利用引力梯度數(shù)據(jù)計(jì)算徑向梯度的優(yōu)化方法

孟祥超，萬曉云，于錦海，朱永超, 馮　煒

1. 中國科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100049; 2. 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京100094; 3. 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077; 4. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100049

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利用引力梯度數(shù)據(jù)計(jì)算徑向梯度的優(yōu)化方法

孟祥超1，萬曉云2，于錦海1，朱永超1, 馮煒3,4

1. 中國科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100049; 2. 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京100094; 3. 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077; 4. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100049

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41404019; 41274034)；The National High-tech Research and Development Program of China (863 Program) (No.2013AA122502-2)；The Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics (No.SKLGED2014-3-5-E)

摘要：根據(jù)重力梯度觀測各分量的方差及協(xié)方差信息，提出了利用GOCE梯度數(shù)據(jù)計(jì)算徑向重力梯度的優(yōu)化方法。首先給出了徑向重力梯度的計(jì)算方法，并深入分析了誤差傳播規(guī)律，通過建立相應(yīng)的條件極值問題，給出了計(jì)算徑向重力梯度最優(yōu)組合因子的方法；通過模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文所提出的優(yōu)化因子的優(yōu)越性。實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算表明：相對于傳統(tǒng)方法，采用優(yōu)化組合因子可使反演所得引力位模型的累積大地水準(zhǔn)面精度在250階時(shí)提高約2 cm。由于徑向重力梯度不僅可以用于地球引力場模型的求解，也可直接應(yīng)用于地球物理問題的討論，因此本文所提出的優(yōu)化方法也可對部分地球動(dòng)力學(xué)問題的討論提供方便。

關(guān)鍵詞：GOCE; 徑向重力梯度; 優(yōu)化方法；精度

GOCE衛(wèi)星[1]于2009年3月17日發(fā)射升空，2013年11月11日降落，提供的梯度數(shù)據(jù)觀測點(diǎn)數(shù)超過1億。圍繞如何利用該顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)進(jìn)行引力場反演，受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[2-6]，官方也陸續(xù)發(fā)布了10多個(gè)GOCE引力場模型，所采用的方法主要包括直接法、時(shí)域法和空域法[4,7]。

對于GOCE觀測數(shù)據(jù)而言，徑向梯度并不是直接的觀測量，而接近徑向的分量Vzz的精度低于Vxx和Vyy[16]，這就為構(gòu)建關(guān)于徑向梯度的邊界條件時(shí)如何保證其精度提出了挑戰(zhàn)。如何在某種最優(yōu)的條件下給出徑向梯度的計(jì)算方法對處理GOCE實(shí)際數(shù)據(jù)是至關(guān)重要的。

文獻(xiàn)[16]對GOCE的引力梯度觀測值采用新的組合方法，有效提高了Vzz方向分量的精度，并據(jù)此對東京地震所引起的重力變化進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[17]采用同樣的組合[16]對南極冰川的質(zhì)量變化進(jìn)行了討論。由此自然產(chǎn)生了這樣的問題：能否得到徑向梯度Vrr的最優(yōu)組合？此外上述文獻(xiàn)優(yōu)化組合的前提是假設(shè)Vxx、Vyy和Vzz相互獨(dú)立，但沒有給出為何能作此假設(shè)。即便如此，上述文獻(xiàn)所使用的組合方法也并不是最優(yōu)的方法。

本文的目的是研究如何從GOCE梯度數(shù)據(jù)來最優(yōu)地組合出徑向梯度分量Vrr。第1部分是對徑向梯度的計(jì)算方法進(jìn)行介紹，并深入分析其誤差傳播規(guī)律。第2部分是對如何構(gòu)建優(yōu)化組合因子進(jìn)行闡述，并計(jì)算得到有關(guān)因子。第3部分通過模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證上述組合因子的優(yōu)越性，然后通過實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證本文算法；最終對本文所采用的方法及其在GOCE數(shù)據(jù)處理中需要注意的問題進(jìn)行了總結(jié)。

1徑向擾動(dòng)梯度的構(gòu)建

1.1徑向梯度的計(jì)算及其誤差傳播

GOCE觀測的梯度分量在梯度儀觀測坐標(biāo)系下給出，用Vij(ij=xx，yy，zz，xy，xz，yz)表示。為了得到地固坐標(biāo)系下的值，可按下式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

(1)

式中，R為梯度儀坐標(biāo)系和地固坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。由于低頻誤差的存在，且V12、V23精度太差無法使用，上述的坐標(biāo)變換一般基于擾動(dòng)分量來進(jìn)行，即首先計(jì)算出梯度觀測值相對參考值的差異并作低頻濾波處理，然后再進(jìn)行坐標(biāo)變換，其中V12和V23的觀測值由參考引力位計(jì)算值代替。若只考慮徑向擾動(dòng)梯度，現(xiàn)利用各坐標(biāo)軸與地球徑向的夾角，在非全張量觀測的情況下可得到式(2)[15]

Trr=T33cos2α3+T22cos2α2+T11cos2α1+

2T13cosα1cosα3

(2)

(3)

式中

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，可知z方向和地球徑向十分接近，夾角最大值小于1.5°。利用2010年1月1日—2010年3月1日的姿態(tài)觀測數(shù)據(jù)，可得表1。

表1　徑向梯度誤差傳播系數(shù)統(tǒng)計(jì)

δ33=δ13=2δ22=2δ11=2δ0

(4)

第1步，利用FIR向前向后帶通濾波器對原始GOCE梯度數(shù)據(jù)(EGG_NOM2)相對于EIGEN5C前300階次計(jì)算值的差值進(jìn)行帶通濾波處理，濾波通帶為0.005～0.1Hz，原始數(shù)據(jù)的時(shí)間段為2010年1月1日—2010年3月1日，最終得到測量通帶內(nèi)的觀測值。采用帶通濾波器的目的是消除低頻誤差的影響；采用參考引力位的目的是消除趨勢項(xiàng)信息[18]。

第2步，利用濾波后的殘差值計(jì)算出各量之間的相關(guān)系數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。

表2各分量測量帶寬內(nèi)信號相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)

Tab.2Correlation between different components of gravity gradient residuals in MBW

相關(guān)系數(shù)T11T22T33T13T11 1.0000 0.0708-0.1394 0.0055T220.07081.0000-0.1128-0.0039T33-0.1394-0.11281.0000-0.0098T130.0055-0.00390.00671.0000

1.2最優(yōu)組合因子的選取

由以上分析可知，T33的精度直接影響著Trr的計(jì)算精度。在獨(dú)立分布的前提下，文獻(xiàn)[16]采用下式來重新計(jì)算得到T33

(5)

這使得T33,c的精度相比于T33提高了1.64倍，誤差降低了40%[17]。這也將導(dǎo)致Trr精度的提升。事實(shí)上，該種組合并不是最優(yōu)的組合。本文通過建立如下的極值問題來找出最優(yōu)的比例因子

(6)

其解為

(7)

(8)

T11cos2α1+2T13cosα1cosα3

(9)

2算例

為了驗(yàn)證上節(jié)結(jié)論，現(xiàn)通過建立如下的邊值問題來進(jìn)行討論

(10)

式中，f由式(9)計(jì)算得到。該邊值問題的求解可參見文獻(xiàn)[15]

(11)

2.1模擬數(shù)據(jù)分析

首先利用EGM08模型[22]前250階完整階次在GOCE衛(wèi)星的平均軌道高度上按經(jīng)緯度25′×25′等間隔模擬出梯度張量六分量，坐標(biāo)系選為地方指北坐標(biāo)系，將上述模擬值作為觀測值；然后按正態(tài)分布模擬隨機(jī)噪聲，各分量噪聲均值為0，方差相對比例同式(4)，其中δ0為1mE。最后構(gòu)建如式(10)所示的邊值問題進(jìn)行引力場恢復(fù)，參考引力位為EIGEN5C。圖1給出了最終結(jié)果同引力位EGM08模型的階方差，可視為真誤差。

圖1中所有結(jié)果是直接計(jì)算得到的結(jié)果而未作迭代計(jì)算，Variance_noerror表示不添加誤差利用Tzz恢復(fù)得到的引力位模型的誤差階方差；Variance_adderror表示添加誤差后直接利用Tzz恢復(fù)得到的引力位模型的誤差階方差；Variance_com表示添加誤差后利用本文所提出的組合因子重新計(jì)算Tzz，然后利用新的Tzz恢復(fù)得到的引力位模型的誤差階方差。由該圖可知，由于觀測誤差的存在，引力位模型恢復(fù)的精度下降明顯；采用組合算法的結(jié)果相對于不采用組合算法，精度有明顯提升。

2.2實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果分析

本節(jié)主要采用實(shí)際的GOCE引力梯度數(shù)據(jù)來驗(yàn)證本文所述方法的優(yōu)越性。如前所述，原始的梯度數(shù)據(jù)含有大量級的低頻誤差，必須首先對其進(jìn)行處理。本文采用FIR帶通濾波器進(jìn)行零相位濾波[23]來處理低頻噪聲，參考引力位為EIGEN5C前300階；接著采用本文所述的優(yōu)化方法來重新計(jì)算梯度坐標(biāo)系下的Tzz，并進(jìn)一步得到Trr；然后對其數(shù)據(jù)進(jìn)行格網(wǎng)化，方法采用反距離加權(quán)算法[24-25]；最終通過解算如式(10)所述的邊值問題計(jì)算得到引力位模型。該計(jì)算所采用的梯度數(shù)據(jù)為GOCE衛(wèi)星Level 2所提供的EGG_NOM2，軌道數(shù)據(jù)由SST_PSO_2提供，時(shí)間段為2009年11月1日—2012年8月1日。

論文采用兩種方法來恢復(fù)得到引力位，第1種是對濾波后的擾動(dòng)梯度數(shù)據(jù)直接進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到地方指北坐標(biāo)系下的徑向引力梯度數(shù)據(jù)，然后通過求解邊值問題得到引力位模型，結(jié)果令為EGMQLSTTrr，可視為傳統(tǒng)方法；第2種方法是通過論文提出的優(yōu)化組合因子得到Tzz,并進(jìn)一步地得到Trr，然后通過求解邊值問題得到引力位模型，結(jié)果令為EGMQLSTTrrCom。為了對模型的精度進(jìn)行評估，現(xiàn)選用兩個(gè)引力位模型進(jìn)行對比分析：一是EGM08模型，該模型的研制采用了多種類型的觀測數(shù)據(jù)，是當(dāng)前精度最高的引力位模型之一；另外一個(gè)模型是EGMD4，該模型是官方利用直接法恢復(fù)得到的第4組GOCE引力場模型，所采用數(shù)據(jù)的時(shí)段為2009年11月1日—2012年8月1日，與本文所采用數(shù)據(jù)的時(shí)間段相同。圖2、圖3分別給出了引力位模型EGMQLSTTrr、EGMQLSTTrrCom相對于EGM08模型的階方差和大地水準(zhǔn)面累積差異信息；圖4、圖5則分別給出了引力位模型EGMQLSTTrr、EGMQLSTTrrCom相對于EGMD4模型的階方差和大地水準(zhǔn)面累積差異信息。

圖1　誤差階方差Fig.1　Degree variations to EGM08

若將EGM08模型看作真值，由圖2(a)可知，EGMQLSTTrrCOM的有效階數(shù)超過250階，優(yōu)于EGMQLSTTrr；由圖2(b)可知，相對于參考引力位模型EIGEN5C，EGMQLSTTrr在100～210階精度有明顯改進(jìn)，EGMQLSTTrrCom則在100～220階有明顯改進(jìn)，而在190～260之間的階數(shù)，EGMQLSTTrrCom精度明顯高于EGMQLSTTrr。由圖3可知，在200階時(shí)，EGMQLSTTrr、EGMQLSTTrrCom大地水準(zhǔn)面的精度優(yōu)于EIGEN5C大約4cm，而在200階以后，EGMQLSTTrrCom精度明顯優(yōu)于EGMQLSTTrr，在250階時(shí)，前者優(yōu)于后者2cm，在260階時(shí)大約優(yōu)于3.5cm。由于采用了相同的觀測數(shù)據(jù)，因此上述結(jié)果表明采用本文所提出的優(yōu)化因子能夠提高GOCE數(shù)據(jù)處理的精度，特別是對于引力場模型高階項(xiàng)恢復(fù)的精度。

圖2　與EGM08的差異階方差Fig.2　Degree variance differences between EIGEN5C, EGMQLSTTrr, EGMQLSTTrrCom and EGM08

若將官方所發(fā)布的模型EGMD4看作真值，由圖4可知,EGMQLSTTrr、EGMQLSTTrrCom在階數(shù)80～230明顯優(yōu)于參考引力位模型EIGEN5C。若按大地水準(zhǔn)面的精度，根據(jù)圖5可知，在200階時(shí)EGMQLSTTrr、EGMQLSTTrrCom精度相當(dāng)，優(yōu)于EIGEN5C大約7cm；從180階開始，EGMQLSTTrrCom逐漸優(yōu)于EGMQLSTTrr，在250階時(shí)精度可高約2cm，而在260階時(shí)，精度可高約近4cm。上述結(jié)果與圖2、圖3的結(jié)果一致，均顯示了采用優(yōu)化因子計(jì)算徑向梯度的優(yōu)越性。

圖3　與EGM08大地水準(zhǔn)面累積差異Fig.3　Cumulative geoid differences between EIGEN5C, EGMQLSTTrr, EGMQLSTTrrCom and EGM08

圖4　與EGMD4的差異階方差Fig.4　Degree variance differences between EIGEN5C, EGMQLSTTrr, EGMQLSTTrrCom and EGMD4

圖5　與EGMD4的累積大地水準(zhǔn)面差異Fig.5　Cumulative geoid differences between EIGEN5C, EGMQLSTTrr, EGMQLSTTrrCom and EGMD4

3結(jié)論

本文從引力梯度張量觀測誤差及協(xié)方差統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，建立了計(jì)算徑向梯度的優(yōu)化方法。通過模擬數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該算法能明顯地改善徑向梯度相應(yīng)的邊界條件。

采用本文所給出的優(yōu)化方法處理GOCE實(shí)際數(shù)據(jù)，得到了相應(yīng)的重力場模型。與不采用優(yōu)化方法所得的模型相比，優(yōu)化處理后的模型在計(jì)算大地水準(zhǔn)面時(shí)(至250階)精度可提高約2cm。

本文方法的前提是已知各分量的方差信息和協(xié)方差信息，而這往往是比較困難的。事實(shí)上，本文所需要知道的并不是各分量方差和協(xié)方差分量的絕對量值，而是各量的相對比例。本文采用的是文獻(xiàn)[16]所給出的方差相對比例值(用式(4)表示)，實(shí)際上也可通過迭代計(jì)算[26]，利用驗(yàn)后方差分量估計(jì)來得到各分量的方差和協(xié)方差信息。

最后關(guān)于GOCE引力梯度觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行一些說明。由于引力梯度數(shù)據(jù)在低頻部分是不準(zhǔn)確的，因此如何處理引力梯度數(shù)據(jù)的低頻部分是很重要的課題，多篇文獻(xiàn)對此進(jìn)行了討論與研究[23, 27]。若能夠有效結(jié)合GOCE低頻誤差的處理方法和本文所述的優(yōu)化方法，則可更好地提高GOCE梯度數(shù)據(jù)處理的精度?？傊捎趶较蛱荻染哂胸S富的地球物理意義，因此本文的工作不僅能有助于提高GOCE重力場模型的恢復(fù)精度，而且對許多地球物理問題的研究也會(huì)有一定的幫助。

致謝：感謝歐空局提供GOCE梯度數(shù)據(jù)。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

修回日期： 2016-04-15

First author： MENG Xiangchao (1988—), male, PhD candidate, majors in GOCE gravity data processing and analysis.

E-mail： mxc20061115@163.com

E-mail： wxy191954@126.com

中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號：1001-1595(2016)07-0775-07

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(41404019；41274034)；國家863計(jì)劃(2013AA122502-2)；大地測量與地球動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(SKLGED2014-3-5-E)

收稿日期：2016-01-13

第一作者簡介：孟祥超(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)镚OCE衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)處理與分析。

通信作者：萬曉云

Corresponding author：WAN Xiaoyun

Optimization Method for Computing Radial Gravity Gradient Using Gravity Gradient Observations

MENG Xiangchao1,WAN Xiaoyun2,YU Jinhai1,ZHU Yongchao1,FENG Wei3,4

1. Key Laboratory of Computational Geodynamics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 2. Qian Xuesen Laboratory of Space Technology, Beijing 100094, China; 3. Institute of Geodesy and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430077, China; 4. Beijing Satellite Navigation Center, Beijing 100049, China

Abstract：This paper proposes an optimization method for computing the radial gravity gradient by using GOCE gradient measurements, based on the variance-covariance information of gradient observations. The approach for computing the gravity gradient and the error propagation are firstly discussed; and then by solving a conditional extremum problem, we can get an optimal combination factor which can improve the calculation accuracy for the radial gravity gradient. The advantage of the combination factor is validated by simulation data. In actual data processing, the geoid accuracy truncated to degree 250 can be improved by 2 cm by using the optimization method. The radial gravity gradient can not only be used in recovering a gravity field model, but also can be used in kinds of geophysical interpretation, so the method provided in the paper can be helpful in the related researches.

Key words：GOCE; radial gravity gradient; optimization method; accuracy

引文格式：孟祥超, 萬曉云，于錦海，等.利用引力梯度數(shù)據(jù)計(jì)算徑向梯度的優(yōu)化方法[J].測繪學(xué)報(bào)，2016,45(7)：775-781. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160007.

MENG Xiangchao, WAN Xiaoyun,YU Jinhai,et al.Optimization Method for Computing Radial Gravity Gradient Using Gravity Gradient Observations[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(7):775-781. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160007.