研讀教材“二次根式的乘除法”之感觸

王勇

“二次根式的乘除法”這節(jié)內(nèi)容是八年級數(shù)學下冊第16章16.3節(jié)，在研究教材和教學這一內(nèi)容時，對這部分內(nèi)容的設計及其體現(xiàn)的課程理念深有感觸，現(xiàn)將我的體會看法與各位同仁分享。

感觸一：“二次根式的乘除法”編寫意圖和地位

從2011年版義務教育課程標準（初中數(shù)學）對“數(shù)與代數(shù)”這一主線從五個角度去落實：一是要幫助學生搞清楚運算的對象是什么？二是要不斷地理解和認識運算的背景，為什么要做加、減、乘、除？三是運算法則。四是學會這么多的運算，到底有什么用？在哪兒發(fā)揮作用？五是在運算中既有精準的運算，也有進似的運算。從教材參考書看，二次根式這章的核心是以二次根式這一特殊的“式”為載體，進一步引導學生體會運算在代數(shù)中的核心地位，學習用運算法則進行運算，體會運算法則的邏輯關(guān)系，體會運算在代數(shù)中的基礎地位。做好：1.一以貫之地進行代數(shù)基本思想和方法的教學；2.以運算為核心，加強運算能力的培養(yǎng)。從教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算術(shù)平方根的基礎上并利用二次根式的性質(zhì)進行計算和化簡，同時也是學生學習二次根式加減法的基礎，也是學生后續(xù)學習必備的基礎。重點是二次根式乘除法則的探究和運用。二次根式的乘除涵蓋了初中階段的所有運算，學會了二次根式的運算，也就基本掌握了所有的運算。二次根式的運算更進一步的體現(xiàn)數(shù)學發(fā)展從“數(shù)”到“式”的過程，也讓學生不斷地形成完整的知識體系。所以，二次根式這一章在初中數(shù)學中地位和作用尤其重要。

感觸二：二次根式乘除運算的引入

從運算的角度提出了二次根式也是一個實數(shù)，這類實數(shù)將滿足怎樣的運算法則，該如何進行四則運算的研究任務。引入內(nèi)容看似沒什么？但其中蘊含太多的哲理，是學生數(shù)學思維的開啟，也是拋磚引玉，是學生思考接下來要思考什么？解決什么問題的導向。所以，教師要做好引入的導學。

感觸三：二次根式乘除法法則探究

問題探究是引導學生從特殊到一般歸納二次根式的乘除法則。從條件“計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律”看，學生應從三個維度去進行探究：一是計算，憑學生已有的數(shù)學知識進行；二是觀察，要從算式的結(jié)構(gòu)、運算方法、運算結(jié)果、形式變化等方面觀察；三是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是在觀察的基礎上，總結(jié)歸納得出一般的結(jié)論。從編者設置的問題看，學生是很容易從這些特例中發(fā)現(xiàn)，即培養(yǎng)了學生動手、動腦的能力，也讓學生體會法則的生成過程，并且對法則的理解更有深意。

感觸四：二次根式乘除法則的應用

二次根式乘除法則是 學生用已有的知識基礎和經(jīng)驗是完全能運用法則進行計算——只需要將被開方數(shù)相乘（除）即可。但法則反過來運用更多的是對計算結(jié)果的化簡，這是學生思維的難點，也是學生逆向思維培養(yǎng)的著力點，也是本節(jié)內(nèi)容的教學核心。比如：計算，學生很容易按照法則計算得出，從而利用二次根式的性質(zhì)又可以將二次根式進行化簡。特別是對這類二次根式的化簡，還要考慮“分數(shù)（式）”的性質(zhì)——分子分母同時乘以一個不為零的數(shù)（式），所以在二次根式的乘除運算中，要讓學生體驗“先算后化，先化后算”，怎樣做才會使計算較簡便，從而讓學生全面掌握、理解二次根式的乘除運算。如計算，學生就可以先算再化更容易做。

感觸五：最簡二次根式

二次根式學生先從“形”上認識——含有二次根號，再從“質(zhì)”上理解——被開方數(shù)為非負數(shù)，如，但學生又可以利用二次根式的乘除法則進行化簡，由此引出最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)或因式。這二者必須同時滿足，這樣的二次根式才是最簡二次根式，但從給出的兩個條件中不難看出，學生理解有難度：（1）不含分母；（2）不含開得盡方的因數(shù)或因式。從這兩個條件中告知學生什么樣的二次根式是最簡二次根式，同時也告知了化二次根式為最簡二次根式的方法：（1）把被開方數(shù)中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式開方出來。這又回到了二次根式的運算本質(zhì)上來。同時要提醒學生是“因數(shù)或因式”，不要錯將這樣的被開方數(shù)開方出來：這里的x2，y2不是被開方數(shù)的因數(shù)或因式。

感觸六：二次根式的計算結(jié)果

教材中有這樣一句話：在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。這句話揭示了數(shù)學運算的“規(guī)矩”——所有計算結(jié)果都力求最簡。同時，既要使結(jié)果是最簡二次根式也要使分母不含二次根式，這又是要將分母中的二次根式化“掉”?；胃綖樽詈喍胃椒椒ㄒ延辛?，要將分母含有二次根式的二次根式化“掉”的方法又是學生需要類比掌握的?；卸胃降姆帜傅姆椒▽嶋H就是運用“分式”的性質(zhì)——分子分母同時乘以一個適當?shù)亩胃?，使其分母所含的二次根式形?”的形式，利用二次根式的性質(zhì)即可將分母中所含的二次根式化“掉”。從而實現(xiàn)有關(guān)二次根式的計算結(jié)果是最簡二次根式并且分母不含二次根式。

總之，這一節(jié)內(nèi)容是本章的核心和重點，二次根式的乘除法掌握好了，接下來學習二次根式的加減法就很容易了。但不管是關(guān)于什么樣的“式”的計算，學生始終要把握一個原則——一定符號二計算，這樣就不會出現(xiàn)=（-2）×（-3）=6這樣的錯誤。對于運算學生總會出現(xiàn)這樣或那樣的問題，就其原因是學生對法則的生成和運用理解不夠?qū)е碌?，在教學中，教師要積極的讓學生參與探究，與同學分享探究成果，真正吃透法則的“精髓”，能更好地運用法則解決數(shù)學問題。