含磁滯補(bǔ)償?shù)碾娨核欧到y(tǒng)預(yù)設(shè)性能跟蹤控制

董振樂　馬大為　姚建勇　王曉鋒

南京理工大學(xué)，南京，210094

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含磁滯補(bǔ)償?shù)碾娨核欧到y(tǒng)預(yù)設(shè)性能跟蹤控制

董振樂馬大為姚建勇王曉鋒

南京理工大學(xué)，南京，210094

針對電液伺服系統(tǒng)普遍存在的參數(shù)不確定性、不確定非線性(磁滯、摩擦、外干擾等)，提出一種基于自適應(yīng)魯棒控制的含磁滯補(bǔ)償?shù)念A(yù)設(shè)性能跟蹤控制策略。以閥控單出桿液壓缸位置伺服系統(tǒng)為例，首先建立了含磁滯非線性的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，然后通過定義預(yù)設(shè)性能函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對跟蹤誤差收斂速率、最大超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度的預(yù)先規(guī)劃，基于規(guī)劃后的轉(zhuǎn)換誤差設(shè)計了自適應(yīng)魯棒控制器，并提高了穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)跟蹤性能。仿真對比結(jié)果表明：該控制策略可以減小磁滯對系統(tǒng)跟蹤精度的影響，提高跟蹤誤差的收斂速度，減小最大超調(diào)量，最終實(shí)現(xiàn)優(yōu)良的跟蹤性能。

電液伺服系統(tǒng)；磁滯；預(yù)設(shè)性能控制；建模不確定性；自適應(yīng)魯棒控制

0　引言

電液伺服系統(tǒng)具有功率密度大、響應(yīng)快、輸出力/力矩大等突出優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)和國防領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。然而電液伺服系統(tǒng)存在的參數(shù)不確定性(如伺服閥的流量增益、液壓油的體積模量、液壓缸的泄漏系數(shù)等)和不確定非線性(如未建模外干擾、非線性摩擦、磁滯等)給控制器的設(shè)計帶來了很大難度。

自適應(yīng)控制是針對參數(shù)不確定的常用技術(shù)手段[3]，可以有效地估計系統(tǒng)未知參數(shù)和可參數(shù)化的系統(tǒng)不確定非線性并實(shí)現(xiàn)較好的模型補(bǔ)償，但對不可參數(shù)化的不確定非線性無能為力。針對不確定非線性，可采用滑?？刂芠4]、魯棒控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]等方法處理。

以上控制方法，常常只關(guān)注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，對于跟蹤誤差超調(diào)量、收斂速度等瞬態(tài)指標(biāo)，卻很少涉及。實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行時，一旦出現(xiàn)超調(diào)量過大、收斂過慢等不理想狀況，系統(tǒng)性能必然受損，嚴(yán)重時甚至造成執(zhí)行器失效。針對此類問題，Rovithakis等[7]提出了預(yù)設(shè)性能控制，即通過定義預(yù)設(shè)性能函數(shù)，對系統(tǒng)跟蹤誤差的超調(diào)量、收斂速度等瞬態(tài)性能指標(biāo)以及跟蹤精度等穩(wěn)態(tài)指標(biāo)施加約束，通過誤差轉(zhuǎn)換，將原始受限的跟蹤誤差轉(zhuǎn)換為新的設(shè)計誤差，并基于此進(jìn)行了控制器的設(shè)計，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)性能。需要說明的是，文獻(xiàn)[7]中預(yù)設(shè)性能函數(shù)的定義是獨(dú)立于控制器設(shè)計的，這極大地方便了預(yù)設(shè)性能控制與其他高性能控制器的結(jié)合，從而在許多系統(tǒng)中得到了較好的應(yīng)用[8]。

此外，某些液壓元器件(電液伺服閥中的力矩馬達(dá)、壓電直驅(qū)伺服閥中的壓電材料等)普遍存在磁滯特性，它極易導(dǎo)致系統(tǒng)在低頻時的相位滯后[9]，影響控制器的最終性能。針對此類問題，文獻(xiàn)[10]將磁滯特性建模為線性項和有界干擾項的組合，該模型簡單，給磁滯補(bǔ)償控制器的設(shè)計提供了便利，也在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用[11]。文獻(xiàn)[12]提出一種基于磁滯逆模型的磁滯補(bǔ)償方法，然而相比于文獻(xiàn)[10]所述方法，該方法稍顯復(fù)雜。

本文以某閥控單出桿液壓缸位置伺服系統(tǒng)為例，首先建立了包含磁滯非線性[11]的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，在模型中同時考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性。然后在自適應(yīng)魯棒控制的基礎(chǔ)上，融合預(yù)設(shè)性能控制，不但獲得了較好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，而且保證了預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)性能指標(biāo)。最后通過仿真驗證了控制器的有效性。

1　含磁滯非線性的系統(tǒng)建模

1.1磁滯模型

由于傳統(tǒng)間隙類磁滯模型的不連續(xù)特性對非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計十分不利，故本文根據(jù)文獻(xiàn)[10]，給出如下磁滯模型：

(1)

式中，u、h(u)分別為磁滯模型的輸入(控制輸入)和輸出；α、c、B1為磁滯參數(shù)，均為常數(shù)，c>B1。

式(1)所描述磁滯特性曲線如圖1所示，磁滯模型參數(shù)c=1.3，B1=0.9，α=10。

圖1　磁滯特性曲線

求解式(1)可得[10]

h(u)=cu(t)+dh(u)

(2)

式中，h(u0)、u0分別為h(u)和u的初值。

分析式(2)易知，轉(zhuǎn)換后的磁滯模型由斜率為c的線性項和非線性干擾項dh(u)組成。對于dh(u)項，由文獻(xiàn)[10]可得如下結(jié)論：

進(jìn)一步分析式(2)易知，干擾項dh(u)指數(shù)收斂至相應(yīng)界值。在下一步液壓系統(tǒng)的建模中，式(2)中的磁滯模型將會考慮在內(nèi)，同時將基于該磁滯模型進(jìn)行磁滯特性補(bǔ)償。

1.2液壓系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型

本文中的單出桿液壓缸位置伺服系統(tǒng)原理如圖2所示，伺服閥控制液壓缸直接驅(qū)動慣性負(fù)載做直線運(yùn)動。根據(jù)牛頓第二定律，慣性負(fù)載動力學(xué)方程為

(3)

圖2　閥控單出桿液壓缸位置伺服系統(tǒng)原理示意圖

執(zhí)行器兩腔壓力的動態(tài)方程為[9]

由文獻(xiàn)[9]可知，負(fù)載流量QL和伺服閥閥芯位移xv的關(guān)系為

(5)

式中，Cd為伺服閥節(jié)流孔系數(shù)；w為伺服閥節(jié)流孔面積梯度；ρ為液壓油密度；ps為系統(tǒng)供油壓力；pr為系統(tǒng)回油壓力，pr=0。

由于伺服閥的頻寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)工作時的頻寬，因此建模時我們忽略伺服閥的動態(tài)過程[13]，將閥的控制輸入和閥芯位移視為比例環(huán)節(jié)，即xv=kih(u)，其中，ki為電壓-閥芯位移的增益系數(shù)，則式(5)轉(zhuǎn)化為

(6)

定義狀態(tài)變量

同時結(jié)合式(3)～式(6)，并代入式(2)可得系統(tǒng)總數(shù)學(xué)模型：

(7)

θ1=B/mθ2=Af/mθ3=ckvK/m

g=A1R1/V1+A2R2/V2

f2=(A1/V1+A2/V2)pL

2　預(yù)設(shè)性能控制器設(shè)計

2.1預(yù)設(shè)性能函數(shù)

定義跟蹤誤差e=x1-x1d，假設(shè)其需滿足以下性能指標(biāo)：

-δlρ(t)0

(8)

其中，δu、δl為正的設(shè)計參數(shù)，用于輔助約束跟蹤誤差的上下限；ρ(t)為正的遞增光滑函數(shù)[8]：

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-kt+ρ∞

其中，ρ0、ρ∞和k均為正的可設(shè)計參數(shù)；-δlρ0、δuρ0分別約束了誤差的最大下沖量和最大超調(diào)量。參數(shù)k可調(diào)節(jié)跟蹤誤差的收斂速度，ρ∞可調(diào)節(jié)跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)界。顯然，式(8)對跟蹤誤差的性能給出了具體的規(guī)劃。為了便于后續(xù)控制器的設(shè)計，定義如下遞增函數(shù)[9]：

(9)

分析易知，式(9)等價于e(t)=ρ(t)S(z1(t))，且z1(t)有界時，預(yù)設(shè)性能式(8)始終滿足。

選取的遞增函數(shù)S(z1)：

(10)

求取式(10)的反函數(shù)，可得

(11)

接下來針對轉(zhuǎn)換誤差z1進(jìn)行控制器設(shè)計。

2.2控制器設(shè)計

對式(11)求導(dǎo)可得

(12)

進(jìn)一步可得

(13)

β(z3+α2-θ1x2-θ2Sf+d1)

(14)

設(shè)計虛擬控制量α2為

(15)

將式(15)代入式(14)，可得

(16)

φ1=β[x2Sf000]T

若設(shè)計α2s2滿足如下鎮(zhèn)定條件[3]：

(17)

式中，ε1為任意小的可設(shè)計參數(shù)，ε1>0。

則滿足式(17)的α2s2設(shè)計如下：

(18)

式中，θM為參數(shù)的最大攝動量矩陣，θM=θmax-θmin；θmax、θmin分別表示各參數(shù)的估計上界矩陣和估計下界矩陣。

進(jìn)一步有

(19)

(20)

進(jìn)一步，最終控制器可設(shè)計為

(21)

us1=-k3z3

式中，k3為待設(shè)計的反饋增益，k3>0；ua為基于模型的補(bǔ)償項；us1、us2為魯棒項。

將式(21)代入式(19)，可得

(22)

若設(shè)計us2滿足下式[3]：

(23)

式中，ε2為任意小的可設(shè)計參數(shù)，ε2>0。

則滿足式(23)的us2為

(24)

h2≥‖θM‖‖φ2‖+|?α2/?x2|δ1+δ2

選取參數(shù)自適應(yīng)律：

(25)

式中，Γ為可設(shè)計自適應(yīng)增益矩陣，Γ=diag(Γ1，Γ2，…，Γ5)。

控制系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3　控制系統(tǒng)總體框圖

2.3穩(wěn)定性證明

選取系統(tǒng)初始條件滿足-δlρ(0)

選取Lyapunov函數(shù)：

(26)

對式(26)求導(dǎo)，并結(jié)合式(16)、式(22)，可得

(27)

Z=[z1z2]Tε=ε1+ε2

通過合理地選取參數(shù)k1、k2和k3，使得矩陣Λ為正定矩陣，若定義λmin(Λ)為矩陣Λ的最小特征值，則由式(27)可得：

(28)

由式(28)可知，通過合理地選取參數(shù)k1、k2和k3，控制器(式(21))可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有界穩(wěn)定，即轉(zhuǎn)換跟蹤誤差z1有界；進(jìn)一步由式(9)、式(10)可知，所設(shè)計控制器可保證跟蹤誤差e1有界，進(jìn)一步通過調(diào)節(jié)ρ0、ρ∞、k、δl和δu等參數(shù)，可使得系統(tǒng)最終滿足式(8)中所描述的預(yù)設(shè)性能。

3　仿真與分析

本文所研究閥控液壓缸系統(tǒng)具體參數(shù)如表1所示。為了充分驗證本文所設(shè)計控制器的有效性，在MATLAB/Simulink中搭建系統(tǒng)仿真模型，選取以下3個控制器進(jìn)行對比仿真驗證。

(1)自適應(yīng)魯棒控制(adaptiverobustcontrol，ARC)。該控制器使用廣泛，其具體形式可參考文獻(xiàn)[1]，參數(shù)k1=100，k2=150，k3=300。

(2)含磁滯補(bǔ)償?shù)念A(yù)設(shè)性能自適應(yīng)魯棒控制(prescribedperformanceadaptiverobustcontrolwithhysteresiscompensation，PPARCH)，即為本文所設(shè)計控制方法，控制器各參數(shù)如下：k1=100，k2=50，k3=150，ρ0=0.3，ρ∞=0.001，k=0.5，δl=δu=10。自適應(yīng)律(式(25))中的參數(shù)Γ=diag(40，2.5，0.02，1×1014，1×10-7)。

(3)不含磁滯補(bǔ)償?shù)念A(yù)設(shè)性能自適應(yīng)魯棒控制(prescribed performance adaptive robust control，PPARC)，即在控制器設(shè)計過程中，忽略磁滯特性的模型補(bǔ)償，而仿真時在系統(tǒng)模型中加入磁滯環(huán)節(jié)。各控制器參數(shù)選取同PPARCH。

表1　閥控單出桿液壓缸位置伺服系統(tǒng)參數(shù)

系統(tǒng)參數(shù)估計的上下界矩陣分別為

θmin=[000.012×1060]T

θmax=[510.58×1060.0001]T

參數(shù)估計初值矩陣為

θ0=[000.012×1060.0001]T

系統(tǒng)外干擾d=0.5sin(2πt)，系統(tǒng)初始位置x1(0)=0.1 m，顯然該初始位置滿足初始條件要求-δlρ(0)

選取系統(tǒng)位置跟蹤指令x1d=(1-exp(-0.01t2))arctan(sint)，如圖4所示。

圖4　位置跟蹤指令

磁滯模型曲線見圖1，系統(tǒng)仿真曲線如圖5～圖8所示。

圖5　PPARCH作用下的控制輸入

圖6　初始段0～0.3 s跟蹤誤差對比

圖7　穩(wěn)態(tài)段20～50 s跟蹤誤差對比

圖8　PPARCH參數(shù)估計

圖5所示為PPARCH下的控制輸入曲線，顯然，受磁滯非線性的影響，控制輸入在峰值處存在輕微的抖動，但控制輸入整體光滑且始終有界。圖6所示為初始段0～0.3s的跟蹤誤差。由于初始位置不匹配，因此在跟蹤初始時刻，3個控制器的系統(tǒng)跟蹤誤差均較大，但都以較快速度收斂，其中，ARC出現(xiàn)了較大的超調(diào)，PPARC和PPARCH在預(yù)設(shè)性能函數(shù)的作用下，無明顯超調(diào)，且跟蹤誤差收斂速度快于ARC。圖7所示為穩(wěn)態(tài)段(20～50s)的跟蹤誤差，ARC的跟蹤誤差較大，約為0.03mm，PPARC(約0.02mm)較ARC有了較大改善，PPARCH通過對磁滯的補(bǔ)償作用，跟蹤誤差進(jìn)一步減小，實(shí)現(xiàn)了最佳的跟蹤精度(約0.01mm)。圖8給出了系統(tǒng)各參數(shù)的估計曲線，由于初始位置不匹配，初始段各參數(shù)估計值出現(xiàn)了較大的突變，然而在自適應(yīng)律的作用下，各曲線逐漸收斂并保持穩(wěn)定。

4　結(jié)論

(1)將系統(tǒng)磁滯非線性模型簡化為線性項和有界干擾項之和，可便于后續(xù)控制器的設(shè)計。

(2)通過設(shè)計預(yù)設(shè)性能函數(shù)，對系統(tǒng)跟蹤誤差的超調(diào)量、收斂速度、穩(wěn)態(tài)精度等性能指標(biāo)進(jìn)行了合理了規(guī)劃，并結(jié)合自適應(yīng)魯棒控制策略，設(shè)計了優(yōu)良的預(yù)設(shè)性能控制器。

(3)通過與傳統(tǒng)自適應(yīng)魯棒控制器的仿真對比，驗證了預(yù)設(shè)性能函數(shù)對跟蹤誤差瞬態(tài)性能的改進(jìn)作用；通過與不含磁滯補(bǔ)償?shù)念A(yù)設(shè)性能控制器進(jìn)行仿真對比，驗證了所使用磁滯補(bǔ)償策略的有效性。

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(編輯張洋)

Prescribed Performance Tracking Control of Electro-hydraulic Servo Systems with Hysteresis Compensation

Dong ZhenleMa DaweiYao JianyongWang Xiaofeng

Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094

For the common parametric uncertainties and uncertain nonlinearities(hysteresis, nonlinear friction, external disturbances, et al) existing in electro-hydraulic servo systems, a novel method was proposed, which was based on adaptive robust control, and named prescribed performance tracking control with hysteresis compensation. First, taking valve controller single-rod hydraulic cylinder position servo system for instance, a mathematic model consisting of hysteresis nonlinearity was constructed. And then, a prescribed performance function was utilized to characterize the convergence rate, maximum over-shoot, and steady-state errors. At last, an adaptive robust controller was design based on the planned tracking errors to guarantee the excellent steady-state performance and transient performance. Extensive simulations show that the proposed controller can attenuate the hysteresis effects on the tracking accuracy, improve the convergence rate, reduce the over-shoot, and eventually achieve an excellent tracking.

electro-hydraulic servo system; hysteresis; prescribed performance control; modeling uncertainty; adaptive robust control

董振樂，男，1988年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為機(jī)電液伺服系統(tǒng)非線性控制。發(fā)表論文3篇。馬大為，男，1953年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。姚建勇，男，1984年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副研究員。王曉鋒，男，1962年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院研究員、博士研究生導(dǎo)師。

2015-04-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305203)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20141402)

TP271.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.08.001