基于多元整體最小二乘優(yōu)化的多點(diǎn)灰色動態(tài)變形分析模型

吳開巖　張獻(xiàn)州　馬　龍　羅　烈　張　拯　喻　巧

1　西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都市犀安路999號，610031　2　高速鐵路運(yùn)營安全空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗室，成都市犀安路999號，610031　3　中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都市通錦路3號，610031　4　鐵道第三勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，天津市中山路10號，300142

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基于多元整體最小二乘優(yōu)化的多點(diǎn)灰色動態(tài)變形分析模型

吳開巖1,2張獻(xiàn)州1,2馬龍1,2羅烈1,2張拯3喻巧4

1西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都市犀安路999號，6100312高速鐵路運(yùn)營安全空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗室，成都市犀安路999號，6100313中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都市通錦路3號，6100314鐵道第三勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，天津市中山路10號，300142

摘要：提出一種多元整體最小二乘優(yōu)化的多點(diǎn)灰色動態(tài)模型,并結(jié)合實(shí)例驗證優(yōu)化的MGM(1,n)模型的優(yōu)越性。將優(yōu)化的MGM(1,n)模型與一般的MGM(1,n)模型進(jìn)行對比,分析兩種模型的建模值和預(yù)測值。結(jié)果表明，優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模數(shù)據(jù)多于4期的情況下建模精度更高，預(yù)測精度更準(zhǔn)確,更符合實(shí)際情況。

關(guān)鍵詞：多元整體最小二乘法； 多點(diǎn)動態(tài)灰色模型； 變形分析； 灰色預(yù)測

變形的分析與預(yù)報是變形監(jiān)測的主要內(nèi)容，其方法主要有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、回歸分析、灰色模型、時間序列等[1]。這些方法大多是單點(diǎn)分析方法。但在同一監(jiān)測網(wǎng)中,不同監(jiān)測點(diǎn)之間存在著某種聯(lián)系,這些監(jiān)測點(diǎn)之間相互影響。顯然，在對這些監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時將某一監(jiān)測點(diǎn)剝離出來單獨(dú)分析是不可靠的,而是應(yīng)將多個監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)一建模進(jìn)行分析。因此,在變形監(jiān)測分析與預(yù)報中,使用多點(diǎn)灰色動態(tài)模型更為合理。多點(diǎn)灰色動態(tài)模型(MGM(1,n))是GM(1,1)模型在多點(diǎn)情況下進(jìn)行拓展后得到的[2]。目前，多點(diǎn)灰色動態(tài)模型的優(yōu)化主要是針對背景值[3-4]以及殘差項[5-6]，這些優(yōu)化模型都取得了很好的效果。但在多點(diǎn)灰色動態(tài)模型建模過程中,使用了最小二乘法(LS)對發(fā)展系數(shù)A和灰色作用量B進(jìn)行求解。只有在誤差均值為0且只存在于觀測向量中時,最小二乘法求得的解才是無偏最優(yōu)解。多點(diǎn)灰色動態(tài)模型在建模過程中,觀測值和背景值都是直接由觀測數(shù)據(jù)或通過簡單計算得到的。因此，觀測矩陣和背景值矩陣中都含有一定的誤差或擾動,這時使用LS法所求得的估計參數(shù)是有偏的。多元整體最小二乘法是在整體最小二乘法基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展后得到的[7-9],將整體最小二乘法中的參數(shù)向量和觀測向量拓展為參數(shù)矩陣和觀測矩陣，并在計算過程中同時顧及觀測矩陣和參數(shù)矩陣中的誤差。因此，本文提出了基于多元整體最小二乘優(yōu)化的多點(diǎn)灰色動態(tài)變形分析模型。實(shí)驗證明，該模型可以抑制模擬數(shù)據(jù)誤差并提高預(yù)測數(shù)據(jù)的精度。

1　MGM(1,n)模型

設(shè)某變形體有n個相互關(guān)聯(lián)的變形監(jiān)測點(diǎn),對變形體進(jìn)行觀測獲得m期變形觀測數(shù)據(jù),其相應(yīng)的變形觀測序列為:

其一次累加序列為：

由單點(diǎn)灰色預(yù)測模型的一階微分方程式擴(kuò)展成MGM(1,n)模型的一階微分方程：

(1)

寫成矩陣形式為：

(2)

上述微分方程的解(即時間響應(yīng)函數(shù))為：

(3)

式(3)即為MGM(1,n)模型的一般形式,式中參數(shù)A與B通過最小二乘求得。

2　優(yōu)化的MGM(1,n)模型研究

2.1多元整體最小二乘模型

多元整體最小二乘法(MTLS)在整體最小二乘法(TLS)基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展。對于超定線性方程組Y=Ax,在整體最小二乘中Y和x分別是n×1的觀測向量和m×1的參數(shù)向量,而多元整體最小二乘中Y和x則是n×d的觀測矩陣和m×d的參數(shù)矩陣。

將Y=Ax改寫成：

(4)

式中,Y、EY∈Rn×d分別為觀測矩陣和觀測矩陣殘差陣,A、EA∈Rm×n分別為系數(shù)矩陣和系數(shù)矩陣殘差陣,Ξ∈Rm×d為未知參數(shù)陣。MTLS與TLS有相同的約束準(zhǔn)則,即F范最?。?/p>

vec(EY)T·vec(EY)+vec(EA)T·vec(EA)

(5)

式中，vec(?)為矩陣列向量化算子,tr表示矩陣的跡。

在等權(quán)條件下,MTLS的解法可分為SVD法和拉格朗日乘數(shù)法,本文使用拉格朗日乘數(shù)法對MTLS進(jìn)行求解[7-8]。式(4)的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

(6)

式中,λ為拉格朗日乘常數(shù)。由拉格朗日乘數(shù)法的必要條件，最終可得到：

(7)

(8)

可通過迭代求得MTLS的最終解。迭代過程如下。

1)通過最小二乘法求得Ξ的初值,即

(9)

(10)

2.2優(yōu)化的MGM(1,n)建模方法

1)根據(jù)式(1)～(3)建立多點(diǎn)動態(tài)灰色模型時間響應(yīng)式；

3)求解時間響應(yīng)式；

5)精度評定。

3　模型實(shí)驗與分析

為了比較傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型與優(yōu)化后的MGM(1,n)模型之間的數(shù)據(jù)模擬和預(yù)測效果,使用文獻(xiàn)[3]中京哈公路(G102線)長春至德惠某路段中同一斷面上3個點(diǎn)位移計所測的12期監(jiān)測數(shù)據(jù)，其中前8期數(shù)據(jù)序列用于建模，后4期數(shù)據(jù)序列用于檢測預(yù)測值的準(zhǔn)確性。

通過表1、表2可以看出：

1)在建模精度方面,傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型和優(yōu)化的MGM(1,n)模型都能夠較好地模擬出建模數(shù)據(jù),但優(yōu)化的MGM(1,n)模型精度明顯高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。

2)在預(yù)測精度方面, 傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的平均相對誤差較大,不能較好地預(yù)測數(shù)據(jù)的變化情況；而優(yōu)化的MGM(1,n)模型平均相對誤差較小,能夠較好地預(yù)測出未來數(shù)據(jù)的變化情況。參考模型精度等級[1],傳統(tǒng)的MGM(1,n)為2級,優(yōu)化的MGM(1,n)為1級，也證明了本文對多點(diǎn)灰色動態(tài)模型的改進(jìn)是正確可行的。

3)點(diǎn)位移計所產(chǎn)生的觀測值受到溫度、電纜長度等因素的影響，在觀測值中會含有少量的誤差。因此，在MGM(1,n)的建模過程中，觀測矩陣和背景值矩陣都含有少量的誤差。本文實(shí)驗證明，在系數(shù)矩陣和觀測矩陣同時存在一定的擾動時,用LS法求出的解并不是最優(yōu)解。

表1　原始值與兩種模型建模結(jié)果

表2　模型精度評定

4　結(jié)　語

本文使用京哈公路(G102線)長春至德惠某路段中同一斷面上3個點(diǎn)位移計所測的監(jiān)測數(shù)據(jù),分別對傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型和優(yōu)化的MGM(1,n)模型進(jìn)行建模分析,研究優(yōu)化的MGM(1,n)模型在實(shí)際精密工程測量中的實(shí)用性和可靠性。

1)本文模型是在傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的優(yōu)化,顧及系數(shù)陣和觀測陣中同時含有一定的擾動,使用多元整體最小二乘法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的MGM(1,n)模型中的最小二乘法，對發(fā)展系數(shù)A和灰色作用量B進(jìn)行求解。實(shí)驗證明了此模型的可靠性。

2)當(dāng)觀測數(shù)據(jù)存在一定的擾動時,優(yōu)化的MGM(1,n)模型的建模精度和預(yù)測精度高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。此模型具有一定的實(shí)用性,可以為精密工程測量的預(yù)測提供一定的參考。

研究發(fā)現(xiàn),優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模數(shù)據(jù)只有3或4期的情況下,容易出現(xiàn)建模失敗的情況。這是由于在使用多元整體最小二乘進(jìn)行求解的過程中，建模數(shù)據(jù)太少可能會出現(xiàn)矩陣A秩虧或者SVD分解過程中矩陣塊V22奇異[7-9],使得迭代求解不收斂，導(dǎo)致建模失敗。因此，優(yōu)化的MGM(1,n)模型在整體適用性上不如傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。此外,本文只是以實(shí)驗驗證了優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模精度和預(yù)測精度上要高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型,如何從理論上推導(dǎo)還需進(jìn)一步探討。

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Foundationsupport:NationalNaturalScienceFoundationofChina,No.41374002;ScienceandTechnologyProjectofSichuanProvince,No.2015JQ0046;ProgramforChangjiangScholarsandInnovativeResearchTeaminUniversity,No.IRT13092.

Aboutthefirstauthor:WUKaiyan,postgraduate,majorsinprecisionengineeringsurvey,E-mail:wky781249@qq.com.

收稿日期：2015-09-19

第一作者簡介：吳開巖，碩士生，主要從事精密工程測量及變形監(jiān)測研究，E-mail：wky781249@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.08.006

文章編號：1671-5942(2016)08-0682-04

中圖分類號：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

A Multivariable Grey Deformation Analysis Model Based on Multivariate Total Least-Squares Optimization

WUKaiyan1, 2ZHANGXianzhou1, 2MALong1, 2LUOLie1, 2ZHANGZheng3YUQiao4

1FacultyofGeosciencesandEnvironmentalEngineering,SouthwestJiaotongUniversity, 999Xi’anRoad,Chengdu610031,China2State-ProvinceJointEngineeringLaboratoryofSpatialInformationTechnologyforHigh-SpeedRailwaySafety,999Xi’anRoad,Chengdu610031,China3ChinaRailwayEryuanEngineeringGroupCoLtd, 3TongjinRoad,Chengdu610031,China4TheThirdRailwaySurveyandDesignInstituteGroupCorporation,10ZhongshanRoad,Tianjin300142,China

Abstract:In the process of deformation analysis, it is more reasonable and reliable that multiple monitoring points are applied to modeling and analyzing of grey system in the same deformation monitoring network compared with single monitoring point. But the traditional multivariable grey model (MGM(1,n)) has some short comings. This paper proposes a multivariable grey model based on multivariate total least-squares optimization. And the superiority of this model is proved by some examples. Simultaneously, comparing this model with the traditional MGM(1,n) and analyzing the modeling value and predictive value of these two models. The results show that the modeling and prediction accuracy of this model are higher than MGM(1,n) and this model is more suitable for the actual circumstances when the number of data modeling is over four. This model can be referred to the analysis and forecast of deformation monitoring data in further research.

Key words:multivariate total least-squares; multivariable grey model; deformation analysis; grey prediction

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41374002)；四川省科技項目(2015JQ0046)；長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊發(fā)展計劃(IRT13092)。