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    略談“十字相乘法”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

    2016-08-10 10:35:46喻敏
    新課程(下) 2016年4期
    關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式解方程十字

    喻敏

    (重慶市涪陵第一職業(yè)中學(xué)校)

    略談“十字相乘法”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

    喻敏

    (重慶市涪陵第一職業(yè)中學(xué)校)

    在初中數(shù)學(xué)(人教版)八年級(jí)上冊(cè)“整式的乘除和因式分解”一章中有一個(gè)選章內(nèi)容叫“觀察與猜想:x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解”,大家形象地將它稱為“式子相乘法”。在教授這部分內(nèi)容后,發(fā)現(xiàn)在解一元二次方程和解一元二次不等式中也可以用此方法。

    十字相乘法;中學(xué)數(shù)學(xué);一元二次不等式

    一、“十字相乘法”在因式分解中的運(yùn)用

    例1.將下列各多項(xiàng)式分解因式

    (1)x2+7x+12(2)x2-7x+10(3)x3-5x2+6x

    (4)x2+x-12(5)x2-x-2

    分析:(1)題的12可分解為3和4,而3加4剛好等于7,所以此題易分解。

    (2)題中常數(shù)項(xiàng)10可分解為2×5,也可以分解為(-2)×(-5),由于一次項(xiàng)系數(shù)為-7,(-2)加上(-5)剛好為(-7),所以應(yīng)選擇把10分解為(-2)×(-5)。

    (3)題中各項(xiàng)有公因式x,所以先提公因式x,括號(hào)里的項(xiàng)為x2-5x+6,常數(shù)項(xiàng)6為正數(shù),可以分解為(-2)×(-3),(-2)與(-3)的和剛好為-5,于是此題就可解了。

    (4)題的常數(shù)項(xiàng)為-12,-12為-3×4,也可分解為-4×3,結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為1,故選前者。

    雙向互動(dòng)性。許多的公眾號(hào)會(huì)利用這個(gè)優(yōu)勢(shì)與網(wǎng)民互動(dòng),例如“快樂(lè)大本營(yíng)”公眾號(hào),會(huì)在公眾號(hào)中為新電影、新綜藝做宣傳,設(shè)計(jì)部分互動(dòng)環(huán)節(jié)讓網(wǎng)民參與,如用手機(jī)拍攝場(chǎng)景中的動(dòng)作、話語(yǔ)發(fā)布到公眾號(hào)中,即有機(jī)會(huì)贏取獎(jiǎng)勵(lì),還會(huì)定期將網(wǎng)民反饋的問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)一解答。類似的也有在公眾號(hào)頁(yè)面最下方設(shè)計(jì)抓娃娃、猜你喜歡、小票抽獎(jiǎng)、活動(dòng)廣場(chǎng)等互動(dòng)活動(dòng)。這種雙向互動(dòng)性能夠增加網(wǎng)民參與感,吸引網(wǎng)民關(guān)注、提升對(duì)該公眾號(hào)的信任度。

    (5)題中的常數(shù)項(xiàng)為-2,-2=-1×2=1×(-2),由于一次項(xiàng)系數(shù)為-1,所以選擇-2=1×(-2),此題可解。

    例2.把下列各式分解因式

    (1)-x2+9x+10(2)x2+18xy-63y2

    (3)(x+y)2-16(x+y)-36(4)(a2-4a)2-2(a2-4a)-15

    分析:(1)題二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),應(yīng)先將負(fù)號(hào)提出來(lái)后再分解。

    (2)題應(yīng)把它看成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,把y看成常數(shù)。

    (3)(4)題要把(x+y)、(a2-4a)看成一個(gè)整體,即(3)看成是(x+y)的二次三項(xiàng)式,(4)看成是(a2-4a)的二次三項(xiàng)式,然后再分解。

    二、“十字相乘法”在解一元二次方程中的運(yùn)用

    例3.解下列方程

    (1)x2+2x-15=0(2)(x+3)(x-1)=5

    (3)2x2+3x-2=0(4)-x2+3x-2=0

    分析:(1)題的二次項(xiàng)系數(shù)為1,將常數(shù)項(xiàng)-15分解為-3×5或者-5×3,結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為2,應(yīng)把常數(shù)項(xiàng)分解成-3×5,即(x-3)(x+5)。

    (3)題的二次項(xiàng)系數(shù)為2,可分解成x2=2x·x,再將-2分解成2×(-1),結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為3,此題可解。

    (4)題轉(zhuǎn)化為x2-3x+2=0,將2分成(-2)×(-1)即可。

    三、“十字相乘法”在解一元二次不等式中的應(yīng)用

    眾所周知,解一元二次不等式是借助對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),從而確定一元二次不等式的解集,其步驟為:先化二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù),歸結(jié)為ax2+bx+c≥0(a>0)或ax2+bx+c≤0(a>0)的形式,再求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,最后根據(jù)口訣“大于零解集在兩根之外”“小于零解集在兩根之間”來(lái)確定一元二次不等式的解集,那么在求一元二次方程的根時(shí),我們也可以借助“十字相乘法”來(lái)解方程。下面舉例說(shuō)明:

    例4.解下列不等式

    (1)-x2-3x+10≥0(2)14x2-31x+15>0

    (3)3x2-5x+2<0(4)2x2+2x+7<3x2+x+1

    分析:(1)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),再利用“十字相乘法”分解因式求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,最后確定不等式的解集。

    (2)此題中二次項(xiàng)系數(shù)不為1,但可分解為7x與2x的積,常數(shù)項(xiàng)可分解為-3與-5的積,再交叉相乘即可求得和為一次項(xiàng)。

    (3)題中將3x2分解為3x與x的積,常數(shù)項(xiàng)2分解為-2與-1的乘積,再交叉相乘再相加即可得到一次項(xiàng)。

    (4)將此不等式進(jìn)行整理后,得x2-x-6>0,二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)分解為-3與2的積,然后交叉相乘再相加后就得一次項(xiàng)。

    解:(1)原不等式化為x2+3x-10≤0,左邊用“十字相乘法”分解為(x+5)(x-2),解方程(x+5)(x-2)=0,∴x1=-5,x2=2

    (2)解方程14x2-31x+15=0,左邊用“十字相乘法”分解為(7x-5)(2x-3)

    (3)解方程3x2-5x+2<0,左邊用“十字相乘法”分解為(3x-2)(x-1)

    (4)原不等式化為x2-x-6>0,解方程x2-x-6=0,用“十字相乘法”將左邊分解為(x+2)(x-3),即(x+2)(x-3)=0,∴x1=-2,x2=3,故原不等式的解集為。

    以上是我在教學(xué)中的點(diǎn)滴體會(huì),寫(xiě)出來(lái)與大家分享,不足之處,望同行們不吝賜教。

    ·編輯溫雪蓮

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