用于感應(yīng)電機設(shè)計的分布磁路法快速迭代方法*

管少華，　程思為，　王　東，　吳新振

(1. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室，湖北 武漢　430033；2. 青島大學(xué) 電氣工程系，山東 青島　266071)

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用于感應(yīng)電機設(shè)計的分布磁路法快速迭代方法*

管少華1，程思為1，王東1，吳新振2

(1. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室，湖北 武漢430033；2. 青島大學(xué) 電氣工程系，山東 青島266071)

摘要：針對非正弦供電十五相感應(yīng)電機磁路計算的分布磁路法，對氣隙磁密進行修正的迭代過程，提出采用牛頓拉夫遜迭代方法。通過MATLAB軟件對兩種算法的試驗結(jié)果進行對比分析，可知該方法具有通用性強，收斂、運算速度快，受電機飽和程度影響小等優(yōu)勢，并改善了氣隙磁密修正時依賴經(jīng)驗系數(shù)的不足。該方法特別適用于多相感應(yīng)電機的優(yōu)化設(shè)計。

關(guān)鍵詞：多相感應(yīng)電機； 非正弦供電； 分布磁路法； 牛頓拉夫遜法

0引言

綜合電力技術(shù)是艦船動力平臺未來發(fā)展的主流趨勢[1]，非正弦供電的多相感應(yīng)電機已作為大型艦船電力推進的首選電機，成為國內(nèi)外研究的重點之一。非正弦供電多相感應(yīng)電機設(shè)計的一個發(fā)展趨勢是采用基于種群的多目標電機優(yōu)化設(shè)計方法[2-3]，因此，需要快速準確的性能計算方法來評估海量的設(shè)計。性能計算方法的核心是電機的主磁路計算?，F(xiàn)有的主磁路計算方法主要有以下幾種。

(1) 解析磁路計算法[4]。該算法是一種傳統(tǒng)且應(yīng)用廣泛的感應(yīng)電機設(shè)計方法。在三相感應(yīng)電機設(shè)計中容易計算最大氣隙磁密。該方法依賴經(jīng)驗系數(shù)去修正磁路飽和度的影響和計算軛部磁密，且修正系數(shù)受很多因素的影響，比如齒部飽和程度和軛部尺寸形狀。雖然已經(jīng)提出磁路計算的推廣方法，但是這些計算方法都是假設(shè)電機為正弦供電情況，故對非正弦供電的多相感應(yīng)電機設(shè)計并不適用。

(2) 有限元法[5]。該算法是一種以變分原理為基礎(chǔ)的數(shù)值計算方法，將一個復(fù)雜連續(xù)介質(zhì)的求解區(qū)域分解為有限個簡單形狀的子區(qū)域，作為原區(qū)域的等效區(qū)域，從而將連續(xù)體的場變化量簡化為有限個單元點上的場變量值。該方法把空間磁場分布用一個接近真實的磁場分布來代替，在設(shè)計的精細驗證時應(yīng)用很廣泛。但是有限元分析法的計算時間過長，不適用于電機優(yōu)化階段中評估海量設(shè)計的需要[6]。

(3) 磁網(wǎng)格法[7]。該方法是一種可以考慮鐵心飽和影響的方法，將電機劃分為大量的磁勢節(jié)點網(wǎng)格，在二維的感應(yīng)電機分析中有一定應(yīng)用。但是磁網(wǎng)格法的精度取決于磁網(wǎng)格的定義方式，很大程度上依賴于設(shè)計者的經(jīng)驗，通用性與一般性較差。

為解決之前提到方法的不足，海軍工程大學(xué)于2009年提出了非正弦供電十五相感應(yīng)電機磁路計算的分布磁路法[8]。分布磁路法從基波和3次諧波合成磁勢出發(fā)，以等間隔周向分塊為處理關(guān)鍵，通過對氣隙磁密進行迭代計算得到沿圓周各節(jié)點氣隙磁密。該方法是處理磁路非線性的有效措施，被廣泛地應(yīng)用于非正弦供電的多相感應(yīng)電機設(shè)計，并得到了大量的實際工程驗證。但該方法中對氣隙磁密進行修正的迭代式是基于物理原理設(shè)計的，收斂速度與收斂性與被設(shè)計電機的飽和程度有關(guān)，迭代初值與迭代步長一定程度上依賴于經(jīng)驗系數(shù)。

本文提出用牛頓拉夫遜迭代法對氣隙磁密進行修正，從數(shù)學(xué)角度保證了電機在不同飽和程度時均能可靠收斂，改善了氣隙磁密修正時依賴經(jīng)驗系數(shù)的不足，且在收斂速度和收斂次數(shù)上都得到了提升。

1分布磁路法簡要回顧

分布磁路法計算在1/4周期、即半個極距區(qū)域內(nèi)進行。非正弦供電的十五相感應(yīng)電機電動機磁勢實際上可以只考慮基波電流產(chǎn)生基波磁勢和3次諧波電流產(chǎn)生3次諧波磁勢?；娏骱?次諧波電流磁勢都為同步速。在感應(yīng)電機半個極距模型中，用通過圓心的射線沿周向作等角度均勻分塊處理，如圖1所示。若沿周向均勻分為N塊，則得到第i節(jié)點磁勢為

(1)

圖1　求解模型的周向分塊

上述第i節(jié)點磁勢實際為圖1中粗實線所示閉合回路的磁勢。

在各節(jié)點磁勢已知的情況下，開始時可認為氣隙中各節(jié)點磁密波形與磁勢波形相似。由此得到i節(jié)點處氣隙磁密Bg(i)為

(2)

式中：μ0——空氣磁導(dǎo)率；

ge——考慮齒槽效應(yīng)后的等效氣隙長度；

kst——預(yù)取飽和系數(shù)，為經(jīng)驗系數(shù)，一般取1與1.5之間某一常數(shù)。

根據(jù)磁通連續(xù)性原理，第i節(jié)點處定、轉(zhuǎn)子齒部磁密Bt1(i)、Bt2(i)分別為

(3)

(4)

式中：l——電機磁路軸向有效長度；

τt1、τt2——氣隙中心處的定、轉(zhuǎn)子齒距；

lfe1、lfe2——考慮疊壓系數(shù)及徑向通風(fēng)溝后定、轉(zhuǎn)子鐵心軸向長度；

bt1、bt2——所計算處的定、轉(zhuǎn)子齒寬。

同樣根據(jù)磁通連續(xù)性原理可知，第1節(jié)點與第i節(jié)點間氣隙中心面上的徑向磁通等于第i節(jié)點處軛部截面上的周向磁通。用梯形公式的第i節(jié)點處定、轉(zhuǎn)子軛部磁密分別為

(5)

(6)

式中：lfe1、lfe2——氣隙中心處的電機極距；

hc1、hc2——定、轉(zhuǎn)子軛高。

圖1中粗實線所示的閉合回路認為是經(jīng)過第i節(jié)點處的磁回路。因此經(jīng)過第i節(jié)點的閉合回路總磁壓降算式為

F∑(i)=Fg(i)+Ft1(i)+Ft2(i)+

Fc1(i)+Fc2(i)

(7)

式中5部分磁壓降表達式分別為

(8)

Ft1(i)=Ht1(i)ht1

(9)

Ft2(i)=Ht2(i)ht2

(10)

(11)

(12)

式中：Fg(i)——第i節(jié)點處氣隙磁壓降；

Ft1(i)——第i節(jié)點處定子齒部磁壓降；

ht1、ht2——定、轉(zhuǎn)子齒高；

Ft2(i)——第i節(jié)點處轉(zhuǎn)子齒部磁壓降；為Fc1(i)第i至N+1節(jié)點間定子軛部磁壓降；為Fc2(i)第i至N+1節(jié)點間轉(zhuǎn)子軛部磁壓降；

lc1、lc2——定、轉(zhuǎn)子一個極下軛部長度。

對氣隙磁密修正時采用的方法，是氣隙磁密不滿足給定精度的情況下，重新給出各節(jié)點氣隙磁密，其中第i(i≠N+1)節(jié)點新氣隙磁密為

(13)

式中：kB——經(jīng)驗系數(shù)，可在0.05～0.5間取值，飽和程度低時取大值，飽和程度高時取小值。

由上述可知，在分布磁路法中對氣隙磁密初值確定時引入了預(yù)取飽和系數(shù)kst，此系數(shù)對計算的收斂性和收斂速度均有一定影響，其取值具有一定的經(jīng)驗性。

式(13)是從物理層面上設(shè)計的氣隙磁密的修正式，難以推導(dǎo)其準確的數(shù)學(xué)收斂邊界。對于不同的電機飽和情況，磁密迭代式中同樣有一個經(jīng)驗系數(shù)kB對收斂性和收斂速度有一定影響，且其取值也帶有一定的經(jīng)驗性。

本文提出的牛頓拉夫遜迭代法的幾何意義是用曲線上一系列的切線與軸的交點來逐步逼近曲線與軸交點，經(jīng)驗證該法較好地解決了上述問題。

2牛頓拉夫遜迭代法

牛頓拉夫遜法是求解非線性方程組常用的方法，解非線性方程的牛頓拉夫遜法是一種將非線性函數(shù)線性化的方法。其標準模式如下：

設(shè)有非線性方程組

(14)

其近似解為x1(0),x2(0)…,xn(0)。設(shè)近似解與精確解相差Δx1,Δx2,…,Δxn。則下列關(guān)系式成立

(15)

式(15)中任何一式都可按照泰勒級數(shù)展開。略去高次方可得

(16)

由此可改寫為如下的矩陣方程

(17)

可簡寫為

Δf=JΔx

(18)

式中：Δf——不平衡量的列向量；

J——函數(shù)的雅克比矩陣；

Δx——由Δxi組成的列向量。

將xi(0)代入，可得Δf、J中的各元素。運用解線性代數(shù)方程的方法，可求得Δxi(0)，從而求得經(jīng)第1次迭代后xi的新值xi(1)=xi(0)+Δxi(0)。再將求得的xi(1)代入，又可求得Δf、J中各元素的新值，從而解得Δxi(1)以及xi(2)=xi(1)+Δxi(1)。如此循環(huán)，最后可獲得足夠精確的解。

3迭代公式推導(dǎo)

對分布磁路法中應(yīng)用牛頓拉夫遜法對氣隙磁密進行修正，由安培環(huán)路定律可知，閉合磁路中總磁壓降等于磁勢，即式(1)與式(7)相等。若每個節(jié)點對應(yīng)一個閉合回路，對所有的閉合磁路而言，總磁壓降均要等于磁勢。因此通過上兩式對氣隙磁密迭代過程構(gòu)造方程組：

F(i)-F∑(i)=JΔBg

(19)

磁勢F(i)與總磁壓降F∑(i)之差相當(dāng)于式(18)中的不平衡量Δf。式(7)中總磁壓降F∑(i)由5部分組成，各磁壓降為第i節(jié)點磁場強度的函數(shù)，而第i節(jié)點磁場強度是第i節(jié)點磁密通過查鐵心磁化曲線相應(yīng)得到的。因此式(19)中ΔBg為各節(jié)點氣隙磁密ΔBg(i)組成的列向量，雅克比矩陣J可由總磁壓降按式(17)中方法對各節(jié)點氣隙磁密求導(dǎo)得到。

因為第i節(jié)點處氣隙磁勢、定子齒部磁勢以及轉(zhuǎn)子齒部磁勢只與第i節(jié)點處氣隙磁密有關(guān)，所以此3部分對氣隙磁密求導(dǎo)得

(20)

(21)

(22)

式中： l——電機磁路軸向有效長度；

τt1、τt2——氣隙中心處的定、轉(zhuǎn)子齒距；

lfe1、lfe2——考慮疊壓系數(shù)及徑向通風(fēng)溝后定、轉(zhuǎn)子鐵心軸向長度；

bt1、bt2——所計算處的定、轉(zhuǎn)子齒寬；

ht1、ht2——定、轉(zhuǎn)子齒高。

因為第i節(jié)點處定子軛部和轉(zhuǎn)子軛部磁勢與第i節(jié)點至第N+1節(jié)點有關(guān)，所以此兩部分對氣隙磁密求導(dǎo)得

(23)

式(23)為定子軛部磁勢對氣隙磁密求導(dǎo)結(jié)果，轉(zhuǎn)子軛部磁勢表達式與定子軛部相同。

將5部分磁壓降對氣隙磁密求導(dǎo)結(jié)果相加即構(gòu)成雅克比矩陣J。

將Bg(i)(0)代入，運用解線性代數(shù)的方法，可求得ΔBg(i)(0)，從而求得第1次迭代之后Bg(i)的新值Bg(i)(1)=Bg(i)(0)+ΔBg(i)(0)。再將求得的Bg(i)(1)代入，可求得Δf、J中元素的新值，從而求得ΔBg(i)(1)以及Bg(i)(2)=Bg(i)(1)+ΔBg(i)(1)。如此循環(huán)，最后可得到足夠精確的氣隙磁密Bg(i)。

4兩種算法試驗結(jié)果比較

提高電機端電壓即為使電機的飽和程度增加。圖2選取了3個不同電壓等級下對應(yīng)的定子齒部飽和程度，來比較不同飽和度情況下兩種算法的收斂速度，分為A、B、C三種情況。

圖2　不同飽和程度對比點

表1和表2給出了兩種算法在圖2的A點坐標下，不同精度和不同節(jié)點數(shù)下評估一千個設(shè)計的性能所需時間對比。可看出，電機在飽和程度較輕時，牛頓拉夫遜法與原先算法的收斂性和收斂速度都較好。

表1　A點： 牛拉法評估一千個設(shè)計的程序運行時間　s

表2　A點： 原算法評估一千個設(shè)計的程序運行時間　s

表3和表4給出了提高電機飽和程度至B點后，兩種算法在不同精度和不同節(jié)點數(shù)下的程序運行時間對比。提高電機飽和程度之后原先算法程序運行時間明顯增多，特別是在精度要求較高時，原先程序運行時間增多更加明顯；而牛頓拉夫遜迭代法的運行時間受飽和程度的影響較小，主要是因為牛拉法本身就是一種變步長方法。

總體而言飽和程度高時兩種方法雖然都收斂，但牛頓拉夫遜法收斂速度較快。

表3　B點： 牛拉法評估一千個設(shè)計的程序運行時間　s

表4　B點： 原算法評估一千個設(shè)計程序運行時間　s

在提高電機飽和程度至C點時，程序運行時間如表5和表6所示。原先的方法出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象，而牛頓拉夫遜法依然收斂。

表5　C點： 牛拉法評估一千個設(shè)計的程序運行時間　s

表6　C點： 原算法評估一千個設(shè)計的程序運行時間

注： 其中∞代表不收斂。

電機在不同飽和程度下，當(dāng)節(jié)點個數(shù)和精度要求相同時，由表5、表3以及表1對比可知，牛頓拉夫遜法程序運行時間增加并不明顯，算法依然收斂。由表6、表4以及表2對比可知，原先程序運行時間增加比較明顯，且出現(xiàn)了不收斂的情況?？傮w而言，牛頓拉夫遜法受飽和程度影響小，運算速度更快，收斂性更好。

原算法迭代公式需要提前確定迭代初值與迭代步長等系數(shù)。這些系數(shù)的確定帶有一定的經(jīng)驗性且需要一定的試算，確定系數(shù)本身就需要一定的時間。因此，在使用的方便性和算法的自動化程度方面牛頓拉夫遜法有一定的優(yōu)勢。

下面給出電機在B點飽和程度下，兩種方法在不同節(jié)點個數(shù)和精度要求時達到收斂程序時迭代次數(shù)。由表7和表8明顯可看出，牛頓拉夫遜法迭代次數(shù)比原先方法迭代次數(shù)少，相同節(jié)點數(shù)下，在精度要求提高時，牛頓拉夫遜法迭代次數(shù)變化不明顯，而原先算法迭代次數(shù)增多比較明顯，而節(jié)點數(shù)的變化對迭代次數(shù)影響并不明顯。

表7　B點： 牛拉法程序迭代次數(shù)

表8　B點： 原算法程序迭代次數(shù)

最后選取精度要求為10-5，節(jié)點個數(shù)為27時，在不同飽和度下，兩種算法運行時間如圖3所示。由圖3可看出，牛頓拉夫遜算法運行時間短，受飽和程度影響小，原先算法在最大磁密為1.739T臨界點之后出現(xiàn)了不收斂現(xiàn)象，牛頓拉夫遜方法依然收斂，運行時間也比原先算法短。

圖3　兩種算法不同飽和程度下運行時間

5結(jié)語

本文針對多相感應(yīng)電機磁路計算的分布磁路法，提出了一種基于牛頓拉夫遜法的氣隙磁密迭代方法?；谂＠ㄔO(shè)計的迭代式不依賴任何經(jīng)驗參數(shù)，具有通用性強，保證收斂、運算速度快，受電機飽和程度影響小等優(yōu)勢，特別適用于多相感應(yīng)電機的優(yōu)化設(shè)計。

【參 考 文 獻】

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*基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51507181)

作者簡介：管少華(1991—)，男，碩士，研究方向為永磁電機設(shè)計。 程思為(1985—)，男，博士，助理研究員，研究方向為新型電機系統(tǒng)的設(shè)計、控制和狀態(tài)監(jiān)測。

中圖分類號：TM 346

文獻標志碼：A

文章編號：1673-6540(2016)06- 0017- 06

收稿日期：2015-11-13

A Fast Iterative Method of Distributed Magnetic Circuit Approach of Induction Machine Design*

GUANShaohua1,CHENGSiwei1,WANGDong1,WUXinzhen2

(1. National Key Laboratory of Science and Technology on Vessel Integrated Power System,Naval University. of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. Electrical Eng. Department,Qingdao University, Qingdao 266071, China)

Abstract：For the distributed magnetic circuit approach to fifteen-phase induction machine with non-sinusoidal supply, in the process of air-gap magnetic flux iterative calculation, the Newton-Raphson method was presented. It had the advantages of good and fast convergence, lesser affected by saturation degree et al. The human factors was eliminated by used this method and this method could satisfy the designing requirement.

Key words：fifteen-phase induction machine; voltage supply with non-sinusoidal; distributed magnetic circuit approach; newton-raphson method