基于混合整數(shù)規(guī)劃法的采場回采順序優(yōu)化分析

王李管，任助理，潘傳鵬，陳 鑫

（1. 中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，長沙 410083；2. 中南大學(xué) 數(shù)字礦山研究中心，長沙 410083）

基于混合整數(shù)規(guī)劃法的采場回采順序優(yōu)化分析

王李管1， 2，任助理1， 2，潘傳鵬1， 2，陳 鑫1， 2

（1. 中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，長沙 410083；
2. 中南大學(xué) 數(shù)字礦山研究中心，長沙 410083）

針對地下礦山傳統(tǒng)編制生產(chǎn)計劃時存在的隨意性大、效率低、不能編制出最優(yōu)生產(chǎn)計劃的弊端，提出運用混合整數(shù)規(guī)劃法解決采場回采順序優(yōu)化問題的方法。對無底柱分段崩落法的采場回采順序進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的分析，以計劃周期內(nèi)貼現(xiàn)值最大化為目標(biāo)函數(shù)，綜合考慮邏輯、設(shè)備數(shù)量、空間順序等約束條件，構(gòu)建采場回采順序優(yōu)化的混合整數(shù)規(guī)劃模型；在MATLAB環(huán)境下采用YALMIP編寫模型語言并調(diào)用CPLEX求解器進(jìn)行求解，進(jìn)而得到采場回采順序的最優(yōu)布置方案。結(jié)果表明：此方法科學(xué)可行，克服傳統(tǒng)手工方法編制生產(chǎn)計劃的弊端，實現(xiàn)資源合理高效開采，對指導(dǎo)礦山的實際生產(chǎn)有重要的意義。

無底柱分段崩落法；采場回采順序；混合整數(shù)規(guī)劃；生產(chǎn)計劃

安全高效的生產(chǎn)是礦山企業(yè)生存需要解決的重大難題。為使企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營合理運行，礦山管理者必須從多個角度對企業(yè)運行做出合理的規(guī)劃安排，其中編制生產(chǎn)計劃是核心決策任務(wù)。采場是地下礦山生產(chǎn)的最基本單元，大部分采礦方法涉及到的生產(chǎn)工序活動（如中深孔、出礦、充填等）都以采場為單元體進(jìn)行承載，因此，確定采場回采順序是地下礦山生產(chǎn)計劃編制的前提。

采場回采順序的確定是一個復(fù)雜的過程，自 20世紀(jì) 60年代初人們主要從現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計算機模擬技術(shù)兩個方向?qū)ζ溥M(jìn)行研究［1］，RIBEIRO［2］運用動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化無底柱分段崩落法礦山回采順序，賈明濤［3］基于計算機過程模擬技術(shù)和排隊論優(yōu)化冬瓜山銅礦深井回采方案。近年來，人們又引入了人工智能、不確定決策等方法：周科平等［4］運用遺傳算法和數(shù)值分析法優(yōu)化回采順序，實現(xiàn)三山島金礦礦體開采的穩(wěn)定性；云慶夏等［5］應(yīng)用遺傳算法確定采場開采時間；KUMRAL［6］采用模擬退火算法解決澳大利亞西部鐵礦的生產(chǎn)計劃編制問題。采場回采順序優(yōu)化問題已引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，因此，有必要對其進(jìn)行研究。

采場回采順序傳統(tǒng)上是以采場的礦石品位、礦石量為基礎(chǔ)，依靠礦山工作者的經(jīng)驗進(jìn)行確定，缺乏科學(xué)系統(tǒng)的定量分析，不能保證開采全局最優(yōu)?；旌险麛?shù)規(guī)劃理論的提出為確定采場回采順序提供了一種很好的解決途徑，目前在諸多國家以不同采礦方法開采礦山中得到了顯著應(yīng)用［7］。REHMAN等［8］用該法求解巴基斯坦某空場法石灰石礦的采場開采順序，以最低生產(chǎn)成本實現(xiàn)礦量與質(zhì)量穩(wěn)定。YASHAR等［9］和CARLYLE［10］分別用該法解決了澳大利亞某自然崩落法礦山和美國 Stillwater分段崩落法鉑鈀地下金屬礦的采場回采順序優(yōu)化問題，實現(xiàn)凈現(xiàn)值最大化。O'SULLIVAN［11-12］對愛爾蘭利希恩鉛鋅礦基于混合整數(shù)優(yōu)化法的啟發(fā)式方法，優(yōu)化采場回采順序，實現(xiàn)貼現(xiàn)值最大化。針對無底柱分段崩落法的礦山，MARTINEZ等［13］根據(jù)瑞典基律納鐵礦的生產(chǎn)約束以實際開采量和需求量之間的偏差量最小為目標(biāo)函數(shù)，實現(xiàn)了回采方案最優(yōu)化。盡管，混合整數(shù)規(guī)劃法在國外應(yīng)用廣泛，但國內(nèi)礦山的回采單元劃分類型、采場尺寸及生產(chǎn)約束條件與國外礦山差別較大，因此將這些模型直接應(yīng)用于國內(nèi)地下礦山，具有很大局限性。2007年以來，為解決混合整數(shù)規(guī)劃模型求解速率慢、求解質(zhì)量低的問題，學(xué)者們引入了最早開始、最遲開始算法［14］、聚類分析［15］、拉格朗日松弛法［16］等，但這些算法對程序運行環(huán)境苛刻，對計算機軟硬件要求較高，不具備普遍適用性。

針對上述問題，本文作者運用混合整數(shù)規(guī)劃法，選取目標(biāo)函數(shù)及有關(guān)約束條件，構(gòu)建適用于國內(nèi)無底柱分段崩落法礦山的采場回采順序優(yōu)化模型，很適合解決以傳統(tǒng)經(jīng)驗布置回采順序不科學(xué)問題。因此，在礦山的生產(chǎn)實踐中有著更大的適用空間和應(yīng)用價值。

1 采場回采順序優(yōu)化的混合整數(shù)規(guī)劃模型設(shè)計

1.1 混合整數(shù)規(guī)劃理論

混合整數(shù)規(guī)劃（MIP）是涉及到整數(shù)或離散變量的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問題［17］。作為優(yōu)化理論的一個重要分支有普遍的實用價值，已滲透到工商企業(yè)管理、工程技術(shù)、科學(xué)研究、金融工程、語言學(xué)及社會科學(xué)等領(lǐng)域中，常見應(yīng)用如對大規(guī)模生產(chǎn)的設(shè)計規(guī)劃問題、設(shè)備的使用規(guī)劃、設(shè)計流程問題等，這都屬于MIP問題的范疇，模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為

式中：Z為最大或最小目標(biāo)函數(shù)；xj為決策變量；aij、bi、cj分別為所解決問題的相關(guān)系數(shù)；i、j、k為所解問題的變量索引；m、n為索引的取值范圍。

1.2 混合整數(shù)規(guī)劃模型構(gòu)建

結(jié)合無底柱分段崩落法礦山的實際情況，運用上述理論依據(jù)，選擇合適的目標(biāo)函數(shù)、約束條件及決策變量建立數(shù)學(xué)模型來解決地下金屬礦山生產(chǎn)計劃中回采順序優(yōu)化問題。

設(shè)地下金屬礦山有V個分段，劃分為A個采場，在計劃周期T內(nèi)決定A個采場何時開始，則設(shè)其采場回采順序優(yōu)化的決策變量為

無底柱分段崩落法的特點是在礦體內(nèi)一般以 15 m×15 m的網(wǎng)度開掘回采巷道，并在其中打上向扇形深孔落礦，隨著礦石放出，崩落的圍巖充滿采空區(qū)。為了保證整個回采過程的安全高效，必須考慮到空間的約束關(guān)系（見圖1）：水平方向上限制采場b開采的采場a、c未開采時，采場b不可開采；垂直方向上限制采場d開采的采場b未完成50%時，采場d不可生產(chǎn)。

圖1 采場空間約束關(guān)系Fig. 1 Space constraints of stopes

由于各采場地質(zhì)品位及開采條件的差異，根據(jù)礦山企業(yè)生產(chǎn)需求（品位偏差最小、金屬量或貼現(xiàn)值最大），選取計劃周期內(nèi)的貼現(xiàn)值最大為目標(biāo)函數(shù)，綜合考慮時間、設(shè)備數(shù)量、空間順序等約束條件建立混合整數(shù)規(guī)劃模型如下：

1） 貼現(xiàn)值反應(yīng)了礦山投資風(fēng)險的影響和假設(shè)企業(yè)再投資時資本回收的情況，能幫助礦山企業(yè)決策，因此，選擇計劃周期內(nèi)貼現(xiàn)值最大為目標(biāo)函數(shù)。該目標(biāo)函數(shù)實現(xiàn)貼現(xiàn)值最大化的同時也能實現(xiàn)金屬量最大。

式中：A為采場a集合；T為月期t和t′集合；da為采場a持續(xù)生產(chǎn)時間，月；ga為采場a地質(zhì)品位；r為礦山的折現(xiàn)率，其取值區(qū)間一般為8%～10%；γ為設(shè)備生產(chǎn)能力，萬t/月?臺，yat為決策變量

2） 同分段生產(chǎn)設(shè)備數(shù)量約束，即同分段每個時期生產(chǎn)設(shè)備在采場進(jìn)行回采作業(yè)時，其生產(chǎn)設(shè)備數(shù)不得超過礦山實際生產(chǎn)規(guī)定設(shè)備數(shù)，以使回采工作安全有效地順利進(jìn)行。

式中：Lvt為分段v內(nèi)t時期能同時生產(chǎn)的最多設(shè)備數(shù)；V為分段v集合；Av為分段v內(nèi)采場的集合。

3） 全礦生產(chǎn)設(shè)備數(shù)量約束，即礦山各個分段同時期進(jìn)行生產(chǎn)的設(shè)備數(shù)量總和不超過礦山實際規(guī)定的設(shè)備數(shù)量。

式中：Lt為t時期能同時生產(chǎn)的最多設(shè)備數(shù)。

4） 保持采場回采穩(wěn)定的水平空間約束，根據(jù)無底柱分段崩落法的回采特點，在每個時期水平方向上同分段限制采場a開采的采場a′未完成時，采場a不能開始生產(chǎn)。

式中：Aal為限制 a采場開采的水平方向上的采場 a ′集合。

5） 保持采場空間穩(wěn)定的垂直約束，即垂直方向上分段限制采場a開采的采場a″未完成50%時，采場a不能開始生產(chǎn)。

式中：Aav為限制a采場開采的垂直方向上的采場a″集合。

6） 為避免礦山設(shè)備頻繁移動，考慮生產(chǎn)設(shè)備調(diào)度約束。對第一分段、第一二分段、第一二三分段，t時期生產(chǎn)采場數(shù)之和不大于 t-1時期生產(chǎn)采場數(shù)之和。

7） 邏輯約束，a采場在計劃月期內(nèi)只能開采一次。

1.3 混合整數(shù)規(guī)劃模型求解

目前混合整數(shù)規(guī)劃模型求解常采用分支界定算法，這種方法靈活且便于計算機求解，它的基本思想分3個關(guān)鍵步驟：分支、定界和剪枝，算法實現(xiàn)的流程［18］如下（見圖2）。

Step 1（初始化）：取初始的超矩形集合 M =｛H｝，原問題的初始下界為μ=min｛μ（H）｝，上界為r←min｛f（x）：x∈Q｝，Q表示原問題所有可行解的集合，找一個當(dāng)前最優(yōu)解xr∈argminr，置k=1；

Step 2（終止規(guī)則）：若r=μ，則輸出原問題的全局最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)Step 2；

Step 3（選擇規(guī)則）：在M中選擇超矩形Hk，其中Hk是μ對應(yīng)的超矩形，即μ=μ（Hk），使M=M/Hk；

Step 4（部分規(guī)則）：沿著超矩形Hk的最長邊進(jìn)行二倍分剖分，所得到的子超矩形記為R，讓M=M∪R；

Step 5（剪枝規(guī)則）：讓M=M｛H：μ（H）≥r，H∈M｝；

Step 7：置k=k+1，轉(zhuǎn)Step 2。

圖2 模型的算法流程Fig. 2 Model of arithmetic flow

2 應(yīng)用實例

2.1 礦山簡況

河北某鐵礦礦體全部埋藏在河床之下，礦區(qū)平均標(biāo)高280 m左右，礦體埋深134 m至679 m，埋藏標(biāo)高為+142 m～-463 m，屬大中型礦床。該礦設(shè)計規(guī)模為年生產(chǎn)鐵礦石180萬t，采用豎井開拓，利用無底柱分段崩落法進(jìn)行開采。

該礦2014年末的采礦現(xiàn)狀為：采礦作業(yè)位于-140 m、-155 m兩個分段，正在回采的采場有9個，備用采場2個，鐵礦石217萬t/a，原礦入選品位40.06%，回采率 81.13%，貧化率 16.05%。年生產(chǎn)鐵精礦 120 萬t，鐵精礦品位66.50%，綜合金屬回收率92.11%。礦山采用6臺TORO400E電動鏟運機回采，5臺生產(chǎn)，1臺備用，設(shè)備生產(chǎn)能力3.0～3.1萬t每月。

采場回采順序的優(yōu)化模型以該礦-140 m、-155 m、-170 m水平采場為對象，共計30個采場，編制3年（2015～2017）的中長期生產(chǎn)計劃。

2.2 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

根據(jù)該礦的地質(zhì)資料，利用DIMINE三維礦業(yè)軟件進(jìn)行儲量估算，采場地質(zhì)品位ga1×30=［0.4751， 0.4585，0.4536， 0.3472， 0.4577， 0.3762， 0.4906， 0.4823， 0.4333，0.398， 0.4611， 0.4669， 0.4017， 0.3673， 0.3663， 0.3778，0.3043， 0.3231， 0.4539， 0.4067， 0.434， 0.3269， 0.3183，0.5025， 0.4703， 0.4074， 0.4321， 0.3825， 0.3907］。

采場持續(xù)開采時間 da為采出礦量除以設(shè)備生產(chǎn)能力，由于編排中長期計劃時考慮以月單位，最終對數(shù)據(jù)處理采用的是取整，但不會出現(xiàn)大的排產(chǎn)偏差情況，da1×30=［1， 7， 5， 7， 8， 10， 3， 7， 13， 12， 14， 19， 13， 10， 9，3， 7， 10， 10， 8， 18， 10， 6， 5， 11， 11， 19， 10， 9， 14］。

其中α、β的值分別取0或1。

2.3 模型求解

針對該礦山實際數(shù)據(jù)，利用YALMIP語言編寫采場回采順序優(yōu)化的混合整數(shù)規(guī)劃模型，在 MATLAB中調(diào)用 CPLEX采用分支定界算法進(jìn)行快速求解。程序運行環(huán)境為 M ATLAB2014a，CPLEX Optimization Studio（64bit）12.5.1，Windows7操作系統(tǒng)，4G內(nèi)存。該模型在44.813秒之內(nèi)輸出結(jié)果yat（見表1），求解目標(biāo)函數(shù)的最大貼現(xiàn)值為5.1098×105t。

根據(jù)模型求解的最優(yōu)解，即可對礦山采場回采順序進(jìn)行優(yōu)化配置，得到最優(yōu)采場回采順序方案，編制出采場網(wǎng)絡(luò)計劃圖（見圖3），直觀體現(xiàn)了采場回采的先后順序與逐年礦石產(chǎn)量。

2.4 結(jié)果分析

1） 算法效率分析在模型構(gòu)建過程中，巧妙運用采場持續(xù)時間這一參數(shù)，間接減少了模型的變量數(shù)目，使模型的求解時間大大減少，整個求解過程的總時間僅為44.813 s，較以往模型求解速率得到很大提升，具體的求解時間分析如表2所列。

表1 yat的求解結(jié)果Table 1 Calculated results of yat

圖3 采場網(wǎng)絡(luò)計劃圖Fig. 3 Network-planning diagram of stopes

表2 模型求解時間分析Table 2 Analyzing length of solving time

圖4 采出金屬量對比分析Fig. 4 Contrast analysis of metal quantity

2） 金屬量分析

在生產(chǎn)過程中金屬量是礦山?jīng)Q策的重要參數(shù)，決定著礦山能否持續(xù)的生產(chǎn)和盈利，因此主要通過比較金屬量來判斷采場回采順序優(yōu)化的優(yōu)劣，該鐵礦實際需求產(chǎn)出金屬量6.2萬t每月。為深入研究混合整數(shù)規(guī)劃法優(yōu)化采場回采順序的情況，將混合整數(shù)規(guī)劃方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對比分析（見圖4和5）。

從圖4可以看出：在2015年與2016年混合整數(shù)規(guī)劃法編制的生產(chǎn)計劃采出的金屬量是高于傳統(tǒng)方法的，2017年的采出金屬量雖然沒有比傳統(tǒng)方法更高，但3年內(nèi)總體上保證了富礦優(yōu)先開采，實現(xiàn)了貼現(xiàn)值最大的生產(chǎn)目標(biāo)。由圖5可知：全生命周期內(nèi)混合整數(shù)規(guī)劃回采的金屬量較傳統(tǒng)方法更高，實現(xiàn)了礦山企業(yè)金屬量最大化的目標(biāo)，滿足礦山的生產(chǎn)需求。因此，采用混合整數(shù)規(guī)劃法優(yōu)化無底柱分段崩落法礦山的采場回采順序是成功的。

圖5 金屬量分布情況Fig. 5 Distribution of mental production

3 結(jié)論

1） 通過對我國無底柱分段崩落法礦山的回采特點和混合整數(shù)規(guī)劃法的研究，建立采場回采順序優(yōu)化的混合整數(shù)規(guī)劃模型。經(jīng)實例驗證，該模型對于求解無底柱分段崩落法礦山的采場回采順序是非常適用的，得出采場最優(yōu)回采順序優(yōu)化方案，從而使得地下礦山回采順序的優(yōu)化從傳統(tǒng)的定性分析上升到定量分析與數(shù)學(xué)優(yōu)化的階段，克服傳統(tǒng)編排的弊端。

2） 在構(gòu)建采場回采順序的混合整數(shù)規(guī)劃模型時，考慮礦山投資風(fēng)險的影響和企業(yè)再投資時回收資本的情況，選擇貼現(xiàn)值最大為目標(biāo)函數(shù)，保證富礦優(yōu)先開采的同時也滿足金屬量最大化的需求?？紤]水平和豎直的空間順序約束和設(shè)備約束，保證生產(chǎn)安全和避免設(shè)備的頻繁上下移動，以符合礦山的生產(chǎn)實際。

3） 模型通過巧妙運用采場持續(xù)時間來減少變量個數(shù)，在1 min內(nèi)得出最優(yōu)結(jié)果，既體現(xiàn)了模型構(gòu)建的優(yōu)越性，也說明了模型求解速率較快。

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（編輯 王 超）

Optimization analysis of stope mining sequence based on mixed integer programming

WANG Li-guan1， 2， REN Zhu-li1， 2， PAN Chuan-peng1， 2， CHEN Xin1， 2
（1.School of Resources and Safety Engineering， Central South University， Changsha 410083， China；
2. Center of Digital Mine Research， Central South University， Changsha 410083， China）

The traditional analysis process of production schedule is random， inefficient， and the optimal production scheduling can not be arranged. The mixed integer programming method was proposed to solve the stope mining sequence optimization problem. The amount of machinery and equipment， vertical and horizontal mine-sequencing were taken as constraints， the net present value （NPV） was used as objective function of mathematical programming model， the stope mining sequence optimization model was scenically analyzed and built based on mixed integer programming method. It was solved with CPLEX， MATLAB and YALMIP for a certain Chinese iron mine. Finally， the optimal arrangement scheme of stope mining sequence was obtained. The results show that this model is scientific and feasible，and the production schedule saves costs compared to schedules manually by meeting desired production quantities more closely and reducing employee time spent on preparing schedules. It has an important significance to guide the actual production of the mine.

sublevel caving method； mining sequence optimization； mixed integer programming； production scheduling

Project （2011AA060407） supported by the National High Technology Research and Development Program of China

date： 2015-05-06； Accepted data： 2015-09-08

WANG Li-guan； Tel：+86-13808478410，E-mail： liguan_wang@163.com

1004-0609（2016）-01-0173-07

TD853

A

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃項目（2011AA060407）

2015-05-06；

2015-09-08

王李管，教授，博士；電話：13808478410；E-mail：liguan_wang@163.com