六自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)分析

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1.安徽工程大學(xué)，蕪湖，2410002.蕪湖安普機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司，蕪湖，241000

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六自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)分析

王海1付邦晨1,2薛彬1楊春來1

1.安徽工程大學(xué)，蕪湖，2410002.蕪湖安普機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司，蕪湖，241000

大多數(shù)的機(jī)器人都是在剛體動力學(xué)假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)動控制設(shè)計(jì)的，因此其在實(shí)際操作中的精度和效率受到一定的限制，而柔性機(jī)械臂可以很好地解決此類問題。首先給出了六自由度的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的簡化模型，利用拉格朗日方法建立其動力學(xué)方程；然后以單自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演法對其控制率進(jìn)行了設(shè)計(jì)；最后基于Simulink驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的有效性。

六自由度；柔性關(guān)節(jié)；動力學(xué)；拉格朗日方程；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演法

0　引言

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂相比于剛性機(jī)械臂具有高度非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)[1]。隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，Lagrange法(功能平衡法)、Newton-Euler法(動態(tài)平衡法)和Kane法等已用于對機(jī)械臂動力學(xué)的研究[2]。有學(xué)者采用Kane方法對柔性機(jī)械臂動力學(xué)進(jìn)行研究，但計(jì)算過程較為繁瑣，且多自由度系統(tǒng)的建模太為復(fù)雜[3]。本文主要基于Lagrange法，以能量的方式搭建柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)模型[4]，避免了計(jì)算復(fù)雜的約束力。

1　六自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)建模

柔性機(jī)械臂主要分為柔性桿機(jī)械臂和柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂兩類[5]。由于柔性桿機(jī)械臂的模型建立較為復(fù)雜，且其柔性對運(yùn)動性能影響較小[6]，因此忽略桿的柔性，將研究對象簡化為柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂。柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的柔性主要由諧波減速器和力矩傳感器產(chǎn)生，可以利用Spong提出的假設(shè)采用線性彈簧來描述柔性關(guān)節(jié)特性[7]。

運(yùn)用Lagrange法推導(dǎo)柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程前，需先得到各個電機(jī)轉(zhuǎn)子、連桿及關(guān)節(jié)的動能和勢能表達(dá)式。n關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂的總能量由連桿和電機(jī)轉(zhuǎn)子的動能以及連桿、電機(jī)(包含減速器)重力勢能和柔性關(guān)節(jié)勢能構(gòu)成[8]。簡化為線性彈簧的柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能可表示為

式中，Ki為關(guān)節(jié)i的剛度；θi為電機(jī)i端的角位移；qi為關(guān)節(jié)i的連桿端角位移。

為了便于模型推導(dǎo)，建立六自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的簡化模型，如圖1所示。定義相關(guān)符號的含義：N為傳動比，即輸入速度與輸出速度之比；Jmi為第i個電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量，i=1，2，…，6；Ili為第i個連桿的轉(zhuǎn)動慣量；mli為第i個連桿的質(zhì)量；mri為第i個電機(jī)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；θmi為電機(jī)經(jīng)過減速前的角度，θmi= Nθi； di、li分別為第i個連桿的質(zhì)心距離和連桿長。

圖1　6-DOF柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂簡化模型

利用Lagrange法對圖1所示的簡化模型進(jìn)行動力學(xué)方程推導(dǎo)，依次得到6個電機(jī)轉(zhuǎn)子和連桿的動能：

(1)電機(jī)1轉(zhuǎn)子動能

(1)

(2)連桿1的動能

(2)

(3)電機(jī)2轉(zhuǎn)子動能

(3)

(4)連桿2的動能

(4)

s2=sinq2

(5)電機(jī)3轉(zhuǎn)子的動能

(5)

(6)連桿3的動能

(6)

(7)電機(jī)4轉(zhuǎn)子動能

(7)

(8)連桿4的動能

(8)

c3-4=cos(q3+q4)

(9)電機(jī)5轉(zhuǎn)子動能

(9)

c4=cosq4

(10)連桿5的動能

(10)

c3-5=cos(q3+q4+q5)c4-5=cos(q4+q5)

c5=cosq5

(11)電機(jī)6轉(zhuǎn)子動能

(11)

(12)連桿6的動能

Tl6={ml6[(l2s2+l3s2-3+l4s2-4+l5s2-5+

(12)

s2-6=sin(q2+q3+q4+q5+q6)

s3-6=sin(q3+q4+q5+q6)

c4-6=cos(q4+q5+q6)

c5-6=cos(q5+q6)c6=cosq6

因此機(jī)械臂系統(tǒng)的總動能為

(13)

機(jī)械臂總的彈性勢能為

(14)

機(jī)械臂總的重力勢能為

Pg=g[ml2d2c2+mr3l2c2+ml3(l2c2+d3c2-3)+

mr4(l2c2+l3c2-3)+ml4(l2c2+l3c2-3+d4c2-4)+

mr5(l2c2+l3c2-3+l4c2-4)+ml5(l2c2+l3c2-3+

l4c2-4+d5c2-5)+mr6(l2c2+l3c2-3+l4c2-4+l5c2-5)+

ml6(l2c2+l3c2-3+l4c2-4+l5c2-5+d6c2-6)]

(15)

將上面得到的各個能量方程代入Lagrange方程，忽略阻尼影響時，可認(rèn)為阻尼矩陣為零矩陣，因此得到簡化的柔性機(jī)械臂模型：

(16)

2　數(shù)值仿真

選取單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂為研究對象，如圖2所示，其動力學(xué)方程為[9]

(17)

其中，q為連桿轉(zhuǎn)動角度；θ為電機(jī)的轉(zhuǎn)動角度；I、J分別為連桿和電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量；mglsinq為連桿的重力矩；l為連桿長度；K為關(guān)節(jié)剛度；τm為控制輸入。

圖2　單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂示意圖

(18)

為了達(dá)成不需要建立模型的柔性機(jī)械臂反演控制的目標(biāo)，將式(18)改寫為

(19)

g(x)=-x3-[mglsinx1+K(x1-x3)]/I

f(x)=K(x1-x3)/Jm=1/J

式中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)，x=[x1x2x3x4]T。

2.1基本反演控制器的設(shè)計(jì)

利用反步法逐步設(shè)計(jì)位置控制器，主要分以下幾個步驟進(jìn)行：

(1)定義e1=x1-x1d，取x1d=yd為位置指令，則e1對時間求導(dǎo)可得：

(20)

定義e2=x2-x2d，其中，x2d為虛擬控制量，取

(21)

則由式(20)、式(21)得：

-k1e1+e2

(22)

(2)e2對時間求導(dǎo)得

(23)

取e3=x3-x3d，則虛擬控制量為

(24)

(25)

由式(23)、式(24)得

(26)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(27)

則

(3)e3對時間求導(dǎo)得

(28)

由式(23)～式(25)、式(27)得

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(35)

(36)

(4)將控制輸入信號引入設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定。由已知得：

(37)

則由式(28)、式(30)、式(31)、式(33)得

(38)

(39)

控制律設(shè)計(jì)為

(40)

將式(40)代入式(39)得

(41)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

則

(42)

2.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制器的設(shè)計(jì)

(43)

其中，Wi為理想權(quán)值，i=1，2，3；φi為高斯基函數(shù)，‖ξ‖=‖[ξ1ξ2ξ3]T‖ <ξN，‖Wi‖≤WM，ξN為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時設(shè)定的權(quán)值范圍，WM為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時設(shè)定的閾值。定義

(44)

定義

‖Z‖F(xiàn)≤ZM

(45)

(46)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

V4=ξTξ/2η>0

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

(47)

Φ=[0φ1φ2φ3]T

(48)

2.3基于Simulink的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制器的仿真

為了檢驗(yàn)上述算法的合理性，我們以單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例，在Simulink中對其進(jìn)行仿真，其動力學(xué)方程為式(17)，實(shí)際參數(shù)為mgl=6.9 N·m，I=2.1×10-3kg·m2，J=3.26×10-1kg·m2，K=8 N·m。位置指令yd=sint，初始位置x(0)=0，控制器參數(shù)為k1=k2=k3=k4=5。采用BRF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近g、d和f，控制律為式(40)，自適應(yīng)律為式(47)、式(48)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入x=[x1x2x3x4]T。在自適應(yīng)律中，取n=0.01，Γ2=Γ3=Γ4=250，即Q=diag(0，0.004，0.004，0.004)，m=1.0。圖3為系統(tǒng)Simulink仿真圖。圖4所示為指關(guān)節(jié)的位置跟蹤曲線，圖5所示為關(guān)節(jié)的控制輸入力矩，圖6所示為g(x)的實(shí)際值及其估計(jì)值。

圖3　單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)Simulink仿真框圖

圖4　位置跟蹤

圖5　控制輸入

圖6　g(x)及其估計(jì)值

仿真結(jié)果表明，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演法對機(jī)械臂進(jìn)行控制，能保證對象跟蹤誤差在1 s后收斂于0。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制器的設(shè)計(jì)不但降低了基本的反演控制器對被控對象參數(shù)的敏感性，而且克服了傳統(tǒng)方法對被控對象模型精確的要求。因此該方法對柔性機(jī)械臂的控制具有一定的有效性。

3　結(jié)語

本文首先建立六自由度柔性關(guān)節(jié)的簡化模型，然后利用Lagrange法創(chuàng)建動力學(xué)模型。文中只考慮機(jī)械臂關(guān)節(jié)的柔性，忽略桿的柔性，將桿視為剛性桿。建模需要考慮各個電機(jī)和連桿的動能與勢能，及每個關(guān)節(jié)的彈性勢能，因此推導(dǎo)出整個關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)方程。之后，以單自由度柔性機(jī)械臂為例，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演法對其控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到具體的控制器模型以及控制律。最后給出具體的被控對象參數(shù)以及控制器參數(shù)，在Simulink中對其進(jìn)行仿真，實(shí)例證明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演法對柔性機(jī)械臂的控制具有一定的可行性。

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(編輯張洋)

Dynamics Analysis of 6-DOF Manipulators with Flexible Joints

Wang Hai1Fu Bangchen1,2Xue Bin1Yang Chunlai1

1.Anhui Polytechnic University，Wuhu，Anhui，241000 2.Anpu Institute of Technology Robotic Industry Co., Ltd., Wuhu，Anhui，241000

Most robots were hypothetical designed and controlled in rigid body dynamics. Hence, the accuracy and efficiency of these robots were limited in working. However, the flexible joint manipulators provided a good point of these problems. The 6-DOF manipulator with flexible joints was studied herein. Firstly, a simplified model was given, and the kinetic model of this manipulator was built by Lagrange equations. Then, the control law was created by neural network backstepping method in the case of 6-DOF manipulator with flexible joints. Finally, the rationality of the controller was proven by Simulink.

6-DOF； flexible joint； dynamics； Lagrange equation； neural network backstepping method

王海，男，1976年生。安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院教授、博士。主要研究方向?yàn)槲⒓{米技術(shù)和機(jī)器人測控。發(fā)表論文20余篇。付邦晨，女，1992年生。安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院碩士研究生，蕪湖安普機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司工程師。薛斌，男，1990年生。安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院碩士研究生。楊春來，男，1982年生。安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院講師、博士。

2015-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175001，51275001，51375469)；安徽省自然科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(KJ2012A003)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.08.018