巧用數(shù)形結(jié)合優(yōu)化思維過(guò)程

馮長(zhǎng)智 劉貞靜

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以使抽象的概念直觀化、枯燥的算式形象化，也可以使復(fù)雜的問(wèn)題條理化，讓學(xué)生在愉悅的氛圍中理解概念，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，從而提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可以優(yōu)化思維過(guò)程，使得數(shù)學(xué)教學(xué)充滿樂(lè)趣。

一、直觀操作，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是知識(shí)教學(xué)中的重要組成部分，在概念教學(xué)中，僅闡明其實(shí)際意義是不夠的，還應(yīng)從事物的整體、本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，對(duì)概念進(jìn)行全面分析、比較，突出其本質(zhì)屬性，使抽象枯燥的概念形象化、生動(dòng)化、具體化。借助直觀的圖形，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作將概念教學(xué)趣味化，從而幫助學(xué)生在輕松、愉快的學(xué)習(xí)氛圍中理解概念的形成過(guò)程。

例如，在教學(xué)北師大版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)《體積與容積》時(shí)，為讓學(xué)生充分體會(huì)到物體所占的空間是有大有小的，筆者找來(lái)兩個(gè)大小差不多大的土豆和紅薯，問(wèn)學(xué)生到底誰(shuí)占得空間大及具體測(cè)算方法。學(xué)生分組討論后，提出猜想并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：取來(lái)兩個(gè)裝有同樣多的水的量杯，將土豆和紅薯分別放進(jìn)去，比較兩個(gè)杯中水面上升的幅度后發(fā)現(xiàn)，裝有土豆的杯子的水面高度高于裝有紅薯的杯子，說(shuō)明土豆占得空間大，紅薯占得空間小，從而得出土豆體積大，紅薯體積小。

此處將不規(guī)則物體的體積大小轉(zhuǎn)化成了上升的那部分水的體積，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，也有機(jī)滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，為后面探究不規(guī)則物體的體積奠定了基礎(chǔ)。

在揭示“容積”的概念時(shí)，為讓學(xué)生充分理解“所能容納”的深層含義。筆者出示一個(gè)裝了大半瓶水的瓶子，問(wèn)學(xué)生“瓶子中水的體積是瓶子的容積嗎？”學(xué)生有的點(diǎn)頭，有的搖頭，似乎不敢確定。筆者再次追問(wèn)“那么瓶子的容積到底是多少呢？”這時(shí)，有學(xué)生提出，把瓶子里的水加滿就是。于是，筆者手拿裝著水的量杯往瓶子里加水，邊加邊說(shuō)：“當(dāng)水的體積等于瓶子的容積時(shí)，你們就叫停。”這樣一個(gè)扣人心弦的實(shí)驗(yàn)演示讓學(xué)生真實(shí)直觀地體會(huì)到“所能容納”就是滿滿地容納，不留一點(diǎn)兒空隙。教師通過(guò)直觀演示讓學(xué)生在真實(shí)的情境中觀察比較，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，使概念的理解由模糊變得清晰。

充分利用直觀圖形、實(shí)踐探究和演示操作，讓學(xué)生在觀察、猜想、比較、分析、推理、驗(yàn)證中內(nèi)化枯燥抽象的數(shù)學(xué)概念，從而使概念教學(xué)趣味化、生動(dòng)化、形象化。

二、想象驗(yàn)證，拓展空間觀念

空間觀念是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。教學(xué)中應(yīng)盡可能為學(xué)生提供形象直觀的物體，展示幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，使抽象的圖形直觀化，豐富學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

例如，在執(zhí)教人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)《圓柱的表面積》的鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)，筆者出示習(xí)題：把一根長(zhǎng)12米，直徑為6米的圓柱體木料切成2段，表面積增加了多少？一開始，學(xué)生無(wú)從下手，不知道應(yīng)該怎樣計(jì)算？筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法分三步解題。首先動(dòng)手操作，根據(jù)數(shù)據(jù)畫出一個(gè)圓柱體，再將其切成2段，可以橫切，也可以縱切，分別畫出橫切和縱切的草圖，看看不同的切法表面積都多了哪幾個(gè)面，多的這幾個(gè)面的面積合起來(lái)就是表面積增加的部分。其次實(shí)物操作演示，可以切蘿卜、火腿腸或黃瓜，課堂真實(shí)演示，讓學(xué)生驗(yàn)證自己所切的面是否與筆者操作的一樣。最后師生共同抽象概括，使物體的整體模型印刻在腦海中。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，豐富學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，從而拓展了學(xué)生的空間觀念。

三、畫圖分析，理清數(shù)量關(guān)系

數(shù)形結(jié)合的思維方法是理論與實(shí)際的有機(jī)聯(lián)系，是思維的起點(diǎn)，是兒童建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本方法。學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的對(duì)應(yīng)思想，幫助學(xué)生構(gòu)建了整體“1”與部分量之間的關(guān)系。在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中為了更好地分析數(shù)量關(guān)系，理清題意，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖來(lái)分析題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。其中線段圖的使用顯得更為清晰方便，使學(xué)生能夠一目了然地獲取相關(guān)的信息和問(wèn)題，直觀形象地了解到各信息與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系。

例如筆者在教學(xué)這樣的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)：氣象小組有12人，攝影小組的人數(shù)是氣象小組的[13]，航模小組的人數(shù)是攝影小組的[34]。航模小組有多少人？先引導(dǎo)學(xué)生畫一畫，嘗試運(yùn)用畫圖的方式來(lái)表示這三者之間的關(guān)系，有的畫的圓圈圖，有的畫的三角圖，還有的畫的點(diǎn)子圖，無(wú)論學(xué)生畫的哪種形式的圖，只要能正確的表示出這三者之間的關(guān)系就已經(jīng)成功了一半。再引導(dǎo)學(xué)生嘗試用線段圖來(lái)表示三者之間的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生注意畫圖的規(guī)范化和科學(xué)性，其實(shí)這些圖所表達(dá)的道理都是相通的，學(xué)生在畫圖的過(guò)程中明晰了三者之間的關(guān)系，正確地分析了數(shù)量關(guān)系，解題思路也就明晰了。

四、計(jì)算建模，明晰算法算理

計(jì)算教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，才能找到最優(yōu)路徑，順利完成教學(xué)任務(wù)。數(shù)形結(jié)合就是幫助學(xué)生正確理解算理的一種很好的方式。

筆者在執(zhí)教人教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)下冊(cè)《有余數(shù)除法》時(shí)，創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：16根小棒，能搭出幾個(gè)三角形？讓學(xué)生用自己喜歡的方式搭一搭，有的學(xué)生這樣表示△△△△△/，正合我意。接著，筆者要求學(xué)生用除法算式表示搭三角形的過(guò)程。再結(jié)合圖形說(shuō)出這題除法算式的商是多少以及多出來(lái)的一根小棒表示什么。通過(guò)搭建三角形，學(xué)生的大腦中的圖像就基本上形成了，筆者及時(shí)引導(dǎo)抽象出有余數(shù)的除法的橫式、豎式，學(xué)生有了表象能力的支撐，直觀、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余數(shù)除法的豎式計(jì)算模型。

（作者單位：馮長(zhǎng)智，宜昌市猇亭區(qū)教研室；劉貞靜，宜昌市猇亭區(qū)長(zhǎng)堰堤小學(xué)）