自覺(jué)數(shù)學(xué)課堂，重在關(guān)注“學(xué)程規(guī)劃”

■何麗華

自覺(jué)數(shù)學(xué)課堂，重在關(guān)注“學(xué)程規(guī)劃”

■何麗華

學(xué)程規(guī)劃是自覺(jué)數(shù)學(xué)課堂“以學(xué)定教”“學(xué)生發(fā)展為本”教育思想和新課程核心理念“關(guān)注學(xué)生差異”的具體體現(xiàn)，是相對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)而提出的一種新的概念。它要求教師了解學(xué)生學(xué)習(xí)的歷程，并充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生積極參與課堂開(kāi)發(fā)，選擇和調(diào)整課堂活動(dòng)，在師生的交互中動(dòng)態(tài)生成。

自覺(jué)數(shù)學(xué)課堂學(xué)程規(guī)劃

一、準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)——為“學(xué)程”提供學(xué)力支撐

準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)是讓學(xué)生從精神上、心理上、智力上做好學(xué)習(xí)新知識(shí)的準(zhǔn)備，包括學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的強(qiáng)度、基礎(chǔ)知識(shí)和能力的準(zhǔn)備、信息總量的積聚和積極行動(dòng)的熱情等。平時(shí)我們經(jīng)常會(huì)感嘆：為什么同樣的教師，同樣的時(shí)間，而且都是新內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)效能差別會(huì)如此之大？原因在于學(xué)生在“學(xué)程”開(kāi)始之前的原有知識(shí)結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)、思維習(xí)慣和認(rèn)識(shí)準(zhǔn)備等是有差別的。用有差別的內(nèi)在圖式去順應(yīng)或同化一個(gè)新內(nèi)容，結(jié)果當(dāng)然是不同的。而準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)的目的就是將學(xué)生尚處于參差不齊的經(jīng)驗(yàn)水平調(diào)整到大致相當(dāng)，為下一步的“學(xué)程”提供學(xué)力支撐。我們提供給學(xué)生的準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)有多種方式和多種途徑，如合理的舊知回顧、教學(xué)引入、準(zhǔn)備性學(xué)案等等。下面就以教學(xué)引入為例來(lái)說(shuō)明：

案例1蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“5.3一次函數(shù)的圖像（1）”教學(xué)引入

師：（課前已在黑板上寫(xiě)好了課題）同學(xué)們，我們今天學(xué)習(xí)的課題是什么？

生：一次函數(shù)的圖像！

師：你將這個(gè)課題讀懂了嗎？

生：不太懂！

師：有誰(shuí)讀懂了，誰(shuí)來(lái)解讀課題“一次函數(shù)的圖像”？

生1：老師，這個(gè)課題并不難懂！只要抓關(guān)鍵詞“圖像”，一次函數(shù)是“定語(yǔ)”，不同的函數(shù)有不同的圖像，今天我們只研究一次函數(shù)的圖像！

師：什么是函數(shù)的圖像？

生2：在直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)的自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，所組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。

師：那什么是一次函數(shù)的圖像呢？

生3：（知識(shí)要點(diǎn)1）在直角坐標(biāo)系中，以一次函數(shù)的自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，所組成的圖形叫做這個(gè)一次函數(shù)的圖像。

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)的圖像是學(xué)生真正接觸“數(shù)形結(jié)合思想”的開(kāi)端，也是學(xué)生從熟悉的“數(shù)”向陌生的“形”轉(zhuǎn)換的起點(diǎn)，此處一定要讓學(xué)生深入理解，而這也是教師常常容易忽視的地方。對(duì)這個(gè)知識(shí)要點(diǎn)的理解，光靠學(xué)生預(yù)習(xí)是很難完成的，上課前先進(jìn)行集體研討是很有必要的，同時(shí)也教會(huì)了學(xué)生研讀教材的方法，提高了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，更為“學(xué)程”做好了認(rèn)知的準(zhǔn)備。

啟示：當(dāng)我們從案例中受到啟發(fā)來(lái)對(duì)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)開(kāi)始思考的時(shí)候，才意識(shí)到先哲們?cè)缫褜?duì)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的重要性作過(guò)精辟的論述。比如孔子“溫故而知新”中的“溫故”是對(duì)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的強(qiáng)調(diào)；再如皮亞杰提出的同化與順應(yīng)，都基于內(nèi)在的圖式，而內(nèi)在的圖式即可視為對(duì)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的強(qiáng)調(diào)?！皩W(xué)程”的起始應(yīng)該根植于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之中，但在實(shí)際教學(xué)中，我們很少去關(guān)注學(xué)生個(gè)體在經(jīng)驗(yàn)獲得和經(jīng)驗(yàn)質(zhì)量上的差異。因此，在“學(xué)程”開(kāi)始之前分析該數(shù)學(xué)知識(shí)所依賴(lài)的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)，使全班學(xué)生能夠在經(jīng)驗(yàn)層面上達(dá)到大致相同的可接受水平，為學(xué)生下一步學(xué)習(xí)提供了學(xué)力支撐。

二、吃透“編路”，優(yōu)化“教程”利于“學(xué)程”

案例2蘇科版七年級(jí)下冊(cè)“探索三角形全等的條件5（直角三角形的判定）”

教材呈現(xiàn)：

例題如圖1，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C、D，AC=BD，△ABC與△BAD全等嗎？為什么？

圖1

編路分析：

“編路”就是教材編排的意圖、思路，體現(xiàn)了教材編寫(xiě)者對(duì)學(xué)生發(fā)展需要的一種理解。教材中這個(gè)例題的作用就是鞏固剛學(xué)的直角三角形的判定（HL）。

學(xué)程規(guī)劃：

在探索出直角三角形判定后直接教授此例題，雖然可以起到鞏固練習(xí)的作用，但降低了例題的教學(xué)功能和價(jià)值，也無(wú)法展開(kāi)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程，錯(cuò)失了培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和提升元認(rèn)知水平的契機(jī)。筆者從“學(xué)程”的角度出發(fā)，對(duì)此例題進(jìn)行了如下“教程”設(shè)計(jì)：

例題兩塊直角三角形紙板如圖2放置，已知∠C=∠D=90°，AC=BD。問(wèn)AD=BC嗎？為什么？

圖形變式：如果將兩個(gè)三角形其中的一個(gè)直角三角形向右平移一定距離，得到△ECF，如圖3，∠C=∠D=90°，條件不變。EC=BD，AE=BF，問(wèn)AD=BC嗎？為什么？

圖2

圖3

圖4

圖5

策略變式：我們繼續(xù)以圖2為藍(lán)本，將△ABD 沿AB向下翻折，如圖4，原例題中條件不變，結(jié)論還成立嗎？為什么？你有幾種解題方法？

變式拓展：我們?nèi)匀灰詧D2為藍(lán)本，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，如圖5，改編問(wèn)題——已知：∠C=∠D= 90°，AC=BD，BC=DE，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，則AF=EF嗎？為什么？

情景變式：如圖6，工人師傅將兩把等長(zhǎng)的梯子AB和PQ置于墻邊，其中AB固定于木樁BC上，PQ靠在墻邊，恰好形成如圖所示的兩個(gè)直角三角形，已知∠C=90°，BC=5m，AC=10m。聰明的小明，使梯子一端P運(yùn)動(dòng)到AC上的某一位置時(shí)，△ABC與△APQ恰好全等。你知道這是什么位置嗎？（幾何畫(huà)板展示）

圖6

解后反思：通過(guò)剛才的例題及其變式，你有什么收獲和感悟？（組內(nèi)交流討論）

點(diǎn)評(píng)：如何做到“教程”為“學(xué)程”服務(wù)呢？本案例作了很好的嘗試，筆者以“四個(gè)變式+解后反思”的方式呈現(xiàn)，目的有：（1）教程服務(wù)于學(xué)程?！皥D形變式——策略變式——變式拓展——情景變式”這樣的教程設(shè)計(jì)，主要讓學(xué)生領(lǐng)悟幾何圖形世界的樂(lè)趣、變化和本質(zhì)，突破封閉性，打破思維的定式，增強(qiáng)應(yīng)變能力，廓開(kāi)了思域。（2）“解后反思”讓學(xué)生從“會(huì)解題”走向“學(xué)會(huì)解題”，達(dá)到學(xué)生對(duì)幾何圖形的“本質(zhì)理解”，提高學(xué)生元認(rèn)知水平。

啟示：吃透“編路”就是對(duì)教材進(jìn)行深層次的理解和把握。教科書(shū)有其天然的局限性——固定的、統(tǒng)一的，而課堂教學(xué)應(yīng)該是流淌著的河，它是靈動(dòng)的并不斷生成著的。這就需要我們教師“活化教材”“超越教材”，主動(dòng)地去選擇和增添教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，優(yōu)化我們的“教程”，達(dá)到充分為學(xué)生的“學(xué)程”服務(wù)的目的。

三、多向變式，拓展引領(lǐng)“學(xué)程”

設(shè)計(jì)多向變式的目的是增加活動(dòng)途徑的多樣性和活動(dòng)過(guò)程的層次性。每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都包含一個(gè)或一系列變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。知識(shí)體系（概念體系）反映概念或命題的邏輯結(jié)構(gòu)，而經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)（即過(guò)程）則反映學(xué)習(xí)者主觀的問(wèn)題解決的特定經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的豐富性和有效性對(duì)于完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)極為重要。在“學(xué)程規(guī)劃”中，我們要不斷構(gòu)建特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式：（1）改變某一問(wèn)題：改變初始問(wèn)題成為一個(gè)鋪墊，或者通過(guò)改變條件、改變結(jié)論和推廣結(jié)論來(lái)拓展初始問(wèn)題。（2）以同一個(gè)問(wèn)題的不同解決過(guò)程為變式，形成一個(gè)問(wèn)題的多種解決方法，從而聯(lián)結(jié)各種不同的解決方法。（3）同一方法解決多種問(wèn)題，將某種特定的方法用于解決一類(lèi)相似的問(wèn)題。通過(guò)這樣的變式引領(lǐng)下的“學(xué)程規(guī)劃”，讓學(xué)生“從變化中學(xué)會(huì)變化”，就會(huì)使學(xué)生具有很強(qiáng)的應(yīng)變能力和豐富的解決問(wèn)題的策略，更重要的是豐富和完善了學(xué)生“學(xué)程”的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

案例3蘇科版八年級(jí)下冊(cè)“分式方程（3）”

教材呈現(xiàn)：

例3小明買(mǎi)軟面筆記本共用去12元，小麗買(mǎi)硬面筆記本共用去21元，已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買(mǎi)到相同本數(shù)的筆記本嗎？

學(xué)程設(shè)計(jì)（多向變式）：

例題改編：小明買(mǎi)桔子共用去12元，小麗買(mǎi)香蕉共用去21元，已知香蕉的單價(jià)比桔子的單價(jià)貴1.2元/斤，小明和小麗能買(mǎi)到的桔子和香蕉一樣多，求桔子和香蕉的單價(jià)分別是多少元？

變式1（情景變式）：小明買(mǎi)軟面筆記本共用去12元，小麗買(mǎi)硬面筆記本共用去21元，已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買(mǎi)到相同本數(shù)的筆記本嗎？

變式2（條件變式）：題中條件“香蕉的單價(jià)是桔子的單價(jià)的1.5倍”變?yōu)椤皢蝺r(jià)的2倍”，方程如何變化？（多媒體演示）

點(diǎn)評(píng)：（1）例題改編的目的：設(shè)置低起點(diǎn)的問(wèn)題，讓學(xué)生很容易上手，喚醒已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)始終處于最近發(fā)展區(qū)。（2）不斷地將多向變式加以?xún)?yōu)化呈現(xiàn)，采用條件變式、情景變式、逆向變式、創(chuàng)新變式等等，讓學(xué)生充分感受分式方程在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用以及注意點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生再學(xué)習(xí)、再思考、再提升，引導(dǎo)學(xué)生不斷挖掘自身的潛能，提高自身的建模能力。③通過(guò)“編題”的環(huán)節(jié)來(lái)拓寬提升——喚醒創(chuàng)造力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光，提高分析生活世界的能力和意識(shí)。

啟示：在案例3中筆者對(duì)原有的例題進(jìn)行“改造”，通過(guò)“例題變式——情景變式——條件變式——逆向變式——變式拓展——?jiǎng)?chuàng)新變式”這樣層層深入的變式引領(lǐng)，有以下幾個(gè)學(xué)程設(shè)置目的：（1）“授之以魚(yú)”不如“授之以漁”，在不同的變式問(wèn)題學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生明白利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)掌握數(shù)學(xué)思考的一般分析方法；（2）以上問(wèn)題變式，打破了封閉性，不但可以幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)的消極影響，而且也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)問(wèn)題“條件變化”與“方程變化”的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步深化了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；（3）改變靜止、孤立地看問(wèn)題的思維習(xí)慣，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)規(guī)律，形成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的能力，而且更重要的在于這樣的變式引領(lǐng)拉長(zhǎng)了學(xué)生“學(xué)程”，使學(xué)生的學(xué)習(xí)可以循序漸進(jìn)地進(jìn)行，同時(shí)學(xué)生獲得了“多層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)”，為以后其他“學(xué)程”積累了可貴的“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

（作者為江蘇常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)教師，常州市初中自覺(jué)數(shù)學(xué)教育潘建明名師工作室成員）