數(shù)格子估算面積與數(shù)格點(diǎn)估算面積
——應(yīng)用皮克定理在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行估算

王軍（陜西師范大學(xué)數(shù)科院 江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市橫塘小學(xué)）

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數(shù)格子估算面積與數(shù)格點(diǎn)估算面積
——應(yīng)用皮克定理在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行估算

王軍
（陜西師范大學(xué)數(shù)科院 江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市橫塘小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對于估算有明確的要求，即“理解估算的意義”“會用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”。很多教師認(rèn)為估算是在不要求精確計(jì)算的情況下使用的一種能快捷求出近似結(jié)果的計(jì)算方法，或者是檢驗(yàn)精算結(jié)果是否正確的驗(yàn)算方法。但是他們沒有意識到，估算更重要的功能在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、觀察能力、空間想象能力和邏輯推理能力。

一、教材中對曲線圖形面積的估算

江蘇教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第22頁有這樣一道例題：

例11.下面是某自然保護(hù)區(qū)一個湖泊的平面圖，如圖1，（每個小方格表示1公頃）。你能估計(jì)這個湖泊的面積大約是多少公頃嗎？

通過數(shù)格子來估算，55個整格，34個非整格，非整格的算半格，這個湖泊的面積大約是72公頃。

圖1

這個圖形面積的準(zhǔn)確值應(yīng)該在55與89之間，上述估算方法不夠精確，思維含量偏低，也較難引起學(xué)生的興趣，有沒有其他的估計(jì)方法呢？

二、數(shù)格點(diǎn)估算面積

1.數(shù)格點(diǎn)算面積的方法介紹

通過閱讀文獻(xiàn)，我們認(rèn)為，有一種數(shù)格點(diǎn)計(jì)算多邊形面積的方法可以用來估算曲線圖形的面積。這種方法起源于格點(diǎn)多邊形。所謂格點(diǎn)多邊形，就是說這個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，如圖2：

設(shè)S為圖2的面積，L是邊界上的格點(diǎn)數(shù)（組成格子的橫豎線的交叉點(diǎn)正好在圖形的邊上），N是內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)（交叉點(diǎn)在圖形的內(nèi)部），容易計(jì)算出圖形面積是11。如果聯(lián)系到圖形的L=6及N=9，還有+N-1的關(guān)系式成立，這種方法是否具有一般性呢？

圖2

2.數(shù)格點(diǎn)估算面積方法合理性的說明

數(shù)格子的估計(jì)方法學(xué)生應(yīng)該是可以理解的，但是數(shù)格點(diǎn)估算面積的方法有何依據(jù)呢？先以格點(diǎn)矩形為例?？磮D3。

設(shè)圖3矩形的長和寬分別為m和n，則面積S=mn。

圖3

再來考慮這個矩形的邊界格點(diǎn)數(shù)L，L=2（m+1)+2（n-1）；內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)N=（m-1）（n-1）；而+N-1=m+n+mn-m-n+1-1=mn，所以關(guān)系式S=+N-1對格點(diǎn)矩形是成立的。

從圖形的對稱性可知，上述關(guān)系式對于格點(diǎn)直角三角形也是成立的，對于一般三角形也是成立的。

3.用不同方法估算圖形面積的比較和分析

由于我國一向重視計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性以及估算剛剛走進(jìn)小學(xué)課堂，導(dǎo)致很多一線教師對估算教學(xué)缺乏相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，因此，在估算教學(xué)中存在不少誤區(qū)。其中之一就是估算的方法、需求單一。我們在教學(xué)中要設(shè)法改變這種狀況，豐富估算的策略和方法，以便根據(jù)不同的需求進(jìn)行選用。下面以江蘇教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第22頁的一道練習(xí)題來說明。

練一練1：估計(jì)一下，下圖4中樹葉的面積大約是多少平方厘米？（每個小方格表示1平方厘米）

圖4

用數(shù)格子的方法來求面積，整格數(shù)有22個，非整格數(shù)有34個，因此估計(jì)其面積是22+34÷2=39平方厘米。

用數(shù)格點(diǎn)的方法來估算，先要在圖形上畫出與原圖面積接近的格點(diǎn)多邊形，再計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積。這里可以放手讓學(xué)生去畫不同的格點(diǎn)多邊形，然后展示格點(diǎn)多邊形的幾種不同畫法，繼而豐富估算的策略。

觀察圖5。點(diǎn)畫線畫出的格點(diǎn)多邊形接近銀杏葉且比銀杏葉的面積大，邊界和內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)分別是16和39，所以它的面積是46平方厘米；實(shí)線格點(diǎn)多邊形接近且比銀杏葉的面積小，邊界和內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)分別是20和24，其面積是33平方厘米;這樣就確定了銀杏葉的面積在33到46平方厘米之間。

圖5

與數(shù)格子估算面積相比,構(gòu)造格點(diǎn)多邊形估算面積的方法可以更加直觀地看出估算面積與原面積的關(guān)系，可以更精確地確定面積范圍。從思維層面看,數(shù)格點(diǎn)更有數(shù)學(xué)味，其中的思維含量也高一些。

三、皮克（Pick）定理及其應(yīng)用引入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的積極因素

上述數(shù)格點(diǎn)算面積的方法早在1889年就被奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)了，S、L、N三者的關(guān)系式被稱為“皮克定理”?！捌た硕ɡ怼北蛔u(yù)為有史以來“最重要的數(shù)學(xué)定理”之一。

數(shù)年前，國外某次數(shù)學(xué)會議上，一位林業(yè)官員向與會者介紹一系列有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用在森林工業(yè)中的突出例子。其中一個例子,就是由巡航車在森林中的位置確定的地域范圍，用一張畫有點(diǎn)陣的透明薄膜覆蓋其上，畫出格點(diǎn)多邊形，數(shù)出邊界上點(diǎn)數(shù)的一半加上多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，從而得出多邊形的面積。雖然這位官員并未意識到他基本上（稍有誤差）在使用十分完美、實(shí)用的皮克定理。

用數(shù)格點(diǎn)的方法估算面積，既豐富了估算圖形面積的方法，也能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入皮克定理，對學(xué)生來說應(yīng)該是可以掌握并在生活中有效運(yùn)用的，作為小學(xué)教師能掌握本體性知識也是有必要的。教學(xué)中增加皮克定理的相關(guān)知識的介紹，也可以作為數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)中的一種滲透，使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)的價值，體悟數(shù)學(xué)的味道，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

［1］桑帆.小學(xué)估算教學(xué)的現(xiàn)狀及對策研究［J］.新課程研究，2014（8）.

［2］談祥柏.數(shù)學(xué)不了情［M］.科學(xué)出版社，2010.

［3］詹國梁.皮克定理及其證明［J］.蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000 （3）.

·編輯 魯翠紅