米絲蕊 李星云

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）明確規(guī)定“圖形與幾何”是小學數(shù)學重要內(nèi)容之一，并分學段提出了小學生應(yīng)達到的學習目標。《標準》對幾何內(nèi)容的定位，凸顯了幾何學習的重要性。幾何學習注重在觀察圖形的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，從而培養(yǎng)學生良好的思維習慣，發(fā)展學生的邏輯思維。探究小學生幾何思維發(fā)展現(xiàn)狀，分析小學生在幾何學習過程中面臨的問題，同時提出相應(yīng)的幾何思維發(fā)展策略，對于發(fā)展小學生的幾何思維具有重要意義。

一、幾何思維的內(nèi)涵

（一）幾何思維的定義

幾何思維作為數(shù)學思維的一種，是眾多學者關(guān)注的對象，但是當前對幾何思維并沒有一個統(tǒng)一的概念界定。有學者認為，幾何思維簡單來看就是指學生在幾何學習活動中的形象思維;[1]還有的學者認為，幾何思維是個體處理抽象幾何問題，發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)定理的一個過程，在這一過程中包含了分析、推理、歸納等多種心智操作，所以幾何思維是一種科學的思維方法。[2]綜合而言，筆者認為，幾何思維是以幾何圖形為符號語言，通過對幾何對象的直接感知來構(gòu)建幾何知識，從而解決幾何問題的思維過程。

（二）幾何思維的主要數(shù)學思想

1.抽象思想

抽象思想不僅包含于代數(shù)思維，也是幾何思維中的主要數(shù)學思想。抽象的核心在于將實物的外部形象通過線條在二維平面上描繪出來。在幾何知識學習中，我們通常用“點”表示“位置”，比如地圖上城市的坐標點;用“線段”表示“路徑”。所以，點是位置的抽象表示，線段是路徑的抽象表示。例如，一張凳子有高度和寬度，這些信息反映在我們的腦海中，便形成了抽象的幾何圖形。

2.分類思想

運用幾何思維解決幾何問題，通常需要進行分類、歸納，因而分類思想也是幾何思維中的主要數(shù)學思想之一。在小學階段，我們常常會遇到分類的問題，如角或三角形的分類。其實，分類的過程就是抽象出事物共性特征的過程。分類首先需要確認分類標準，然后進行辨認，如正方體、圓柱體、球就是類型不同的三種幾何體，而圓、正方形、三角形也是類型不同的三種平面圖形。

3.轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化，就是將復雜問題簡單化，使問題得以解決。一般來說，轉(zhuǎn)化有三個基本要素，即轉(zhuǎn)化的對象、目標和方法。以曹沖稱象的故事為例，轉(zhuǎn)化對象是大象的重量，轉(zhuǎn)化目標是石頭的重量，轉(zhuǎn)化方法是在兩艘船分別裝大象和石頭，使得兩艘船沒入水中的深度一樣，最后稱出石頭的重量，就能得出大象的體重。運用幾何思想解決幾何問題也時常用到轉(zhuǎn)化的思想，如將圓柱體的表面積轉(zhuǎn)化為長方形的面積，將圓錐的體積轉(zhuǎn)化為圓柱的體積等。

4.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是數(shù)學研究中的兩個重要對象，數(shù)形結(jié)合思想作為幾何思維的重要數(shù)學思想，主要通過“以數(shù)解形”的形式來體現(xiàn)。例如，在周長相等的圓、正方形、長方形、三角形中，誰的面積最大？誰的面積最??？僅憑直觀很難判斷，這就需要借助字母公式來計算，得出計算結(jié)果后歸納得出“周長一定的平面圖形中，圓的面積最大”的一般規(guī)律。

（三）幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維的區(qū)別與聯(lián)系

幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維都是學生在解決不同數(shù)學問題過程中需要用到的思維方式。這三種數(shù)學思維方式既有區(qū)別又相互聯(lián)系，區(qū)別主要在三個方面。第一，對象不同。幾何思維的主要對象是幾何圖形;算術(shù)思維的對象主要是數(shù)及數(shù)的運算，且數(shù)是常量;代數(shù)思維的對象主要是代數(shù)式及其運算，且代數(shù)式屬于變量。第二，思維側(cè)重點不同。幾何思維注重對幾何圖形的抽象、轉(zhuǎn)化;算術(shù)思維側(cè)重通過運算得出正確答案;代數(shù)思維側(cè)重對關(guān)系進行符號化。第三，思維過程的特征不同。學生運用幾何思維解決數(shù)學問題時，需要觀察與想象，所以，思維方式帶有發(fā)現(xiàn)性、猜想性;算術(shù)思維則是按照一定的規(guī)則進行運算，整個思維過程帶有程序性;代數(shù)思維則帶有結(jié)構(gòu)性。

幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維看似不同，實則有著緊密的聯(lián)系，表現(xiàn)為：一方面，在解決幾何問題過程中，特別是到了第二學段，學生需要掌握正方體、長方體、圓柱體的表面積及體積的計算方法，在解決這一類幾何問題時需要用到算術(shù)思維與代數(shù)思維;一方面，低年級學生解決加減等運算時，可能需要借助幾何思維，通過想象使問題直觀化，這一過程也是對學生幾何思維的鍛煉。

幾何思維、算術(shù)思維、代數(shù)思維這三者雖然存在區(qū)別，但在一定程度上則是彼此依存，相輔相成，互相促進的。

二、小學生幾何思維發(fā)展水平與特征及在幾何學習中存在的問題

國內(nèi)外已有較多學者對兒童的幾何思維進行了研究，其中荷蘭學者范·希爾夫婦的研究成果最為著名，他們提出了學生幾何思維發(fā)展的五個水平層級。此后，又有學者補充了一個更低的水平層級，即水平層級0。

（一）小學生幾何思維發(fā)展水平與特征

結(jié)合小學生思維發(fā)展特點，小學生幾何思維的發(fā)展主要處于0—3這四個階段，如下表所示。[3]

處于水平層級0的學生能夠區(qū)分直線圖形和曲線圖形，如正方形與圓，但是在區(qū)分長方形與正方形時會存在困難。同時，處于該水平層級的學生在面對給定的一個圖形時，大部分不能重構(gòu)一個與其性質(zhì)相同的圖形，所以，處于這一水平層級的學生的思維需要依賴具體形象;處于水平層級1的學生能夠借助“正方形像方紙巾，長方形像黑板”這樣的認知來區(qū)分正方形與長方形，但這種區(qū)分方式僅限于圖形的形狀，因此，對他們來說，區(qū)分正方形與正方體難度較大，不能清晰地了解圖形的性質(zhì)。大部分一年級學生能夠達到水平層級1。

隨著年齡的增長與所學知識的增加，大部分三年級學生能夠達到水平層級2，能夠依據(jù)“角有一個尖尖的頂點和兩條直直的邊”這一特征來識別角，并對角進行分類，如直角、銳角、鈍角。這一階段的學生在一定程度上弱化了直觀因素，性質(zhì)因素得到強化，但在理解“正方形是特殊的長方形”這一知識點時存在較大難度。學生進入第二學段，部分學生開始達到水平層級3，能夠逐漸理解“正方形是被附加某些性質(zhì)的長方形”，能夠根據(jù)圖形的性質(zhì)對圖形進行分解、組合，如任何一個四邊形可以被分解為兩個三角形。但處于這個水平層級的學生還不能很好地認識到證明、定理的重要性。

可見，小學生幾何思維的發(fā)展具有一定的次序性和階段性，整個思維發(fā)展水平呈螺旋上升趨勢。

（二）小學生幾何學習中存在的問題

范·希爾夫婦提出，學生從一個水平層級進入到下一個水平層級并不完全依賴年歲的增長，主要還在于自身的學習與他人的教導?？梢?，幾何知識的學習對于促進小學生幾何思維的發(fā)展具有重要作用。受認知水平、已有知識經(jīng)驗等因素影響，當前小學生在幾何知識學習中主要存在以下幾個問題。

1.相近概念易混淆

圖形分類是小學幾何知識學習的重點內(nèi)容。學生在理解兩個互不交叉的集合時比較容易，但當兩個集合之間存在交叉，其認知就容易進入誤區(qū)，比如在面對“正方體是特殊的長方體”這一問題時常常產(chǎn)生困惑。因為正方體與長方體各有特點，但正方體具備了長方體的某些特征，所以學生容易混淆，以至于在解決問題時經(jīng)常出錯。

2.動手操作能力較差

小學階段的幾何知識學習不僅要求學生理解相關(guān)的概念、性質(zhì)，而且要求學生掌握基本的畫圖技能。在學習中，學生通?？梢暂^好地理解概念的表層意思，能夠根據(jù)性質(zhì)做出判斷，但在動手操作時容易出現(xiàn)錯誤，這種現(xiàn)象在平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等知識的學習中表現(xiàn)尤為突出，特別是90°旋轉(zhuǎn)的操作最容易出錯。

3.幾何概念過于抽象導致理解困難

學習數(shù)學幾何知識過程中往往會碰到抽象的數(shù)學概念，且在生活中難以找到原型，學生在理解時存在難度。比如學習直線與射線，其“無限延伸”的特性缺乏實際參照，教師也無法提供完整的操作模型，學生的學習主要以現(xiàn)實依托為主。同時，人們常把生活中“直的線”稱作直線，且生活中“直線”的長度有限，這也給學生的理解帶來障礙。此外，直線、射線在紙上只能畫出一部分，學生很容易將其與線段相混淆，加上空間想象力不足，在理解這一類抽象的數(shù)學概念時就更難了。

4.受視覺直觀影響出現(xiàn)認知偏差

受認知方式的影響，小學生在認識圖形過程中習慣依賴視覺直觀，導致觀察出現(xiàn)認知偏差。在學習“認識角”這一內(nèi)容時，大部分學生認為“線越長，角越大;線越短，角越小”。產(chǎn)生這一錯誤認知的主要原因是，學生受視覺直觀影響，導致根據(jù)線的長短判斷角的大小，實則是在判斷圖形的大小。所以，小學生依據(jù)視覺直觀理解幾何知識，容易受視覺直觀的影響而忽略了知識本身的特性。

三、小學生幾何思維的發(fā)展策略

范·希爾夫婦認為，學生需要在教師的正確引導下才能不斷地超越自己已有的認知水平，從而達到新的認知高度，但如果教學中使用的教材內(nèi)容、教學設(shè)計、教學用具均高于學生已有的水平層次，那么學生很難完整地理解教師教授的知識，也不利于學生幾何思維的發(fā)展。因此，在幾何知識教學中，教師可從以下幾個方面培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何思維。

（一）科學測評學生幾何思維所處水平層級，了解學生的差異

幾何知識教學是培養(yǎng)學生幾何思維能力的重要手段。教師在展開教學之前要了解學生個體幾何思維發(fā)展所處的水平層級以及班級學生幾何思維的整體情況，并以此作為教學設(shè)計的依據(jù)，使教學更具針對性。教師可以編制幾何思維測試題，測評學生的幾何思維水平。這種測評可以在同年級進行，也可以在不同學段、不同學校進行，以此確定一個較為合理的評價基準。通過測評，教師可以了解學生的差異，設(shè)計個性化的教學，滿足不同水平層次的學生的學習需求，從而發(fā)展學生的幾何思維。

（二）在教學中滲透幾何思維的培養(yǎng)，激發(fā)學生的思維潛能

1.重視分析，讓思維更清晰

幾何思維是一個包含了分析、推理、歸納等多種心智活動的過程。教師通過分析幾何問題中的隱蔽條件，能夠進一步增強學生幾何思維的清晰度，使學生更好地掌握幾何性質(zhì)。例如，理解“正方體是特殊的長方體”這一難點知識時，教師可以先提出問題，然后引導學生觀察正方體與長方體的特征。學生通過分析發(fā)現(xiàn)，正方體與長方體同樣可以將12條棱分為互相平行的3組，且每組4條棱的長度相等，相對面的面積相等。有的學生會問：正方體6個面均為面積相等的正方形，且12條棱長度相等，但長方體就沒有這些特征。對此，教師可以順勢給出結(jié)論：這恰恰說明正方體符合長方體的特征，所以，它是長方體且是一個特殊的長方體。從而引導學生學會正確地觀察和分析。

2.加強辨析，讓思維更深刻

數(shù)學思維的深刻性是指數(shù)學活動的抽象程度、邏輯水平以及思維活動的深度。它是數(shù)學思維品質(zhì)的重要基礎(chǔ)，影響著一個人思維水平的發(fā)展。幾何思維作為數(shù)學思維的一種，在培養(yǎng)過程中應(yīng)加強學生的辨析能力，通過辨析對幾何圖形進行分類歸納，從而抽象出幾何圖形的本質(zhì)特征。例如，理解平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容時，學生容易混淆，教師要引導學生結(jié)合生活經(jīng)驗對不同的現(xiàn)象進行辨析與歸納，總結(jié)出平移、對稱的本質(zhì)特征，最后形成正確的認知。

3.關(guān)注操作，讓思維可實踐

小學生主要以形象思維為主，很多學生理解幾何知識仍停留在表面，在具體的實踐操作中就會出現(xiàn)各種問題。這就要求教師在教學中不僅要結(jié)合學生的認知水平，采用直觀形象的教學方式，還要關(guān)注學生的實際操作，增強學生幾何思維的可實踐性。例如，理解平移、對稱、旋轉(zhuǎn)這一難點知識，在學生掌握了操作步驟之后，教師再引導學生操作，在操作中不斷發(fā)現(xiàn)問題，并有針對性地解決問題。教師還要通過多次練習，加深學生對幾何作圖操作要領(lǐng)的印象，幫助學生建立相應(yīng)的空間觀念。

4.注重反思，讓思維更嚴密

小學幾何教學主要是通過直觀教學幫助學生獲取幾何知識，發(fā)展幾何思維。小學生對幾何圖形的認知主要通過直觀感受獲得，較少學生能夠進行推理或證明。因為依靠視覺直觀容易出現(xiàn)認知偏差，所以教師要引導學生學會反思，增強學生幾何思維的嚴密度。例如，學習“角的認識”時，有的學生可能僅僅通過視覺直觀便得出“線越長，角越大”的錯誤認知，為此，教師要引導學生反思：真的是線越長角越大嗎？同時給出兩個角度相同，邊長不同的角，讓學生使用三角板測量，從而得出結(jié)論“角的大小與邊的長短沒有關(guān)系”，并由此延伸得出“角是由定點與射線組成，而射線是沒有長度的”這一知識點，幫助學生擺脫由視覺直觀造成的認知偏差。

（三）整合教材內(nèi)容，明確概念與特征

教學應(yīng)源于教材且高于教材，教師要充分地解讀教材、挖掘教材，根據(jù)實際需要創(chuàng)造性地使用教材，解決學生在學習中遇到的困難。以人教版數(shù)學教材四年級下冊“平移與旋轉(zhuǎn)”為例，教材提供了汽車平移的圖片引導學生認識“什么是平移”，有的學生認為“車輪是旋轉(zhuǎn)的，所以車不是平移狀態(tài)”，這主要是由于教材圖例不清晰導致。為此，教師需要為學生提供更適宜學生認知的學習材料，幫助學生正確認識“平移”的相關(guān)知識。在處理教材方面，教師更要明確角、線段、直線、射線等類似概念的特征，避免學生受視覺直觀影響而混淆概念。

綜上所述，幾何思維是數(shù)學思維的組成部分，學生的幾何思維發(fā)展水平如何，對學生的后續(xù)學習將產(chǎn)生直接的影響。因此，教師要深入解讀《標準》對幾何教學及學生幾何思維培養(yǎng)的要求，不斷調(diào)整和完善教學設(shè)計，使之適應(yīng)學生的學習需要。同時，教師要在幫助學生解決幾何難點知識過程中，引導學生學會辨析與質(zhì)疑，促進學生幾何思維的發(fā)展。

參考文獻：

[1]黃紅成.幾何思維能力培養(yǎng)的教學路徑[J].教學與管理，2016（5）：35-37.

[2]張大均.教育心理學[M].北京人民教育出版社，2015：43.

[3]劉曉菲.范·希爾理論在初中幾何教學中的應(yīng)用研究[D].魯東大學，2018：18-23.

[米絲蕊，女，南京師范大學教育科學學院博士研究生;李星云，男，南京師范大學教育科學學院教授、博士生導師]

（責編 歐孔群）