基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論的無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)混沌振蕩控制

汪慕峰， 韋篤取, ， 羅曉曙， 張　波

(1.廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院，桂林　541004; 2.華南理工大學(xué) 電力學(xué)院， 廣州　510610)

基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論的無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)混沌振蕩控制

汪慕峰1， 韋篤取1,2， 羅曉曙1， 張波2

(1.廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院，桂林541004; 2.華南理工大學(xué) 電力學(xué)院， 廣州510610)

基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，對(duì)無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)(BLDCM)系統(tǒng)的混沌振蕩進(jìn)行控制。首先理論上證明了該控制策略能使混沌系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，然后利用數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制策略的正確性和有效性。研究結(jié)果對(duì)保證無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

有限時(shí)間穩(wěn)定理論;Lyapunov穩(wěn)定性理論;混沌控制;無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)

無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)(Brushless DC Motor, BLDCM)因具有高轉(zhuǎn)矩、高速度、體積小、故障率低等優(yōu)點(diǎn)，在工農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、國(guó)防科技等各個(gè)領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用。由于BLDCM的穩(wěn)定運(yùn)行直接影響生產(chǎn)自動(dòng)化的效率，因此其穩(wěn)定運(yùn)行受到了專家學(xué)者們的普遍關(guān)注。Kuroe等[1]首次發(fā)現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)機(jī)中的混沌振蕩以來(lái)，人們對(duì)各類電動(dòng)機(jī)中的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究[2-6]。Hemati等[7-8]通過研究發(fā)現(xiàn)， BLDCM系統(tǒng)在某些參數(shù)條件下會(huì)產(chǎn)生混沌振蕩。研究還表明，混沌的存在是BLDCM系統(tǒng)發(fā)生故障的重要原因之一，因此對(duì)BLDCM混沌振蕩控制問題的研究，引起了人們的極大興趣，并提出了許多控制方法，例如，模糊控制(fuzzy control)法[11]、反饋線性化(feedback linearization)法[12]、滑模(sliding mode control)控制法[12]、反向遞推(following back-stepping)法[13]、分段二次狀態(tài)反饋(piecewise quadratic state feedback)法[14]等。另一方面，有限時(shí)間穩(wěn)定理論指的是不穩(wěn)定系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)被控制到穩(wěn)定態(tài)[15]。有限時(shí)間穩(wěn)定控制是一種能對(duì)非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效控制的方法，能使受控系統(tǒng)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。到目前為止，盡管學(xué)者們利用有限時(shí)間穩(wěn)定理論對(duì)混沌系統(tǒng)控制做了很多研究[15-19]，但是基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論控制BLDCM混沌振蕩的研究尚屬少見。為此，本文基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)非線性混沌控制器，對(duì)BLDCM系統(tǒng)的混沌振蕩進(jìn)行控制。理論證明和數(shù)值仿真結(jié)果表明，控制器能迅速使電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。本文提出的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效果顯著、控制代價(jià)小，具有較好的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1　無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)無(wú)量綱數(shù)學(xué)模型為[7-10]：

(1)

式中，ω，Iq，Id為系統(tǒng)狀態(tài)變量，分別表示轉(zhuǎn)子角速度和d,q軸定子電流；σ，η，γ和δ為系統(tǒng)參數(shù)，均為正值。在BLDCM運(yùn)行中，系統(tǒng)參數(shù)的大小會(huì)受到溫度、噪聲等工作環(huán)境的影響而改變，研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)參數(shù)σ，η，γ和δ在某些取值范圍內(nèi)，BLDCM會(huì)產(chǎn)生混沌振蕩[7-8]。 圖1為系統(tǒng)參數(shù)σ=4.55，η=4.8，γ=5.58，δ=1.0時(shí)BLDCM的混沌吸引子。

圖1　無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor in BLDCM

2　有限時(shí)間穩(wěn)定理論概念

考慮如下非線性系統(tǒng)[20]：

(2)

式中：x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)變量，f:D→Rn是定義域D到n維空間Rn中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

定義1[21]：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的且為有限時(shí)間收斂時(shí)，它的平衡點(diǎn)x=0為連續(xù)有限時(shí)間穩(wěn)定的。有限時(shí)間收斂表示存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)T(x):D0{0}→(0,+∞)使得對(duì)?x0∈D0?D。系統(tǒng)(2)的解可記為x(t,x0)：

(2) 當(dāng)t>T(x0)時(shí)，有x(t,x0)=0；

如果D=D0=Rn，則系統(tǒng)(2)滿足全局有限時(shí)間穩(wěn)定，即系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量總能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

引理1[22]：假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足微分不等式

(3)

式中：m>0，0<ξ<1是常數(shù)，那么對(duì)于任何初始時(shí)間t0，V(t)都滿足不等式：

V1-ξ(t)≤V1-ξ(t0)-

m(1-ξ)(t-t0),t0

(4)

V(t)≡0,?t>t1

(5)

式中：

(6)

證明[23]: 考慮下面的微分方程

(7)

等式(7)的唯一解如下

x1-ξ(t)≤x1-ξ(t0)-ε(1-ξ)(t-t0),

t0

(8)

并且有V(t)≡0,?t>t1。這里的t1同樣由式(8)表示。證明完畢。

引理2[24]：假設(shè)0

3　基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論控制BLDCM的混沌振蕩

本節(jié)利用有限時(shí)間穩(wěn)定理論控制BLDCM的混沌振蕩。我們?cè)谙到y(tǒng)(1)中加上控制項(xiàng)u1，u2和u3，所得受控BLDCM系統(tǒng)如：

(9)

下面基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)控制器，使BLDCM在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。首先引出我們的定理：

定理1：如果設(shè)計(jì)的控制器如

(10)

其中K≤1，E=i/j(j>i是正的奇整數(shù))，那么混沌BLDCM能在有限時(shí)間內(nèi)被控制到平衡點(diǎn)。

證明：把u1代入式(9)的第一項(xiàng)，可得

(11)

把u2，u3和ω=0代入式(9)的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，可得

(12)

綜上所述，當(dāng)時(shí)間t>T2時(shí)，系統(tǒng)(9)會(huì)在控制器的作用下到達(dá)平衡點(diǎn)X=(0,0,0)。定理得證。

控制器(10)的分?jǐn)?shù)階部分具有濾波器特性，因此在物理上可以通過構(gòu)造合適的濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)控制器的分?jǐn)?shù)階部分。

4　數(shù)值仿真

本節(jié)應(yīng)用數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證控制器的有效性。使用

步長(zhǎng)h=0.002的四階Runge-Kutta公式解微分方程。BLDCM的初始值選擇為(ω(0),Iq(0),Id(0))=(2.0,5.0,3.0)，控制參數(shù)選擇為K=0.8，E=0.5，其他系統(tǒng)參數(shù)取值與本文第二節(jié)相同。若無(wú)控制器加入時(shí)，BLDCM處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)如圖2所示。在第50 s時(shí)加入控制器，系統(tǒng)的混沌振蕩得到控制，狀態(tài)變量ω，Iq和Id很快穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。圖3～圖5所示為加入控制器前后，BLDCM狀態(tài)變量ω，Iq和Id的變化情況, 其中插圖為第50 s附近的局部放大圖。從放大圖可以看出，系統(tǒng)加入控制器后大約2 s時(shí)間穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。

圖2　無(wú)控制器加入時(shí), BLDCM系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)Fig.2 The Lyapunov exponents of chaotic BLDCM without controller

圖3 BLDCM狀態(tài)變量ω的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.3TheevolutionofstatevariableωanditspartialenlargedviewinBLDCM圖4 BLDCM狀態(tài)變量Iq的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.4TheevolutionofstatevariableIqanditspartialenlargedviewinBLDCM圖5 BLDCM狀態(tài)變量Id的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.5TheevolutionofstatevariableIdanditspartialenlargedviewinBLDCM

5　結(jié)　論

本文基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種BLDCM混沌振蕩的控制方法。首先，利用有限時(shí)間穩(wěn)定的基本理論設(shè)計(jì)非線性控制器。然后，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明所提出的控制方法在理論上的正確性。最后，數(shù)值仿真結(jié)果表明該控制策略的有效性和可行性。本文所設(shè)計(jì)的控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制效果好等優(yōu)點(diǎn)，因此有較好的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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Chaos control in a brushless DC motor based on finite-time stability theory

WANG Mu-feng1, WEI Du-qu1,2, LUO Xiao-shu1, ZHANG Bo2

(1. College of Electronic Engineering, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China;2. College of Electric Power, South China University of Technology, Guangzhou 510610, China)

Here, a nonlinear controller was designed to control chaos in a BLDCM system based on finite-time stability and Lyapunov stability theory. Theoretical analysis proved that this control strategy can stabilize the chaotic system at the equilibrium point within a finite time. The numerical simulation results demonstrated the correctness and effectiveness of the proposed control strategy. It was shown that the control strategy has an important meaning for stable operation of a BLDCM in industrial automation manufacturing.

finite-time stability theory; lyapunov stability theory; chaos control; brushless DC motor (BLDCM)

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.015

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目資助課題(50937001)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助課題(61263021;11262004;10947011;11562004)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-07-13

汪慕峰 男，碩士生，1990年生

韋篤取 男，教授, 1975年生

TM341

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