解決圓錐曲線問題的三個策略

朱培賢（甘肅省張掖市第二中學，甘肅 張掖 734000）

?

解決圓錐曲線問題的三個策略

朱培賢
（甘肅省張掖市第二中學，甘肅 張掖 734000）

摘 要：本文針對高考圓錐曲線問題所涉及的題型給出三種解決策略，從化歸的數(shù)學思想出發(fā)揭示用代數(shù)方法解決幾何問題的操作程序，從而讓學生學會靈活應用等價轉(zhuǎn)化的方法將難點轉(zhuǎn)化為易于計算的問題。

關鍵詞：幾何關系；代數(shù)條件；轉(zhuǎn)化

一、注重對圓錐曲線概念的理解，求解圓錐曲線方程

（一）待定系數(shù)法

如果題中已經(jīng)給出方程，但基本量未知，可以根據(jù)題中給的條件聯(lián)立方程求解基本量。

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

（二）直譯法

當我們很難判定動點P的運動規(guī)律符合那種已知曲線定義時，可以建立點P滿足的等量關系，先將點P所滿足的幾何等量關系表示出來，再利用點P的坐標來將該等量關系表示出來，這樣就能夠得到相應的等量關系式，最終得到相應的軌跡方程。

（三）參數(shù)法

當直譯法也無法求得軌跡方程時，則可以尋找動點P的某個運動幾何量t，將這個量作為本次解題的參變數(shù)，從而利用P點的坐標X與Y來與參數(shù)t分別建立函數(shù)關系x＝f（t），y＝g（t），最終將參化轉(zhuǎn)化為軌跡方程F（x，y）＝0。

用參數(shù)法求解的過程中，選取的參數(shù)是其中的關鍵，一般的參數(shù)選用都是具有某種物理意義或幾何意義，比如具有時間、速度、角度、距離等數(shù)量，同時也可以是直線的斜度或點的坐標等。在選取參數(shù)的過程中還需注意的是參數(shù)的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。

（四）代入法（相關點法）

當動點P的運動是由另外一點P′的運動而引起的，并且另外一點P′的運動規(guī)律是已知的，也就是說這點的坐標是已知的曲線方程，就可以先設出P點的坐標，擁P點的坐標來表示出P′點的坐標，再將P′點代入到已知的曲線方程中，從而獲取P點的軌跡方程。

二、發(fā)掘題中所需要轉(zhuǎn)換的幾何關系，轉(zhuǎn)化成相應的代數(shù)關系

例1中“圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥”為核心的幾何關系，可以轉(zhuǎn)化為兩個代數(shù)關系：1.原點到該圓切線的距離等于圓的半徑，假設滿足題意的圓存在，其方程為x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2.設該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A（x1，y1），B （x2，y2）兩點，當直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為

可轉(zhuǎn)化為x1x2＋y1y2＝0，將y＝kx＋m，其代入橢圓E的方程并整理得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由方程根與系數(shù)的關系得。因為⊥，所以

x1x2＋y1y2＝0，從而可得（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，即。通過以上兩個轉(zhuǎn)化可以得到，所以存在圓滿足題意。

能否實現(xiàn)幾何條件向代數(shù)條件的靈活轉(zhuǎn)化是突破圓錐曲線難點的關鍵，下面總結(jié)了一些幾何條件向代數(shù)條件轉(zhuǎn)化的辦法。1.“中點弦問題”可以轉(zhuǎn)化為“點差法”；2.“直線與曲線相切”可轉(zhuǎn)化為△=0；3.“三角形面積”可轉(zhuǎn)化為“d”或者“分割三角形求解”；4.“等邊三角形”可轉(zhuǎn)化為“d=|AB |”；5“.·=0或⊥”轉(zhuǎn)化為“x1x2＋ y1y2=0”；6“.=λ+”轉(zhuǎn)化為“橫、縱坐標相等”；7“.菱形”轉(zhuǎn)化為“S=|BD ||AC |”；8“.角平分線”轉(zhuǎn)化為“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等d1=d2”；9.“X軸平分角”轉(zhuǎn)化為“斜率互為相反數(shù)”；10.“”轉(zhuǎn)化為“”；11“.）”轉(zhuǎn)化為“AD是△ABC中BC邊的中線”。

三、注重運算技巧，事半功倍

重視提煉歸納數(shù)學思想于數(shù)學方法，從而簡化解題過程優(yōu)化解題思維。

（一）用好函數(shù)思想方法

一般圓錐曲線上的動點，可以利用變化過程中的相互聯(lián)系與相互制約的量，讓一些線長與a、b、c、e之間形成相應的函數(shù)關系，再通過函數(shù)思想來處理這些問題就會變得更加有效，在解答問題時可以充分利用“數(shù)形結(jié)合”的思想、弦長公式以及韋達定理去求解，從而充分強化學生對各種數(shù)學能力的利用。

（二）掌握坐標法

坐標法是解答圓錐曲線問題的基本方法。近幾年的考試過程中，基本都對坐標進行了考查，因此強化坐標法的訓練非常重要。解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，因此轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法在解決圓錐曲線問題時至關重要，同時，計算速度和準確性對圓錐曲線問題的解決也不容忽視，所以日常學習中要加強練習，不斷積累，爭取做到對圓錐曲線問題有的放矢。

參考文獻：

［1］王道金.例談平面幾何方法在解決圓錐曲線問題中的輔助功能［J］.數(shù)學通訊，2015（4）.

［2］韓曉剛.“點差法”解決圓錐曲線的中點弦問題［J］.學周刊，2011 （4）.

［責任編輯 趙建榮］

Three Strategies to Solve the Problem of Conic

ZHU Pei-xian
（Zhangye No. 2 Middle School，Zhangye Gansu，734000，China）

Abstract:In this paper，according to conic problem involved in the university entrance exam，three resolution strategies are given. The geometric problem could be solved through algebraic method，and students can learn to transform difficulty into easy calculation by flexibly using equivalence conversion method.

key words:geometric relationship；algebraic conditions；conversion

中圖分類號：G63

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9132（2016）19-0090-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.19.057