BL-代數(shù)的(∈,∈∨q)-模糊理想

楊永偉,賀鵬飛,辛小龍

(1.安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽(yáng)　455000; 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安　710127)

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BL-代數(shù)的(∈,∈∨q)-模糊理想

楊永偉1,2,賀鵬飛2,辛小龍2

(1.安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽(yáng)455000; 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安710127)

摘要:在BL-代數(shù)中引入了(∈,∈∨q)-模糊理想的概念, 給出了(∈,∈∨q)-模糊理想的性質(zhì)和等價(jià)刻畫； 然后, 通過(guò)模糊積和模糊上集概念的引入, 給出了(∈,∈∨q)-模糊理想的一個(gè)新的等價(jià)刻畫； 最后, 在模糊陪集的基礎(chǔ)上構(gòu)造了商BL-代數(shù).

關(guān)鍵詞:BL-代數(shù);模糊集;(∈,∈∨q)-模糊理想;模糊積;模糊上集

BL-代數(shù)是Hájek[1]在1998年提出的與基于連續(xù)三角模的Basic Logic相對(duì)應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu). 濾子和理想理論作為研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)和邏輯系統(tǒng)的有效工具[2-3], 對(duì)于BL-代數(shù)的理論研究起著重要的作用[4-6]. Liu等[7]將模糊集理論[8]應(yīng)用到BL-代數(shù)中引入了模糊濾子的概念, 使得BL-代數(shù)在模糊化方面得到了迅速發(fā)展[9-10]. 利用模糊點(diǎn)與模糊子集“屬于”和“擬重于”的概念, 相關(guān)文獻(xiàn)提出并研究了(∈,∈∨q)-模糊濾子等概念[11-14], 使得BL-代數(shù)在模糊化方面的研究進(jìn)入了一個(gè)新階段. BL-代數(shù)由于缺少合適的加運(yùn)算使其理想理論的研究受到了一定的限制, 為了解決這一問(wèn)題, Lele等[15]通過(guò)偽加運(yùn)算給出了理想的概念, 并獲得一些重要的結(jié)果. 在BL-代數(shù)上,筆者將模糊點(diǎn)與模糊子集“屬于”和“擬重于”的概念應(yīng)用到理想理論中, 引入并討論了(∈,∈∨q)-模糊理想, 然后給出了(∈,∈∨q)-模糊理想的性質(zhì)和等價(jià)刻畫.同時(shí),還引入了模糊積和模糊上集的概念, 并借助它們給出了(∈,∈∨q)-模糊理想的一個(gè)等價(jià)刻畫. 最后, 通過(guò)模糊陪集的構(gòu)造, 給出了商BL-代數(shù)的概念.

1預(yù)備知識(shí)

定義1[1]一個(gè)(2,2,2,2,0,0)型的代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∧,∨,?,→,0,1)稱為BL-代數(shù), 若它滿足以下條件: ?x,y,z∈L,(BL-1) (L,∧,∨,0,1)是有界格,有

(BL-2) (L,?,1)是可換幺半群;

(BL-3)x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z;

(BL-4)x?(x→y)=x∧y;

(BL-5) (x→y)∨(y→x)=1.

在接下來(lái)的討論中, 若無(wú)特殊聲明,L始終表示一個(gè)BL-代數(shù).

引理1[1,4-6]若(L,∧,∨,?,→,0,1)是BL-代數(shù), 則?x,y,z∈L,有

(2)x?(x→y)≤y,x?y≤x∧y,x≤y→x, 1→x=x,x→1=1;

(3)x→(y→z)=(x?y)→z=y→(x→z), (x→y)→(x→z)≤x→(y→z);

(4) 若x≤y, 則x?z≤y?z,y→z≤x→z和z→x≤z→y;

Lele和Nganou在L上定義偽加運(yùn)算x其中:x,y∈L,給出了理想的定義.

定義2[15]設(shè)I是L的一個(gè)非空子集. 若I滿足條件: ?x,y∈L,有

(i)x,y∈I蘊(yùn)含xy∈I;

(ii)x≤y和y∈I蘊(yùn)含x∈I, 則稱I為L(zhǎng)的理想.

定義3[8]設(shè)f是非空集合X到單位閉區(qū)間[0,1]的映射, 即f:X→[0,1], 則稱f是X上的一個(gè)模糊集. 記X上的所有模糊集構(gòu)成的集合為F(X).

定義5[16]設(shè)f∈F(L), 若f滿足條件: ?x,y∈L, (1)f(xy)≥f(x)∧f(y); (2)x≤y蘊(yùn)含f(x)≥f(y), 則稱f是L的模糊理想.

定理1[17]設(shè)f∈F(L), 則f是L的模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈L, (1)f(0)≥f(x); (2)f(x)≥f(y)∧f(xy).

2(∈,∈∨q)-模糊理想

定義6設(shè)f∈F(L). 稱f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想, 若f滿足下列條件: ?x,y∈L,s,t∈[0,1],有

(I1) 若xs∈f,yt∈f, 則(xy)s∧t∈∨qf;

(I2) 若x≤y,yt∈f, 則xt∈∨qf.

定理2設(shè)f∈F(L), 則f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈L,有

(F1)f(xy)≥f(x)∧f(y)∧0.5;

(F2) 若x≤y, 則f(x)≥f(y)∧0.5.

證明(必要性) 設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. 首先證明(I1)? (F1). 假設(shè)存在x,y∈L，使得f(xy)

(充分性) (F1)? (I1). 設(shè)x,y∈L,s,t∈[0,1]. 若xs∈f,yt∈f, 則f(x)≥s,f(y)≥t. 根據(jù)(F1),有f(xy)≥f(x)∧f(y)∧0.5≥s∧t∧0.5. 當(dāng)s∧t>0.5時(shí),有f(xy)≥0.5, 故f(xy)+(s∧t)>1. 當(dāng)s∧t≤0.5時(shí), 則有f(xy)≥s∧t. 因此, (xy)s∧t∈∨qf.

(F2)? (I2). 設(shè)t∈[0,1],x,y∈L且x≤y. 若yt∈f, 則f(y)≥t. 由(F2)知,f(x)≥f(y)∧0.5. 當(dāng)t>0.5時(shí), 則f(x)≥0.5, 從而f(x)+t>1. 當(dāng)t≤0.5時(shí), 則f(x)≥t, 因此,xt∈∨qf. 故f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

定理3設(shè)f∈F(L), 則f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)?t∈(0,0.5],L(f,t)(≠?)是L的理想.

證明(必要性) 設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. ?t∈(0,0.5], 若L(f,t)非空, 則對(duì)任意的x,y∈L(f,t), 有f(x)≥t,f(y)≥t, 即xt∈f,yt∈f. 由(F1)知,f(xy)≥f(x)∧f(y)∧0.5≥t∧t∧0.5=t, 因此,xy∈L(f,t). 設(shè)x,y∈L且x≤y. 若y∈L(f,t), 則f(y)≥t, 即yt∈f. 因?yàn)閒(x)≥f(y)∧0.5≥t∧0.5=t, 所以x∈L(f,t). 根據(jù)定義2知,L(f,t)是L的理想.

(充分性) ?t∈(0,0.5], 設(shè)L(f,t)(≠?)是L的理想. ?x,y∈L, 記t0=f(x)∧f(y)∧0.5, 則x∈L(f,t0),y∈L(f,t0). 因此,xy∈L(f,t0), 即f(xy)≥t0=f(x)∧f(y)∧0.5. 設(shè)x,y∈L且x≤y. 記s0=f(y)∧0.5, 則y∈L(f,s0). 根據(jù)定義2知,x∈L(f,s0), 故f(x)≥s0=f(y)∧0.5. 因此,f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

定理4設(shè)f∈F(L), 則?t∈(0.5,1],L(f,t)(≠?)是L的理想當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈L,有

(1)f(xy)∨0.5≥f(x)∧f(y);

(2) 若x≤y, 則f(x)∨0.5≥f(y).

證明(必要性) ?t∈(0.5,1], 設(shè)L(f,t)(≠?)是L的理想. 假設(shè)存在x,y∈L，使得f(xy)∨0.5

(充分性) 設(shè)條件(1)和(2)成立. 任取t∈(0.5,1], 若L(f,t)非空. 對(duì)任意的x,y∈L(f,t), 則0.5

定理5設(shè)f∈F(L), 則f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)f滿足下列條件: ?x,y∈L,有

(1)f(0)≥f(x)∧0.5;

(2)f(x)≥f(y)∧f(xy)∧0.5.

證明(必要性) 設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. ?x,y∈L, 則x≤y(xy). 由定理2知,f(x)≥f(y(xy))∧0.5≥f(y)∧f(xy)∧0.5. ?x∈L, 因?yàn)?≤x, 所以,f(0)≥f(x)∧0.5.

(充分性) 設(shè)x,y∈L. 若x≤y, 則xy=0, 故f(x)≥f(y)∧f(xy)∧0.5=f(y)∧f(0)∧0.5=f(y)∧0.5.由于(xy)x≤y, 則f((xy)x)≥f(y)∧0.5. 又因?yàn)閒(xy)≥f(x)∧f((xy)x)∧0.5≥f(x)∧f(y)∧0.5, 所以f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

定理6設(shè)f∈F(L), 則f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)?x,y,z∈L, 若z≤xy, 則f(z)≥f(x)∧f(y)∧0.5.

證明(必要性)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. ?x,y,z∈L, 若z≤xy, 根據(jù)定理2，知f(z)≥f(xy)∧0.5≥f(x)∧f(y)∧0.5.

(充分性) ?x∈L, 因?yàn)?≤xx, 所以f(0)≥f(xx)∧0.5≥f(x)∧0.5. ?x,y∈L, 由于x≤y(xy), 故f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

定義7設(shè)f,g∈F(L), 定義L上的模糊集f°g和f⊥分別為: ?x∈L,(f°g)(x)=sup{f(y)∧g(z)|x=yz, 其中y,z∈L},f⊥(x)=sup{f(y)|x≤y,其中y∈L},則稱f°g為f與g的模糊積,f⊥為f的模糊上集.

例1設(shè)(X,∧,∨,?,→,0,1)為例1所定義的BL-代數(shù). 定義X的模糊集f和g分別為

f(0)=0.3,f(a)=0.5,f(b)=0.7,f(1)=0.2;g(0)=0.6,g(a)=0.8,g(b)=0.5,g(1)=0.4.

定義模糊集f°g和f⊥分別為

則易驗(yàn)證f°g是f與g的模糊積,f⊥為f的模糊上集.

定義8設(shè)f,g∈F(L). 對(duì)任意的x∈L,t∈(0,1], 若xt∈f有xt∈∨qg, 則稱f擬小于g, 記為f≤∨qg.

定理7設(shè)f,g∈F(L), 則f≤∨qg當(dāng)且僅當(dāng)?x∈L,g(x)≥f(x)∧0.5.

定理8設(shè)f∈F(L), 則f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng) (1)f°f≤∨qf; (2)f⊥≤∨qf.

證明(必要性) 設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. ?x∈L, (f°f)(x)∧0.5=sup{f(y)∧f(z)|x=yz}∧0.5=sup{f(y)∧f(z)∧0.5|x=yz}≤sup{f(yz)|x=yz}=f(x), 因此, (1) 成立.f⊥(x)∧0.5=sup{f(y)|x≤y}∧0.5=sup{f(y)∧0.5|x≤y}=sup{f(x)|x≤y}=f(x), 因此, (2) 成立.

(充分性)?x,y∈L, 則f(xy)≥(f°f)(xy)∧0.5=sup{f(x′)∧f(y′)|xy=x′y′}∧0.5≥f(x)∧f(y)∧0.5. 若x≤y, 則f(x)≥f⊥(x)∧0.5=sup{f(y′)|x≤y′}∧0.5≥f(y)∧0.5. 因此,f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

設(shè)I是L的子集, 定義L的模糊子集χI為:χI(x)≥0.5,x∈I;χI(x)=0,x∈LI.

定理9設(shè)I是L的子集, 若I是L的理想, 則χI是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

證明根據(jù)χI的定義知,I=L(χI,0.5). 由于I是L的理想, 根據(jù)定理3容易證明χI是L的(∈,∈∨q)-模糊理想.

定理10設(shè)f∈F(L), 若f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想, 則f*:={x∈L|f(0)=f(x)∧0.5}是L的理想.

定義9設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想,a∈L, 定義L的模糊子集a?f為: ?x∈L,有

(a?f)(x)=f(ax)∧f(xa)∧0.5,

則稱a?f為f的模糊陪集.

定理11設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想. ?a,b∈L,則a?f=b?f當(dāng)且僅當(dāng)

f(ab)∧0.5=f(ba)∧0.5.

證明(必要性) 設(shè)a?f=b?f. 則(a?f)(a)=(b?f)(a), 即f(aa)∧f(aa)∧0.5=f(0)∧0.5=f(ba)∧f(ab)∧0.5. 注意到f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想, 對(duì)任意的x∈L,有

f(0)∧0.5≥f(x)∧0.5.

(充分性) 根據(jù)引理1容易證明,對(duì)任意的x∈L,有xb≤(ab)(xa)和bx≤(ax)(ba). 又由于f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想, 則f(xb)≥f(ab)∧f(xa)∧0.5和f(bx)≥f(ax)∧f(ba)∧0.5. 因此, (b?f)(x)=f(bx)∧f(xb)∧0.5≥f(ab)∧f(ba)∧f(xa)∧f(ax)∧0.5≥f(xa)∧f(ax)∧0.5=(a?f)(x), 故a?f?b?f. 類似可證b?f?a?f, 因此a?f=b?f.

設(shè)f是L的(∈,∈∨q)-模糊理想, 記L/f={x?f|x∈L}. 在L/f上定義運(yùn)算: ?a,b∈L,有

(a?f)(b?f)=(a?b)?f,(a?f)?(b?f)=(a→b)?f,

則容易證明定理12.

參考文獻(xiàn)：

[2]楊聞起. BCI-代數(shù)的濾子[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 37 (2):15-18.

[3]孟彪龍, 王偉. BE-代數(shù)的一類新的廣義模糊理想[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012, 42 (5): 705-708.

[4]TURUNEN E. BL-algebras of basic fuzzy logic[J]. Mathew Soft Comput, 1999, 6 (1): 49-61.

[5]HAVESHKI M, SAEID A B, ESLAMI E. Some types of filters in BL algebras[J]. Soft Comput, 2006, 10 (8): 657-664.

[6]SAEID A B, MOTAMED S. Some results in BL-algebras[J]. Math Log Quart, 2009, 55 (6): 649-658.

[7]LIU L, LI K. Fuzzy filters of BL-algebras[J]. Inform Sci, 2005, 173 (1): 141-154.

[8]ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Inform Control, 1965, 8 (3): 338-353.

[9]薛占熬, 肖運(yùn)花, 薛天宇, 等. BL-代數(shù)上的幾種直覺(jué)模糊濾子[J]. 計(jì)算機(jī)科學(xué), 2012, 39 (2): 198-201, 219.

[10]WANG W, XIN X L. On fuzzy filters of pseudo BL-algebras[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2011, 162 (1): 27-38.

[11]MA X, ZHAN J. On (∈, ∈∨q)-fuzzy filters of BL-algebras[J]. Jrl Syst Sci & Complexity, 2008, 21: 144-158.

[13]ZHAN J, XU Y. Some types of generalized fuzzy filters of BL-algebras[J]. Comput Math Appl, 2008, 56 (6): 1604-161.

[14]YANG Y W, XIN X L, HE P F. (∈γ, ∈γ∨qδ)-intuitionistic fuzzy (soft) filter of BL-algebras[J]. Chinese Quart J Math, 2014, 29 (1): 65-75.

[15]LELE C, NGANOU J B. MV-algebras derived from ideals in BL-algebras[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2013, 218: 103-113.

[16]YIN Y, ZHAN J. Characterization of ordered semigroups in terms of fuzzy soft ideals[J]. Bull Malays Math Sci Soc, 2012, 35 (4): 997-1015.

[17]CELESTIN L, NGANOU J B. Pseudo-addition and fuzzy ideals in BL-algebras[J]. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 2014, 8 (2): 193-207.

(責(zé)任編輯朱夜明)

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.04.004

收稿日期：2015-05-25

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (11571281);河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(16A110028， 16A130004)

作者簡(jiǎn)介：楊永偉(1984-), 男, 河南柘城人, 安陽(yáng)師范學(xué)院講師, 博士.

中圖分類號(hào)：O159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1000-2162(2016)04-0017-05

(∈,∈∨q)-fuzzy ideals of BL-algebras

YANG Yongwei1, 2, HE Pengfei2, XIN Xiaolong2

(1.School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University, Anyang 455000, China;2.Shool of Mathematics, Northwest University, Xi’an 710127, China)

Abstract:The concept of (∈,∈∨q)-fuzzy ideals was proposed in BL-algebras, and some properties and characterizations of (∈,∈∨q)-fuzzy ideals were obtained. Then a new characterization of (∈,∈∨q)-fuzzy ideals was given by the notions of fuzzy products and fuzzy up-sets. Finally, quotient BL-algebras were constructed based on fuzzy cosets.

Keywords:BL-algebra; fuzzy set; (∈,∈∨q)-fuzzy ideal; fuzzy product; fuzzy up-set