聲場中橢球形氣泡的體積振動研究

馬　艷， 林書玉， 徐　潔， 唐一璠

(1 陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119;2 寧夏師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院， 納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心， 寧夏 固原 756000)

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聲場中橢球形氣泡的體積振動研究

馬艷1，2， 林書玉1*， 徐潔1， 唐一璠1

(1 陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119;2 寧夏師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院， 納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心， 寧夏 固原 756000)

利用Lagrange方程得到了3個半軸呈一定比例的橢球形氣泡的體積振動方程，探討了不同驅(qū)動聲場、不同半軸比例下橢球形氣泡的體積振動和共振頻率，并與同樣體積下的球形氣泡進(jìn)行對比。結(jié)果表明：同樣聲場驅(qū)動下，橢球形氣泡的體積變化振幅小于球形氣泡體積變化振幅，橢球形氣泡越偏離球形，氣泡體積改變量越小，反之亦然；橢球形氣泡的共振頻率取決于其3個半軸長度的比值和氣泡均衡體積。

Lagrange方程； 橢球形氣泡； 體積振動； 共振頻率

PACS: 43.20.+g，43.35.+d，47.55.dd

超聲空化是超聲在含氣泡液體傳播過程中出現(xiàn)的特殊物理現(xiàn)象，單個球形氣泡在周期性聲場驅(qū)動下的動力學(xué)已經(jīng)被廣泛研究。1917年Rayleigh[1]忽略了液體的表面張力、氣泡內(nèi)的水蒸氣、液體的粘滯性和可壓縮性等對氣泡振動的影響，第一次推導(dǎo)了單個球形氣泡的徑向運動，即Rayleigh方程，為空泡動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。隨后，單個氣泡的聲致發(fā)光現(xiàn)象(sonoluminescence，SL)又一次激發(fā)了人們對振蕩聲場中懸浮氣泡動力學(xué)的興趣[2-4]，光學(xué)測量實驗表明：氣泡在聲場中形狀并非全是球形，氣泡的形狀取決于氣泡的均衡半徑和驅(qū)動聲壓振幅[5]，小的氣泡由于表面張力的作用，會趨于球形，較大的氣泡會偏離球形。20世紀(jì)50年代起，人們對非球形氣泡展開了研究[6-8]，通常的做法是在球形氣泡的基礎(chǔ)上基于微擾理論進(jìn)行修正[9-10]，這樣做的缺點是修正系數(shù)復(fù)雜，整個非球形氣泡的動力學(xué)建立在球形氣泡的基礎(chǔ)之上。而Lagrange方程與氣泡形狀無關(guān)，理論上可以求得橢球形氣泡的體積振動方程，本文試圖從Lagrange方程出發(fā)，建立3個半軸符合一定比例的橢球形氣泡的體積振動方程，并對橢球形氣泡在聲場中的振動進(jìn)行研究，對聲場中大氣泡的振動理論作以修正。

1 橢球形氣泡體積振動方程

球形氣泡處在聲場中，在聲場的作用下做周期性的收縮擴(kuò)張振動，如果氣泡周圍的液體不可壓縮，氣泡在振動中為絕熱過程，且不考慮表面張力的作用，則球形氣泡的體積振動方程[11]可表述為

(1)

其中：ρ為液體密度，v為球形氣泡體積改變量，點代表對時間求一階導(dǎo)數(shù)，R0為球形氣泡均衡半徑，p為驅(qū)動聲場聲壓幅值，w為驅(qū)動聲場的角頻率，γ為氣泡內(nèi)氣體的等壓熱容量與等容熱容量之比，b為耗散系數(shù)，(1)式經(jīng)變形后就是R-P類型方程。

對于橢球形氣泡，利用Lagrange方程也可以求得其振動方程，在只含有一個氣泡的液體系統(tǒng)中，其系統(tǒng)的拉格朗日方程可表示為

(2)

其中：L為Lagrange函數(shù)，C為驅(qū)動聲場。為了求得橢球氣泡系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，設(shè)橢球形氣泡在x、y、z三個半軸上的長度分別為a、b、c，a為橢球氣泡最短軸長度，且b=c=ka，k為常數(shù)。假設(shè)橢球形氣泡為絕熱振動且氣泡內(nèi)的氣體為理想氣體，忽略表面張力，根據(jù)理想氣體絕熱方程，可得系統(tǒng)的勢能為

(3)

(3)式ve中為橢球形氣泡的體積改變量，V0為橢球形氣泡的均衡體積。由于氣泡振動，引起液體動能的增量為

(4)

(5)

(5)式中V0為橢球形氣泡的均衡體積。聯(lián)立(3)、(4)和(5)式可得橢球形氣泡系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(6)

將(6)式代入(2)式，可得半軸長度呈比例的橢球形氣泡的體積振動方程為

(7)

(7)式為橢球形氣泡的體積振動方程，其振動狀態(tài)與橢球形氣泡的均衡體積和半軸長度比例系數(shù)有關(guān)。當(dāng)橢球形氣泡的形狀無限趨于球形氣泡時，上述橢球形氣泡的體積振動方程就回歸到球形氣泡的體積振動方程(1)。

2 橢球形氣泡的體積振動

小的氣泡由于表面張力的作用，其形狀趨于球形，故我們在研究中，模擬的氣泡尺寸都在幾十微米以上。圖1是同樣均衡體積下，不同半軸比例下的橢球形氣泡和球形氣泡二維對比圖，對于這樣尺寸的大氣泡來說，在聲場的作用下將會做小振幅運動，向液體介質(zhì)輻射聲波。在同樣的聲場驅(qū)動條件下，我們將對均衡體積相同的球形氣泡和橢球形氣泡的振動做一對比研究，得到液體中大尺寸且輕微偏離球形的氣泡體積的振動規(guī)律。

圖2是橢球形氣泡3個半軸長度a、b、c在不同比例下體積改變量與同樣均衡體積下球形氣泡體積改變量的對比圖，圖中的模擬條件為：驅(qū)動聲場壓強(qiáng)振幅p=1.5×105Pa，ρ=1 000 kg/m3，δ=0.1，σ=0.072 5 N/m，γ=1.4，P0=1.05×105Pa，R0=50 μm。從圖中可以看到：同樣的均衡體積下，橢球形氣泡的體積變化曲線明顯不同于球形氣泡的體積變化曲線，橢球形氣泡的體積變化振幅小于球形氣泡的體積變化振幅。具體原因為：球形氣泡是一個完全對稱的振動體，其等效振動質(zhì)量大于相同均衡體積下的橢球體等效振動質(zhì)量。除此而外，對于橢球體而言，其在聲場中的振動不完全對稱，與r和θ均有關(guān)系，其能量耗散要大于均衡體積下的球形氣泡，其等效振動質(zhì)量小于均衡體積下的球形氣泡。綜上所述，由于形狀的不對稱性，會使得氣泡的等效振動質(zhì)量減小，從而使得氣泡在整個振動過程中體積改變量減小。

圖1　相同均衡體積下不同的橢球形氣泡和球形氣泡的二維對比圖

對比圖2可以看出，雖然橢球形氣泡的體積變化振幅小于均衡體積下球形氣泡的體積變化振幅，但是半軸長度的比例仍然會影響橢球形氣泡的體積振動。圖2a中橢球形氣泡三個半軸長度的比值為1∶1.2∶1.2，如圖2a中實線所示，其體積改變量隨時間變化的曲線與相同均衡體積下球形氣泡體積改變量與時間的關(guān)系曲線(圖2a中虛線)基本重合，上述模擬條件下橢球體體積振動曲線和同樣體積下球形氣泡一樣出現(xiàn)了明顯的周期性變化，開始做小幅周期振動。而當(dāng)橢球形氣泡半軸長度比值為1∶2∶2(圖2b)，1∶3∶3(圖2c)和1∶4∶4(圖2d)時，可以看出，隨著半軸比例常數(shù)的增大，橢球形氣泡的體積變化曲線在振幅和相位上都與相同均衡體積下的球形氣泡有一定差異。

圖2　相同均衡體積下不同橢球形氣泡和球形氣泡體積改變量對比圖

以球形氣泡和同樣體積下的橢球形氣泡第4次體積改變量為例，球形氣泡第4次由體積最小擴(kuò)張至體積最大時，其體積改變量為1.748×10-11m3，而同樣均衡體積下k=1.2、k=2、k=3、k=4的橢球形氣泡第4次由體積最小擴(kuò)張至體積最大時，其體積改變量分別為1.734×10-11m3、1.688×10-11m3、 1.547×10-11m3和1.357×10-11m3。對比2a—d圖可以看出：橢球形氣泡的初始形狀越偏離球形氣泡，其做小振幅運動的體積改變量與同樣體積下球形氣泡的體積改變量差值越大，而橢球形氣泡的初始形狀越接近球形，其體積改變量與同樣均衡體積相同球形氣泡的差值越小，運動規(guī)律越接近球形氣泡。

圖3是聲場驅(qū)動頻率為20 kHz，三個半軸長度的比值為1∶4∶4，不同均衡體積的橢球形氣泡的體積變化與時間關(guān)系圖，圖中虛線、圓點實線、實線所對應(yīng)的橢球形氣泡的均衡體積分別等價于50 μm、80 μm和100 μm球形氣泡的均衡體積。對比可以看出：當(dāng)聲場驅(qū)動頻率和橢球形氣泡的初始形狀一定時，橢球形氣泡做小振幅振動的體積改變量取決于氣泡的均衡體積，在一定條件下，氣泡的均衡體積越大，其體積改變量越小，均衡體積越小，其體積改變量越大。

圖4a和4b是a=20 μm，k=4的橢球形氣泡，當(dāng)改變驅(qū)動聲場的聲壓振幅和驅(qū)動頻率時，其體積隨時間的變化關(guān)系。通過對比可以看出，一定初始體積的橢球形氣泡，當(dāng)固定聲場驅(qū)動頻率為20 kHz，改變其聲場的驅(qū)動聲壓從1.5×105Pa到2.0×105Pa，再增大到2.5×105Pa，從數(shù)值模擬結(jié)果看來：當(dāng)驅(qū)動聲壓大于1.5×105Pa時，再增大驅(qū)動聲壓振幅對橢球形氣泡的體積改變量影響不大；當(dāng)驅(qū)動聲壓振幅固定為1.5，改變聲場驅(qū)動頻率從20 kHz 增大到50 kHz，再增大到100 kHz，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：驅(qū)動頻率的改變對橢球形氣泡的體積改變量影響較大，可通過選擇不同的驅(qū)動頻率來控制橢球形氣泡的體積振動幅度。

圖3　不同初始體積下的橢球形氣泡

3 橢球形氣泡的共振頻率

當(dāng)球形氣泡在聲場驅(qū)動下做周期性擴(kuò)張和收縮時，可以從球形氣泡的體積振動方程(1)中解得球形氣泡的共振頻率為

(8)

(8)式也是著名的Minnaert 共振頻率方程，對于橢球形氣泡可以使用同樣的方法從橢球形氣泡體積振動方程中求解其共振頻率，從(7)式中可解得橢球形氣泡的共振頻率為

(9)

圖5是均衡體積相同，不同半軸長度比例下橢球氣泡共振頻率和球形氣泡共振頻率的對比圖。如果均衡體積相同，球形氣泡的共振頻率(圖5中標(biāo)記符號為×的曲線所示)小于橢球形氣泡的共振頻率，這是由于氣泡在聲場作用下做周期性擴(kuò)張收縮運動時，氣泡的形狀對氣泡的等效振動有一定的影響，同樣條件下球形氣泡的等效振動質(zhì)量大，而橢球形氣泡的等效振動質(zhì)量小。如果忽略表面張力的作用，均衡體積相同的球形氣泡和橢球形氣泡系統(tǒng)的勁度系數(shù)是相同的，所以，同樣條件下球形氣泡的共振頻率小于橢球形氣泡的共振頻率。

同樣均衡體積下，橢球形氣泡的共振頻率也不相同，而是取決于橢球形氣泡3個半軸長度的比例(如圖5中不同形狀的數(shù)據(jù)點)，3個半軸a∶b∶c=1∶4∶4的橢球形氣泡的共振頻率，如圖中實線所示，在同樣的均衡體積下，其共振頻率最大。3個半軸a∶b∶c=1∶3∶3的橢球形氣泡的共振頻率，如圖中標(biāo)記符號為圓點曲線所示，在同樣的均衡體積下，其共振頻率次之。3個半軸a∶b∶c=1∶2∶2的橢球形氣泡的共振頻率最小，如圖中標(biāo)記符號為三角的曲線所示，最接近同樣體積下的球形氣泡的共振頻率(如圖5標(biāo)記符號為×的曲線)。圖中方塊數(shù)據(jù)點是文獻(xiàn)[12]的測量結(jié)果，對比發(fā)現(xiàn)本文模擬結(jié)果與測量結(jié)果符合較好，這證明了橢球形氣泡體積振動方程和頻率方程推導(dǎo)的正確性。

圖5　橢球形(球形)氣泡共振頻率隨

通過以上數(shù)值模擬可以看出：同樣均衡體積的橢球形氣泡，其共振頻率取決于其3個半軸長度的比值和氣泡均衡體積，一定均衡體積的橢球形氣泡，其形狀偏離球形越大，則共振頻率越大，反之亦然。

4 結(jié)論

非球形氣泡的形狀穩(wěn)定性研究一直是氣泡空化動力學(xué)的熱點問題，然而由于非球形氣泡形狀和計算的復(fù)雜性，只局限在對球形氣泡運動方程的修正上，無法直接得到非球形氣泡的運動方程。本文基于Lagrange方程，直接得到了3個半軸長度呈一定比例的橢球形氣泡的體積振動方程，并研究了尺寸在幾十微米級別的橢球形氣泡的體積振動規(guī)律和共振頻率，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)液體中存在大量大尺寸的非球形氣泡時，其聲場效應(yīng)不同于同樣體積下的球形氣泡的聲場效應(yīng)。由于計算的復(fù)雜性，本文只考慮了3個半軸呈一定比例的橢球形氣泡的振動規(guī)律，3個半軸長度無規(guī)律的橢球形氣泡的振動將是我們下一步研究的重點內(nèi)容。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

Volume pulsation of an ellipsoidal gas bubble in an acoustic field

MA Yan1,2, LIN Shuyu1*, XU Jie1, TANG Yifan1

(1 School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China；2 School of Physics and Electronic Information Engineering, Engineering Research Center of Nanostructure and Functional Materials, Ningxia Normal University, Guyuan 756000, Ningxia, China)

The volume pulsation equation of three ellipsoidal gas bubbles are obtained based on Lagrange′s equation. The volume pulsation and resonance frequency of an ellipsoidal gas bubble are researched.The volume pulsation of an ellipsoidal gas bubble and a spherical gas bubble with the same equilibrium volume are compared. The results show that the volume change of an ellipsoidal gas bubble is smaller than the spherical gas bubble with the same equilibrium volume.Comparing with sphere, the change of volume in the ellipsoidal gas bubble is smaller. The shape of ellipsoidal gas bubble is close to sphere, and the change of volume is bigger. The resonance frequency of an ellipsoidal gas bubble depends on the equilibrium volume and the ratio of semiaxis of the ellipsoidal gas bubble. Keywords: Lagrange′s equation; ellipsoidal gas bubble; volume pulsation; resonance frequency

1672-4291(2016)04-0028-05

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.242

2016-03-01

國家自然科學(xué)基金(11174192，11374200，11474192); 寧夏師范學(xué)院校級項目(NXSFZD1516)

林書玉，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: sylin@snnu.edu.cn

O426.1

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