Euler-Lagrange型三次泛函方程的穩(wěn)定性問題

成立花

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安　710048)

?

Euler-Lagrange型三次泛函方程的穩(wěn)定性問題

成立花

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安710048)

摘要:首先給出Banach空間中Euler-Lagrange 型三次泛函方程的一種新表示方法f(x+y-2z)+f(y+z-2x)+f(z+x-2y)+6f(x+y+z)=9[f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)]-18[f(x)+f(y)+f(z)];其次證明6個泛函方程的等價性問題;最后利用不動點的擇一性研究了Euler-Lagrange型三次泛函方程的存在性和穩(wěn)定性問題.

關(guān)鍵詞:廣義Hyers-Ulam-Rassias 穩(wěn)定性；不動點的擇一性；三次泛函方程

泛函方程的穩(wěn)定性問題源自Ulam[1]:“近似泛函方程的附近是否有真正的泛函方程?”.1941年,Hyers[2]解決了Banach空間上可加映射的穩(wěn)定性問題;1978年, Rassias[3]給出了線性映射在Banach空間的穩(wěn)定性問題;在接下來的幾十年里,許多數(shù)學(xué)家對各種不同的泛函方程的不同穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)的研究,例如指數(shù)方程、二次泛函方程、三次泛函方程以及廣義可加的泛函方程等[4-8],以及多種不同的穩(wěn)定性問題[5-9].Jun等[5]在文章中介紹了如下的三次泛函方程及其穩(wěn)定性問題

(1)

Park等[6]又引入了另一種形式的三次方程

(2)

Abbas等[7]介紹了下面的Euler-Lagrange型立方泛函方程

(3)

容易看出,(3)是(1)、(2)的推廣.

2007年, Checkǎdariu等[8]概括性地給出了n次泛函方程的表達式

(4)

隨后, Abbas等[9]又介紹了如下的三次泛函方程

3f(x+3y)+f(3x-y)=15f(x+y)+15f(x-y)+80f(x).

(5)

并且給出上述泛函方程的廣義Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性.其后,Jun等[10]證明了泛函方程(1)，(2)和(3)是等價的.其后,眾多的研究者考慮借助不動點定理來證明各種泛函方程的穩(wěn)定性[11-16]. 在前人研究的基礎(chǔ)上,論文將提出以下具有輪換對稱性的三次立方泛函方程

f(x+y-2z)+f(y+z-2x)+f(z+x-2y)=

(6)

首先,將統(tǒng)一參考文獻中關(guān)于三次泛函方程的描述,證明上述的6個泛函方程的等價性問題;其次,使用不動點的擇一性給出方程(1)的Euler-Lagrange型三次泛函方程的穩(wěn)定性問題.

1方程(1)～(6)的等價性問題

假設(shè)X,Y都是實向量空間,以下證明泛函方程(1)～(6)的等價性問題.

定理1設(shè)X,Y均為實向量空間,設(shè)映射f:X→Y,則以下結(jié)論等價

(i)f滿足泛函方程(2).

(ii)f滿足泛函方程(4).

(iii)f滿足泛函方程(5).

(iv)f滿足泛函方程(6).

(v) 存在函數(shù)B:X×X×X→Y,使得對于所有的x∈X,有f=B(X,X,X).且有當(dāng)固定一個變量時函數(shù)B具有對稱性,當(dāng)固定兩個變量時函數(shù)B具有可加性.

證明除(4)外,其他泛函方程都容易驗證以下的性質(zhì):f(-x)=-f(x),x∈X,以及f(2x)=8f(x),3f(3x)=81f(x),f(ax)=a3f(x),a∈Z.以下證明上述結(jié)論間的等價性

(iv)?(i).在(6)中令(x,y,z)=(x,y,-y),有

(7)

在(7)中令x=3x,得到

(8)

再利用泛函方程f的性質(zhì):f(ax)=a3f(x),整理得到

(9)

泛函方程兩邊同除以常值9,并整理可得到泛函方程(2).

(i)?(iv).假設(shè)映射f:X→Y滿足(2),由于文[10]中證明了(1),(2)和(3)的等價性,于是,在(1)中分別令(x,y)=(x+y,2z),(y+z,2x),(z+x,2y),可得到以下泛函方程

(10)

(11)

(12)

再在(1)中分別令(x,y)=(x,y+z),(y,z+x),(z,x+y),得到以下泛函方程

f(2x+y+z)+f(2x-y-z)=2f(x+y+z)+2f(x-y-z)-12f(x),

(13)

f(2y+z+x)+f(2y-z-x)=2f(y+z+x)+2f(y-z-x)-12f(y),

(14)

f(2z+x+y)+f(2z-x-y)=2f(z+x+y)+2f(z-x-y)-12f(z).

(15)

最后,在(2)中令(x,y)=(x+y,3z),在(1)中分別令(x,y)=(z,x+y+z),(x+y-z,2z),得到以下泛函方程

f(3z+x+y)+f(z-x-y)=2f(2z+x+y)-2f(x+y)+12f(z),

整理得到

(16)

在(15)中分別令(x,y,z)=(y,z,x),(z,x,y),可以得到另外的兩個泛函方程

f(y+z+2x)+2f(y+z-2x)=5f(y+z+x)+7f(y+z-x)-6f(x)-9f(y+z),

(17)

(18)

在上述泛函方程(10)～(18)中消去f(x+y+2z),f(z+x+2y),f(y+z+2x),f(y+z-x),f(x+y-z),f(z+x-y),即可得到泛函方程(6).

(i)?(iii).在方程(2)中用3y代替y,可得

然后交換變量x,y得f(3x+y)-f(3x-y)=9f(x+y)-9f(x-y)-16f(y).將上式和式(2)相加,有

(19)

分別在上式中令(x,y)為 (y,x)和(x,-y),有

(20)

(21)

(20)式左右兩側(cè)同時乘以常數(shù)3, 然后再相加上(21)式即得方程(5).

(iii)?(i).在(5)中分別用 (y,x)和(x,-y)去替換(x,y),得到

3f(x+3y)-f(x-3y)=15f(x+y)-15f(x-y)+80f(x),

(22)

3f(x-3y)-f(x+3y)=15f(x-y)+15f(x+y)+80f(x).

(23)

整理可得到(19).在(19)中,用-y去替代y,有(21), 與(19) 相加即得方程(2).

(i)?(ii).在方程(19)中令y=-x-y, 結(jié)合(1),有

(24)

(19)加上(24)的-3倍, 有

(ii)?(i).在方程(4)中令y=-2x+y,有

(25)

再次在(25)中令y=-x, 整理即得方程(1). 由于(1)、(2)和(3)的等價性,定理得證.

2方程(1)的穩(wěn)定性問題

下面利用不動點定理給出三次泛函方程(1)的穩(wěn)定性問題.

定理2[10]假設(shè)(Ω,d)為一個完備的廣義度量空間,T:Ω→Ω是一個具有利普希茨常數(shù)L的嚴格壓縮映射,對于任意的x∈Ω,下列之一成立

(1) ?n≥0,d(Tnx,Tn+1x)=∞.

(2) 存在n0∈N,使得當(dāng)n>n0時,d(Tnx,Tn+1x)<∞,且有

(a) 序列{Tnx}收斂于T的不動點y*;

(b)y*是集合Δ={y∈Ω:d(Tn0,x)<∞}中的關(guān)于映射T的唯一不動點;

設(shè)X,Y均為Banach空間,對于映射f:X→Y,?x,y∈X,令

則有定理3成立.

定理3設(shè)映射f:X→Y滿足f(0)=0,映射φ:X×X→(0,+∞)滿足

(26)

且有

(27)

如果存在0≤L<1, 使得

(28)

那么存在唯一的三次映射V:X→Y滿足

(29)

證明考慮集合Ω={g:X→Y|g(0)=0},并引入Ω上的廣義度量

d(g,h)=inf{K∈(0,+∞]:‖g(x)-h(x)‖≤Kφ(x,0),?x∈X}.

(30)

于是由定理2知,在Ω中存在算子T的不動點V,使得

因此,對于任意的ε>0,?N>0,使得當(dāng)n≥N時,有d(Tnf,V)<ε.所以,有

因而

(31)

在(27)中,分別令x=2nx,y=2ny,且兩邊同除以常值23n,則由(30)和(31),有

下證唯一性:設(shè)V1:X→Y是另外一個的三次映射,且滿足條件

顯然,TV1=V1,且V1∈Δ:={g∈Ω|d(f,g)<+∞}.由定理2知:V是T在集合Δ中的唯一的不動點.所以有V1=V.

類似定理3可證明定理4.

定理4設(shè)映射f:X→Y滿足f(0)=0,且有

(32)

如果存在0≤L<1, 使得

(33)

且φ:X×X→(0,+∞)滿足

那么存在唯一的三次映射V:X→Y滿足

(34)

由以上定理3、4,可得到推論1～4.

推論1設(shè)s={1,-1}, 映射f:X→Y滿足f(0)=0,且有

如果存在0≤L<1, 使得

推論2設(shè)X是實賦范空間,0

則存在唯一的三次映射V:X→Y滿足

證明設(shè)φ(x,y)=δ+ε‖x‖p+θ‖y‖q,?x∈X.有

推論3設(shè)δ,p,q都是非負實數(shù),且滿足p+q∈(0,3),假設(shè)對于任意的x,y∈X,映射f:X→Y滿足‖(Df)‖≤δ‖x‖p‖y‖q,則映射f是三次立方泛函方程.特別地,當(dāng)固定變量x時,假若映射T:R→Y是連續(xù)的,則對于任意的t∈R,x∈X,有T(tx)=t3T(x).

假設(shè)f為從空間X到空間Y的映射,對于非負整數(shù)m,定義如下映射

證明在泛函方程(1)中分別令y=y+x和y=y-x,則可以分別得到兩個不等式

兩個不等式相加即有如下的不等式

于是有

假設(shè)‖(Dfm-1)‖≤δm-2,‖(Dfm)‖≤δm-1.類似由上面的分析,有

因此,有

參考文獻：

[1]ULAM S M. A collection of mathematical problems[M].New York: Interscience Publishers, 1960.

[2]HYERS D H. On the stability of the linear functional equation[J]. Proc Nat Acad Sci (USA), 1941, 27 (4): 222-224.

[3]RASSIAS T M. On the stability of the linear mapping in Banach[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1978, 72 (2): 297-300.

[4]BADORA R. On approximate ring homomorphisms[J]. J Math Anal Appl, 2002, 276: 589-597.

[5]JUN K, KIM H. The generalized Hyers-Ulam-Rassias stability of a cubic functional equation[J]. J Math Anal Appl, 2002, 274: 867-878.

[6]PARK K H, JUNG Y S. Stability of a cubic functional equation on groups[J]. Bull Korean Math Soc, 2004, 41 (2): 347-357.

[7]ABBAS N, MORADLOU F. Stability of an Euler-Lagrange type cubic functional equation[J]. Bull Korean Math Soc Turk J Math, 2009, 33 (1): 65-73.

[9]ABBAS N. Hyers-Ulam-Rassias stability of a cubic functional equation[J]. Bull Korean Math Soc, 2007, 44 (4): 825-840.

[10]JUN K H, CHANG I. On the Hyers-Ulam-Rassias stability of an Euler-Lagrange type cubic functional equation[J]. J Compur Anal Appl, 2005, 7 (1): 21-33.

[11]RASSIAS J M, KIM H M. Generalized Hyers-Ulam stability for additive functional equations in quasi-beta-normed spaces[J]. J Math Anal Appl, 2009, 356 (1): 302-309.

[12]TOBER J. Stability of cauchy functional equation in quasi-Banach spaces[J]. Ann Polon Math, 2004, 83: 243-255.

[13]ESKANDANI G Z, GAVRUTA P. Hyers-Ulam-Rassias stability of Pexiderized Cauchy functional equation in 2-Banach spaces[J]. J Nonlinear Sci Appl, 2012, 5: 459-465.

[14]YOUSSEF M, ELHOUCIEN E, RASSIAS T M. Hyers-Ulam stability of the Jensen functional equation in quasi-Banach spaces[J]. Nonl Func Anal Appl, 2010, 15 (4): 581-603.

[15]PARK C. Fixed points and stability of an AQCQ-functional equation in non-archimedean normed space[J]. Abstract and Applied Analysis, 2010 (1): 1-15.

[16]RAVI K, KODANDAN R. Stability of additive and quadratic functional equation in non-Archimedean spaces[J]. International Review of Pure and Applied Mathematics, 2010, 6 (1): 149-160.

(責(zé)任編輯朱夜明)

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.04.002

收稿日期：2015-07-03

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11101323)；陜西省科技廳自然科學(xué)基金資助項目(2016JQ1029)

作者簡介：成立花(1973-),女,陜西西安人,西安工程大學(xué)副教授．

中圖分類號：O175.25

文獻標志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)04-0006-06

Stability of the Euler-Lagrange type cubic functional equation

CHENG Lihua

(College of Science,Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract:Firstly, the new Euler-Lagrange type cubic functional equation f(x+y-2z)+f(y+z-2x)+f(z+x-2y)+6f(x+y+z)=9[f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)]-18[f(x)+f(y)+f(z)] in Banach spaces was investigated. Secondly, equivalence of six functional equations was discussed. Lastly, by using the fixed pointed alternative, the general solution to the above functional equation was given and the stability of cubic functional equation was proved.

Keywords:generalized Hyers-Ulam-Rassias stability; fixed pointed alternative; cubic functional equation