斜裂紋懸臂梁非線性振動(dòng)特性分析

馬　輝, 曾　勁， 郎自強(qiáng), 太興宇

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽　110819；2. 謝菲爾德大學(xué) 自動(dòng)控制與系統(tǒng)工程系,英國　Sheffield S1 3JD； 3. 沈陽鼓風(fēng)機(jī)集團(tuán)股份有限公司，沈陽　110869)

斜裂紋懸臂梁非線性振動(dòng)特性分析

馬輝1, 曾勁1， 郎自強(qiáng)2, 太興宇3

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819；2. 謝菲爾德大學(xué) 自動(dòng)控制與系統(tǒng)工程系,英國Sheffield S1 3JD； 3. 沈陽鼓風(fēng)機(jī)集團(tuán)股份有限公司，沈陽110869)

針對(duì)工程中懸臂桿件可能出現(xiàn)的斜裂紋故障，基于ANSYS軟件對(duì)斜裂紋懸臂梁的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。僅考慮懸臂梁的彎曲振動(dòng)，采用混合單元建立了斜裂紋懸臂梁的有限元模型，該模型在裂紋位置采用平面單元(Plane183)來模擬，采用接觸單元來模擬裂紋的呼吸效應(yīng)，在遠(yuǎn)離裂紋位置采用梁?jiǎn)卧?Beam188)來模擬，通過與純平面單元的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比，首先驗(yàn)證了模型的精度，其次對(duì)比了該模型相對(duì)于純平面單元模型的計(jì)算效率;隨后還分析了裂紋角度和激振力幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。研究表明隨著裂紋角度的增加，裂紋導(dǎo)致的系統(tǒng)非線性特性更為明顯；系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生的基頻及倍頻成分幅值與激振力幅值具有線性關(guān)系。

斜裂紋；懸臂梁；非線性振動(dòng)；呼吸效應(yīng)；有限元

為分析方便，工程中很多構(gòu)件都通過簡(jiǎn)化為懸臂梁來進(jìn)行定性分析，如汽輪機(jī)和風(fēng)機(jī)葉片等[1]。裂紋作為結(jié)構(gòu)損傷的主要形式之一，很多學(xué)者對(duì)懸臂梁的裂紋損傷機(jī)理開展了大量研究，這些研究按照內(nèi)容主要可分為：裂紋梁的建模和裂紋導(dǎo)致的非線性機(jī)理[2-3]。目前針對(duì)裂紋的模擬，主要采用張開裂紋模型和呼吸裂紋模型。當(dāng)靜載荷(重力、恒定的扭矩等)相對(duì)于動(dòng)載荷占據(jù)主導(dǎo)地位時(shí)，裂紋可以簡(jiǎn)化為張開裂紋模型來處理[4-5]，現(xiàn)有的張開裂紋模型可分為：等效梁段裂紋模型、局部柔度裂紋模型和連續(xù)質(zhì)量梁裂紋理論[6-7]。開裂紋模型的優(yōu)點(diǎn)是建模簡(jiǎn)單，但它不能模擬裂紋導(dǎo)致的非線性響應(yīng)，如亞諧和超諧共振。

當(dāng)動(dòng)載荷的影響遠(yuǎn)大于靜載荷的影響時(shí)，在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，裂紋將存在周期性的張開和閉合過程(也稱為呼吸過程)，在這種情況下采用張開裂紋模型將會(huì)導(dǎo)致一定的差別，此時(shí)裂紋模擬需要采用呼吸裂紋模型[8]?，F(xiàn)有的呼吸裂紋模型主要包括：方波開合模型，余弦波模型和接觸模型。方波模型假設(shè)裂紋僅存在張開和閉合兩種狀態(tài)，兩者交替運(yùn)行，其主要缺點(diǎn)在于系統(tǒng)狀態(tài)變化時(shí)容易出現(xiàn)突變和病態(tài)；余弦波模型考慮了裂紋張開和閉合之間的過渡過程，該模型不需要實(shí)時(shí)識(shí)別出裂紋的開閉狀態(tài)，與實(shí)際裂紋開閉規(guī)律存在一定的差異；接觸模型，采用有限元或邊界元法的接觸單元來模擬裂紋的開閉，更接近實(shí)際情況，缺點(diǎn)是接觸模型過于復(fù)雜，容易造成數(shù)值不收斂?；诙S平面單元有限元模型模擬裂紋梁，采用接觸單元模擬裂紋的呼吸效應(yīng)，很多學(xué)者分析了裂紋導(dǎo)致的復(fù)雜非線性振動(dòng)響應(yīng)[9-12]。

由上述文獻(xiàn)可知，目前對(duì)于裂紋懸臂梁的研究多局限于橫向直裂紋，對(duì)于斜裂紋的研究還很少[13]。此外，在有限元計(jì)算中多采用全部實(shí)體或平面單元來模擬裂紋梁，由于自由度多導(dǎo)致計(jì)算效率較低。本文在文獻(xiàn)[9-13]的基礎(chǔ)上，基于ANSYS軟件提出了混合單元(平面單元和梁?jiǎn)卧?的裂紋懸臂梁建模方法，并與平面單元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的有效性，進(jìn)而基于混合單元模型分析了不同裂紋角和激振力作用下斜裂紋懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)。

1呼吸裂紋懸臂梁有限元模型

1.1基于接觸單元的呼吸裂紋模擬

本文的研究對(duì)象為帶有斜裂紋的細(xì)長(zhǎng)懸臂梁，見圖1(a)，懸臂梁長(zhǎng)度L=300 mm，橫向斜裂紋距離懸臂端的位置為d，斜裂紋傾斜角為θ，裂紋深度為a(裂紋的有效深度定義為asinθ)，梁的截面尺寸為b×h=20 mm×20 mm。材料參數(shù)如下：彈性模量E=206.6 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。載荷加載位置見圖1(a)。本文將裂紋的張開和閉合行為看做局部的接觸問題，忽略裂紋接觸面間的摩擦，以此模擬裂紋梁的呼吸行為。左側(cè)裂紋面為目標(biāo)面，右側(cè)裂紋面為接觸面。裂紋在振動(dòng)過程中存在三種不同的接觸狀態(tài)：① 裂紋張開，此時(shí)兩接觸面節(jié)點(diǎn)分離；② 裂紋閉合，此時(shí)兩接觸面節(jié)點(diǎn)具有相同的位移，等同于無裂紋狀態(tài)；③ 裂紋處于部分閉合部分張開的過渡狀態(tài)，此時(shí)裂紋表面存在壓力釋放和壓力聚集的過程，過渡狀態(tài)可以真實(shí)地反映裂紋的呼吸漸變過程。裂紋接觸面示意圖見圖1(b)。假設(shè)接觸面上節(jié)點(diǎn)k所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)面線段由節(jié)點(diǎn)k1和k2組成，節(jié)點(diǎn)k0為最接近節(jié)點(diǎn)k的目標(biāo)面上的點(diǎn)，t和n為節(jié)點(diǎn)k0的單位切向和法向向量。所建立的裂紋接觸單元，見圖1(c)。

圖1　斜裂紋懸臂梁Fig.1 Cantilever beam with a transverse slant crack

采用增廣的拉格朗日法，確定裂紋接觸邊界不相互滲透，此方法通過在接觸法向施加一個(gè)適當(dāng)?shù)牧?，使?jié)B透深度在規(guī)定的容差范圍內(nèi)，其接觸力為[14-16]：

(1)

(2)

式中:ε為給定的滲透容差，當(dāng)滲透量在一個(gè)給定的平衡迭代后，超過了最大允許滲透量，每個(gè)接觸單元的接觸剛度就會(huì)通過拉格朗日乘子λ來擴(kuò)張，這個(gè)過程不斷重復(fù)直到滲透量比最大允許值小為止。

考慮外載荷作用下的裂紋懸臂梁的有限元模型，可以寫成如下通用形式：

(3)

式中:M、C、K和u分別為系統(tǒng)總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和位移向量。λ為有關(guān)拉格朗日乘子的向量，B包含法向和切向的接觸約束矩陣，g0為裂紋面間初始法向間隙有關(guān)的向量，F(xiàn)e為外載荷向量。本文采用瑞利阻尼形式來確定阻尼矩陣C(設(shè)置比例阻尼系數(shù)α=50，β=0)，采用Newmark-β數(shù)值積分法結(jié)合Newton-Raphson迭代法，求解考慮接觸的非線性微分方程組，即上面提及的式(3)。

1.2基于混合單元的呼吸裂紋梁有限元模型

許多出版的文獻(xiàn)采用純平面單元研究裂紋梁的動(dòng)力學(xué)特性，見圖2(a)。假設(shè)在裂紋附近采用平面單元，而在遠(yuǎn)離裂紋的區(qū)域采用更為簡(jiǎn)化的一維單元(比如梁?jiǎn)卧?，其計(jì)算效率勢(shì)必將提高很多。根據(jù)這一設(shè)想，本文基于ANSYS軟件，采用8節(jié)點(diǎn)的平面單元Plane183(帶厚度的平面應(yīng)力狀態(tài))來模擬裂紋區(qū)域，采用1/4節(jié)點(diǎn)單元模擬裂紋尖端的奇異性；在遠(yuǎn)離裂紋的區(qū)域采用Beam188梁?jiǎn)卧獊砟M，即采用Plane183和Beam188混合單元，來建立裂紋梁有限元模型，見圖2(b)。本文通過建立接觸對(duì)的方式實(shí)現(xiàn)Beam188單元和Plane183單元的連接，其中目標(biāo)單元為Targe169，接觸單元為Conta172，接觸算法采用多點(diǎn)約束法(MPC)，接觸面設(shè)置為綁定接觸。

圖2　裂紋懸臂梁有限元模型 (θ=90°)Fig.2 Finite element model of cantilever beam with θ=90°

裂紋梁的基本參數(shù)為d=81 mm，θ=90°，a=10 mm。值得說明的是，平面單元區(qū)寬度w的選擇對(duì)混合單元模型的計(jì)算結(jié)果有著一定的影響。本文通過常開裂紋梁第1階彎曲固有頻率f1來選擇合適的寬度，見圖3所示。由圖3可知，隨著裂紋區(qū)寬度的增加，采用混合單元建立的裂紋梁模型一階固有頻率逐漸趨近于純平面單元建立的開裂紋梁模型的第1階固有頻率，并且當(dāng)裂紋區(qū)寬度w≥40 mm，二者的第1階固有頻率基本相等。因此，本文選擇裂紋區(qū)寬度w為50 mm進(jìn)行后續(xù)的相關(guān)仿真工作。為驗(yàn)證建模方法的合理性，本文對(duì)比了平面單元和混合單元建立的開裂紋梁前3階振型，見圖4所示。由圖可知，兩種方法所獲得的固有頻率和模態(tài)振型均誤差很小，這也再次證明了本文所提方法的有效性及平面單元區(qū)選擇寬度的合理性。

圖3　平面單元區(qū)寬度對(duì)第1階固有頻率f1的影響(注： f1表示第1階固有頻率)Fig.3 Effect of width of plane element region on the first bending natural frequency f1 of open crack

圖4　兩種有限元模型下的前3階振型圖Fig.4 The first three mode shapes obtained by two FE models

1.3基于振動(dòng)響應(yīng)的模型有效性評(píng)估

本節(jié)主要針對(duì)1.2節(jié)中選用的裂紋梁模型作進(jìn)一步的對(duì)比驗(yàn)證，旨在說明采用混合單元建立裂紋梁模型替代純平面單元建立裂紋梁模型的合理性，主要從計(jì)算精度和計(jì)算效率兩個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比。分析中采用的計(jì)算機(jī)配置：Intel(R) Core(TM) i3-2120，3.3 GHz處理器；內(nèi)存4 G；64位Windows 7專業(yè)版操作系統(tǒng)。研究裂紋梁模型在簡(jiǎn)諧載荷激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，簡(jiǎn)諧載荷的數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=F0sin(2πfet)，式中F0表示的是激振力的幅值，fe表示的是激振頻率，t為載荷的作用時(shí)間。本節(jié)仿真所選擇的載荷參數(shù)：F0=100 N，fe=140 Hz，計(jì)算100個(gè)周期，每個(gè)周期劃分為128個(gè)載荷步。測(cè)試結(jié)果表明采用平面單元計(jì)算時(shí)間為1.15 h，混合單元計(jì)算時(shí)間0.44 h，計(jì)算時(shí)間縮減了61.74%。提取施加載荷位置處的y向位移響應(yīng)，幅頻譜圖以及裂紋位置接觸單元的平均接觸壓力(E1、E2和E3位置，見圖1(c))。由圖5可知，采用兩種方法所獲得的振動(dòng)響應(yīng)幾乎相同，這也再次證明了混合單元在計(jì)算精度上也是可以接受的?；谒⒌幕旌蠁卧Ｐ?，計(jì)算開裂紋、呼吸裂紋和閉裂紋工況下第1階固有頻率附近的幅頻響應(yīng)曲線，由圖6可知由于裂紋的呼吸作用導(dǎo)致梁的自由端的位移幅值在張開半周(y的正向)大于裂紋閉合半周(y的負(fù)向)；由于裂紋的存在使得梁的剛度減小，所以呼吸裂紋梁和開裂紋的固有頻率小于無裂紋梁，而共振幅值大于無裂紋梁。這也說明了采用呼吸裂紋模型可以準(zhǔn)確的評(píng)估剛度時(shí)變導(dǎo)致的系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)。

圖5　兩種模型的響應(yīng)對(duì)比Fig. 5 Vibration responses comparison between two FE models

圖6　開裂紋、呼吸裂紋和無裂紋工況下幅頻響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude responses under open crack, breathing crack and healthy crack conditions

2不同裂紋角及激振力幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響

本節(jié)主要分析裂紋角和激振力幅值對(duì)裂紋梁系統(tǒng)的振動(dòng)影響規(guī)律，采用的仿真工況，如表1所示。采用Newmark-β方法進(jìn)行數(shù)值仿真，提取的振動(dòng)響應(yīng)為激振點(diǎn)y向的振動(dòng)位移。

2.1裂紋角的影響

圖7為不同裂紋角度下的三維譜圖，表2給出了對(duì)應(yīng)圖7的不同頻率成分下的幅值數(shù)據(jù)。圖8為三個(gè)裂紋角度(θ=30°, 60°, 90°)下的幅頻響應(yīng)曲線。由圖7、圖8和表2，可知裂紋角對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響如下：

表1　仿真參數(shù)表

(1) 從裂紋導(dǎo)致的頻率特征上來看(見圖7)，不同裂紋角度所出現(xiàn)的均為倍頻率成分(2fe和3fe)，這主要是由于裂紋呼吸導(dǎo)致的剛度時(shí)變所致。由于不同裂紋角度所對(duì)應(yīng)的裂紋長(zhǎng)度，在y向的投影是相同的，這導(dǎo)致裂紋梁的振動(dòng)響應(yīng)的基頻fe幅值差距不大，而倍頻成分幅值，從相對(duì)比值來看(見表2)，2fe隨著裂紋角度的增加，其相對(duì)幅值逐漸增大，其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)幅值也是逐漸增大，從30°裂紋下的0.435 9增加到90°裂紋下的0.963 3，這也表明呼吸裂紋導(dǎo)致的非線性特性在加強(qiáng)；3fe幅值也展示了增大的趨勢(shì)，但增幅程度要明顯弱于2fe。在小裂紋角下，2fe和3fe幅值較小，主要由于裂紋的接觸面較大，裂紋的呼吸效應(yīng)較弱所致。

圖7　不同裂紋角度下三維譜圖Fig.7 Spectrum cascades under different crack angles

(2) 由三個(gè)裂紋角下的幅頻響應(yīng)可以看到裂紋導(dǎo)致的超諧共振現(xiàn)象(見圖8)；從峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的固有頻率可以看出，在共振時(shí)30°所對(duì)應(yīng)的呼吸裂紋固有頻率為165.5 Hz，而60°和90°均對(duì)應(yīng)為168.5 Hz；30°裂紋角下的超諧共振響應(yīng)非常微弱；這些響應(yīng)特征均表明隨著裂紋角的增加其非線性特征是逐漸增強(qiáng)的。

表2　不同裂紋角度下各頻率成分幅值對(duì)比

注：“↑”和“↓”分別表示隨著角度的增加幅值逐漸增加和減小。

圖8　不同裂紋角度下幅頻響應(yīng)曲線 (θ=30°, 60°, 90°)(注： fc表示呼吸裂紋梁第1階固有頻率)Fig. 8 Amplitude frequency responses under different crack angles (θ=30°, 60°, 90°)

2.2激振力幅的影響

圖9為不同激振力幅值下的三維譜圖，表3給出了對(duì)應(yīng)圖9的不同頻率成分下的幅值圖，圖10為兩個(gè)激振力幅值(F0= 50, 100 N)下的幅頻響應(yīng)曲線。由圖9、圖10和表3可知,激振力幅值主要影響振動(dòng)響應(yīng)的幅值，對(duì)于頻率成分沒有影響；隨著激振力幅值的增加，基頻(fe)幅值基本上成線性增長(zhǎng)，而倍頻成分(2fe和3fe)相對(duì)幅值基本保持不變。

表3　不同激振力幅值下的各頻率成分幅值對(duì)比

注：“↑”和“↓”分別表示隨著角度的增加幅值逐漸增加和減小。

圖9　不同激振力幅值下的三維譜圖Fig. 9 Spectrumcascades under different amplitudes of excitation force

圖10　不同激振力幅值下幅頻響應(yīng)曲線 (F0=50 N, 100 N)(注： fc表示呼吸裂紋梁第1階固有頻率)Fig. 10 Amplitude frequency responses under different amplitudes of excitation forces (F0=50 N, 100 N)

3結(jié)論

采用ANSYS軟件，基于混合單元的建模方法，本文提出了一種呼吸斜/直裂紋懸臂梁的有限元建模方法，并基于所建立的模型，分析了不同裂紋角度和激振力幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律，主要結(jié)論如下：

(1) 裂紋區(qū)域采用基于帶厚度的平面應(yīng)力假設(shè)的平面單元(Plane183)來模擬，采用1/4節(jié)點(diǎn)單元模擬裂紋尖端的奇異性；在遠(yuǎn)離的裂紋區(qū)域內(nèi)選擇梁?jiǎn)卧?Beam188)來模擬；平面單元和梁?jiǎn)卧g采用接觸單元進(jìn)行連接，接觸算法采用多點(diǎn)約束法(MPC)，接觸面設(shè)置為綁定接觸；通過與全部平面單元(Plane183)對(duì)比表明，基于混合單元的建模方法在計(jì)算效率上大大提高，而計(jì)算精度也和平面單元幾乎完全相同。

(2) 由于裂紋導(dǎo)致的時(shí)變剛度影響，在系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)中會(huì)出現(xiàn)超諧共振現(xiàn)象；隨著裂紋角度的增加，裂紋導(dǎo)致的非線性加強(qiáng)，主要體現(xiàn)在2倍頻(2fe)和3倍頻(3fe)相對(duì)基頻幅值(fe)增加；而激振力幅值主要影響基頻和倍頻的幅值，這些幅值隨激振力幅值的增加是線性增大的。

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Nonlinear vibration characteristics analysis of a cantilever beam with slant crack

MA Hui1, ZENG Jin1, LANG Zi-qiang2, TAI Xing-yu3

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China; 2. Department of Automatic Control and Systems Engineering, The University of Sheffield, Sheffield S1 3JD, UK; 3. Shenyang Blower Works Group Corporation, Shenyang 110869, China)

Aiming to investigate the slant crack fault of a cantilever bar or beam, this paper analyzes the nonlinear dynamic characteristics of a cantilever beam with a slant crack based on ANSYS software. Assuming that only a bending vibration of the cantilever beam is considered, a finite element (FE) model is established using mixed elements. In the model, the plane elements (Plane 183) are adopted in the crack region and the contact elements are used to simulate the breathing effect of the slant crack. Moreover, beam elements are utilized in the regions that are far away from the crack region. By comparing this with the FE model composed by full plane elements, the accuracy of the developed model is verified; in addition, the calculation efficiency is evaluated. Finally, the effects of crack angles and the amplitude of the excitation force on the vibration responses of the system are also analyzed. The results show that the nonlinear characteristics caused by a slant crack are more obvious with the increasing crack angles. Among the vibration responses, the amplitudes of the base frequency and its multiple frequencies have a linear relationship with the amplitudes of the excitation force.

slant crack; cantilever beam; nonlinear vibration; breathing effect; finite element

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.013

國家自然科學(xué)基金委員會(huì)與中國民用航空局聯(lián)合資助項(xiàng)目(U1433109);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(N130403006;N140301001);教育部新世紀(jì)人才支持計(jì)劃 (NCET-11-0078)資助項(xiàng)目

2015-04-29修改稿收到日期：2015-06-23

馬輝 男，博士，副教授，1978年9月生

TH113

A