Fig.5　Standard error of the gravity due to different data segment of which the start point is fixed(1st point is set as the beginning)

綜上所述，為提高等距離間隔模式下重力值的精度，需要盡可能地減小自由落體的初始速度v0，并合理增加自由落體中偏后的數(shù)據(jù)段來(lái)進(jìn)行參數(shù)擬合。等時(shí)間間隔模式也能得出類似的結(jié)論。

3　結(jié)　語(yǔ)

1)重力儀測(cè)量g值的精度極限值與測(cè)量時(shí)間的平方和測(cè)量點(diǎn)數(shù)的平方根成反比；

2)在位移測(cè)量噪聲為白噪聲的前提下，重力值擬合精度隨分頻數(shù)的增加(等效落體測(cè)量點(diǎn)數(shù)的減小)和初始速度的降低而提高；

3)合理選擇數(shù)據(jù)段來(lái)進(jìn)行參數(shù)擬合，能優(yōu)化重力值精度。

參考文獻(xiàn)

[1]Zumberge M A. A Portable Apparatus for Absolute Measurements of the Earth’s Gravity[D]. Boulder:University of Colorado, 1981

[2]Svetlov S M. An Absolute Gravimeter and Vibration Disturbances: A Frequency Responses Method[A]//Gravity, Geoid and Marine Geodesy[M]. Berlin Heidelberg: Springer,1997[3]Nagornyi V D. A New Approach to Absolute Gravimeter Analysis[J]. Metrologia, 1995, 32(3): 201-208

[4]Niebauer T M, Sasagawa G S, Faller J E,et al. A New Generation of Absolute Gravimeters[J]. Metrologia, 1995, 32(3): 159-180

[5]Orlob M. Spectral Analysis of Synthetically Affected FG5 Absolute Gravimeter Residuals[D]. Dallas:University of Texas, 2011

[6]費(fèi)業(yè)泰. 誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2000 (Fei Yetai. Error Theory and Data Processing[M]. Beijing: China Machine Press, 2000)

Foundation support:National Key Scientific Instrument and Equipment Development Project, No.ZDYZ2012-1-04; National Natural Science Foundation of China, No.41504140.

About the first author:HU Ming, PhD, assistant researcher , majors in inertial sensor and gravimeter, E-mail: huming@whigg.ac.cn.

收稿日期：2015-09-11

第一作者簡(jiǎn)介：胡明，博士，助理研究員，主要從事慣性傳感器與重力儀相關(guān)研究，E-mail：huming@whigg.ac.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.08.009

文章編號(hào)：1671-5942(2016)08-0694-04

中圖分類號(hào)：P312

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Optimization of the Standard Deviation of the Estimated Gravity Acceleration in the Free Fall Absolute Gravimeter

HUMing1ZHANGWeimin1TIANWei1ZHONGMin1

1State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,Institute of Geodesy and Geophysics, CAS,340 Xudong Street, Wuhan 430077, China

Abstract:We show the asymptotical expressions for equal space in time (EST) and equal space in distance (ESD), in order to estimate the standard deviation of the parameters of the initial position, the initial velocity and the gravity acceleration. We then discuss the variation of the standard deviation of the gravity acceleration, caused by fringe scales, initial velocity and data segment. By increasing the scales, reducing the initial velocity and selecting the suitable data segment, we give the optimization method for obtaining a minimal value of the standard deviation of the gravity acceleration.

Key words:absolute gravimeter; free fall; data segment; equal space in time; equal space in distance

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家重大科研裝備研制項(xiàng)目(ZDYZ2012-1-04)；國(guó)家自然科學(xué)基金(41504140)。