移動簡諧載荷作用下層狀地基-軌道耦合系統動力響應分析

巴振寧， 金　威， 梁建文,2

(1.天津大學 建筑工程學院，天津　300072； 2. 天津大學 天津市土木工程結構及新材料重點實驗室，天津　300072)

移動簡諧載荷作用下層狀地基-軌道耦合系統動力響應分析

巴振寧1，2， 金威1， 梁建文1,2

(1.天津大學 建筑工程學院，天津300072； 2. 天津大學 天津市土木工程結構及新材料重點實驗室，天津300072)

采用格林函數方法求解層狀地基-軌道耦合系統在移動簡諧載荷作用下的動力響應問題。通過求解層狀地基表面作用移動均布線載荷時的動力格林影響函數，由位移連續(xù)條件實現層狀地基與軌道的耦合，求得移動簡諧載荷作用下頻率-波數域內的系統動力響應，最后通過傅里葉逆變換求得時間-空間域內的動力響應;與已有結果的比較驗證了方法的正確性，并以均勻半空間地基和基巖上單一土層地基-歐拉梁耦合系統為模型，研究載荷振動頻率、移動速度、地基剛度以及土層厚度對動力響應的影響。研究表明移動簡諧載荷頻率較高時與移動靜載荷情況不同，不再具有跨音速時地表位移幅值最大的規(guī)律；成層地基-軌道耦合系統在移動簡諧載荷作用下的動力響應與均勻地基情況存在顯著差異，當載荷頻率與層狀地基固有頻率接近時，地基表面位移幅值較大；另外隨著基巖與土層剪切波速比的增大，載荷以超音速經過后地基表面位移振動更加劇烈，振動時間更長，隨著土層厚度的增大，位移幅值逐漸向低頻區(qū)域遷移。

移動簡諧載荷；層狀地基；格林函數；動力響應

近些年來，我國軌道交通發(fā)展迅速，緩解了交通壓力的同時極大的促進了沿線地區(qū)經濟的發(fā)展，然而列車運行引起的環(huán)境振動問題也愈顯突出。列車運行產生的軌道和周圍地基的振動問題已成為交通工程和土木工程的熱點研究課題，問題的研究對于保障列車安全運行及評估沿線的環(huán)境振動問題有著重要的意義。

列車運行引起的環(huán)境振動問題，實質是列車運行產生的應力波在地基中的傳播問題，屬于波動問題的范疇。自Sneddon首次研究了“亞音速”移動線載荷作用于均勻半空間表面時的二維動力響應問題后，諸多學者針對該問題進行了理論研究。其中文獻[1-9]將問題簡化為地基表面的移動載荷，研究了地基的動力響應問題。為使模型更為精確，文獻[10-17]進一步建立了軌道-地基的耦合動力系統，對周圍地基及軌道的動力響應進行了研究。

值得指出的是以上關于軌道-地基的耦合系統列車移動載荷作用下的動力響應研究，均假定載荷為軸重靜力載荷，然而列車運行過程中，除軸重載荷外還包括由于軌道不平順等因素產生的動載荷(一般假定為簡諧載荷)。關于移動簡諧載荷作用下軌道-地基耦合系統的動力響應研究相對較少。Sheng等[18]建立軌道結構多層梁與地基耦合模型研究了移動簡諧載荷作用下軌道和地基振動問題；Sheng等[19]進一步建立車輛-軌道-地基耦合系統研究了軌道不平順引起的軌道和地基振動問題；Auersch[20]采用有限元與邊界元耦合方法研究了軌道不平順引起的地基振動問題；Steenbergen等[21]采用均勻半空間地基，考慮地基與軌道的接觸狀態(tài)，研究了軸重載荷和軌道不平順引起的軌道和地基振動；蔡袁強等[22]建立列車-軌道-飽和地基耦合系統，采用半解析方法研究了軌道不平順引起的地基振動問題。

分析以上文獻發(fā)現，關于由軌道不平順引起軌道和地基振動的研究，大多基于均勻地基的假定，關于層狀地基情況的研究還很少，雖然文獻[18-19]給出了層狀地基情況的部分結果，但并未針對土層動力特性對動力響應的影響進行詳細的研究。根據作者在工程波動方面的研究，成層地基由于考慮了地基自身的動力特性，與均勻地基模型有著本質的差別[23]。因此研究層狀地基-軌道耦合系統由軌道不平順引起的振動問題有著重要的理論意義和工程價值。為此本文在作者給出層狀地基三維精確動力剛度矩陣[24]基礎上，首先在頻率-波數域內進行求解，然后將采用積分變換方法求解時間-空間域內結果，研究了層狀地基-軌道耦合系統在移動簡諧載荷作用下的軌道及地基振動問題，分析了移動載荷激勵頻率、移動速度、尤其是土層的剛度及土層厚度等參數對振動的影響，給出了一些結論。

1模型與計算方法

圖1　層狀地基-軌道耦合系統計算分析模型Fig.1 Layered ground-track coupling system analysis model

1.1層狀場地三維精確動力剛度矩陣及移動均勻線載動力格林函數

以位移u(x,y,z,t)、v(x,y,z,t)和w(x,y,z,t)表示的動力平衡方程為

(1)

式中：λ和μ為Lamb常數。U={u,v,w}T為坐標軸三個方向位移向量。

函數f(x,y,z,t)對時間t以及水平坐標x和y的傅里葉變換和逆變換可表示為

(2a)

f(x,y,z,t)=

(2b)

式中：kx和ky為沿x和y方向的波數，ω為圓頻率，對式(1)進行如式(2a)所示的傅里葉變換得

式中：kS=ω/cS為S波的波數，λ*=λ[1+2isgn(ω)ζ]和μ*=μ[1+2isgn(ω)ζ]為復lamb常數，ζ為材料滯回阻尼比，i為虛數單位。假定土體中標量波(縱波)和矢量波(橫波)的勢函數幅值分別為φ和ψ，由Helmholtz定理，土體中的位移滿足下式

{u,v,w}T=φ+×ψ

(4)

將式(4)代入式(3)，并將ψ分解為ψ1和ψ2，則勢函數φ、ψ1和ψ2可表示為

φ=[Aexp(γ1z)+Bexp(-γ1z)]eiωt-ikxx-ikyy=

(5a)

ψ1=[Cexp(γ2z)+Dexp(-γ2z)]eiωt-ikxx-kyy=

(5b)

ψ2=[Eexp(γ2z)+Fexp(-γ2z)]eiωt-ikxx-ikyy=

(5c)

[Dj]{Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj}T

(6a)

[Sj]{Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj}T

(6b)

(7)

對于成層地基表面作用的移動均布線載荷，令其在時間-空間域內形式為

Pz0(x,y,t)=Pz0δ(y-ct) (-Δ≤x≤Δ)

(8)

對式(8)進行傅里葉變換，將其變換到頻率-波數域中為

(9)

將式(9)中求得的載荷代入式(7)，而令其他載荷為零得

(10)

求解式(10)，可得層狀地基表面的豎向位移

(11)

1.2層狀地基與軌道的耦合

本文將由鋼軌、軌枕、墊層和道床組成的軌道結構模擬為彎曲剛度為EI，其單位質量為M的歐拉梁。歐拉梁在密度為Pz0(y,t)的軌道與地基相互作用力和軌道不平順引起移動簡諧載荷P0eiω0tδ(y-ct)(ω0為動載荷圓頻率)作用下的動力平衡方程為

P0eiω0tδ(y-ct)

(12)

式中:uR為軌道的豎向位移，由層狀地基表面軌道中心處豎向位移軌道位移相等知

uR=w0(0,y,t)=w0(y,t)

(13)

將式(13)代入將式(12)并轉換到頻率-波數域(ky,ω)中得

(14)

由式(9)和式(11)可得

(15)

求解式(14)得

(16)

變換，可得時間-空間域內的層狀地基表面豎向位移w0(x,y,t)。

(17)

由式(13)和式(17)得軌道在時間-空間域內的位移為

(18)

2方法驗證

為驗證本文方法的正確性，圖2給出了本文計算結果與文獻[21]給出均勻地基上歐拉梁在移動簡諧載荷作用下軌道位移幅值的比較。計算中采用的軌道結構參數見表1，均勻半空間地基參數見表2(本文取阻尼比ζ=0.001模擬無阻尼情況)，載荷移動速度為c=40 m/s，移動載荷幅值為P0=225 kN，圖2給出結果為軌道位移幅值隨移動載荷頻率的變化，頻率范圍為ω0=10～500 rad/s(f0=1.6～80 Hz)，從圖2可知，本文結果與文獻[21]給出結果吻合良好，證明了本文方法的正確性。

圖2　本文結果與文獻[21]給出結果的比較Fig.2 Comparisons with results of article [21]

移動速度c/(m·s-1)載荷幅值P0/kN軌道寬度2Δ/m質量密度M/(Kg·m-1)彎曲剛度EI/(N·m-2)阻尼比ζ402253.626402.2×1080.001

表2　文獻[21]采用均勻半空間地基參數

3算例與分析

為研究地基-軌道耦合系統在移動簡諧載荷作用下的動力響應，采用均勻地基和基巖上單一土層地基為例進行計算。計算中將軌道模擬為歐拉梁，軌道參數等見表3。移動列車載荷取為單一輪軸豎向載荷，其幅值為160 kN，頻率為f0=ω0/2π=0 Hz、5 Hz、12.5 Hz和50 Hz，其中f0=0 Hz代表靜力載荷。采用的5種地基模型參數見表4，地基1為均勻半無限地基，其余四種為基巖上單一土層地基。5種地基中，地基1、地基2和地基3對應首層土厚度相同，但基巖與土層剪切波速比不同(阻抗比不同)，而地基2、地基4和地基5對應基巖與土層剪切波速比相同(阻抗比相同)，但土層厚度不同。移動速度以土層的Rayleigh波速(230 m/s)為分界點，取c=120 m/s(低音速)、c=230 m/s(跨音速)和c=350 m/s(超音速)三種情況。

表3　算例載荷運行速度及對應的軌道結構參數

3.1不同地基參數地表位移幅值動力響應

圖3給出了地基1(均勻半無限地基)、地基2和地基3(首層土厚度相同，基巖與土層剪切波速比不同)情況，移動簡諧載荷作用下軌道中心處地表位移幅值時程。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)和f0=5 Hz(簡諧載荷頻率較低)結果發(fā)現，低頻(f0=5 Hz)情況位移幅值時程與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況總體上有著相似的規(guī)律，表現為在低音速(c=120 m/s)時位移幅值基本上關于t=0時刻對稱，位移幅值在跨音速(c=230 m/s)時最大，超音速(c=350 m/s)時位移幅值反而小于低音速情況。從f0=0 Hz和f0=5 Hz結果的比較還可以看出，兩者的差別主要在跨音速情況，f0=0 Hz時載荷經過后(t>0)地基豎向位移幅值的波動明顯要強于f0=5 Hz對應的位移幅值。

表4　半空間及半空間上單一土層地基參數

圖3　不同基巖與土層剪切波速比，地基表面豎向位移幅值時程Fig.3 The time histories of vertical ground surface displacement under different shear wave velocity ratio

比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)與f0=12.5 Hz和50 Hz(中頻和高頻)結果發(fā)現，中高頻(f0=12.5 Hz和50 Hz)情況位移幅值時程與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況明顯不同，地基振動的位移幅值最大值不一定出現在跨音速(c=230 m/s)時。同時比較f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz對應結果發(fā)現，地基振動的位移幅值受載荷振動頻率的影響明顯，如f0=12.5 Hz時，位移幅值在低音速(c=120 m/s)時已表現出關于t=0時刻明顯的不對稱性，且低音速(c=120m/s)時的位移幅值峰值顯著大于超音速(c=350 m/s)和跨音速(c=230 m/s)情況；而f0=50 Hz時，低音速(c=120 m/s)時位移幅值關于t=0時刻表現出更為明顯不對稱，且軌道的位移幅峰值受移動速度的影響較小，低音速、跨音速和超音速時位移幅值峰值接近，僅在載荷經過后(t>0)位移幅值隨著移動速度的增大逐漸減小。

比較均勻半無限地基(地基1)與基巖上單一土層地基情況(地基2和地基3)結果發(fā)現，在低頻(f0=5 Hz)和中頻(f0=12.5 Hz)時兩者存在明顯的差異，尤其是在超音速(c=350 m/s)時載荷經過后(t>0)地基位移存在明顯的周期振動，這是因為均勻半無限地基情況，地基中僅包含移動載荷作用于軌道產生的振動波，該振動波沿半無限地基傳至無窮遠，而基巖上單一土層地基，振動波傳至基巖面后又被反射回土層內，振動波與反射波產生復雜的相干作用。在高頻(f0=50 Hz)時均勻地基與基巖上單一土層地基差異很小，這是因為載荷頻率較高時，地基中波主要集中在高頻部分，振動波沿深度方向衰減明顯，所以基巖面反射波與振動波的相互作用較弱。

比較兩種基巖上單一土層地基(地基2和地基3)結果發(fā)現，土層厚度相同的基巖上單一土層地基，隨著基巖與土層剪切波速比的增大，超音速(c=350 m/s)時移動載荷過后位移幅值的衰減減弱，表現為較大的基巖與土層剪切波速比(地基3)對應著較高的位移幅值和較長的振動持續(xù)時間。中頻(f0=12.5 Hz)低音速(c=120 m/s)時，地基3的位移幅值峰值顯著大于地基2情況，且均大于均勻地基(地基1)情況。這是因為f0=12.5 Hz恰好對應厚度為H=5 m土層的第一共振頻率(f=cS/4H=12.5 Hz)。

圖4給出了地基3、地基4和地基5(土層厚度不同，基巖與土層剪切波速比相同)情況，移動簡諧載荷作用下軌道中心處地表位移幅值時程。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)和f0=5 Hz(簡諧載荷頻率較低)結果，同樣表明低頻(f0=5 Hz)情況位移幅值時程與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況總體較為相似，表現為低音速(c=120 m/s)時隨著土層厚度的增大地表位移幅值逐漸增大，而跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)時位移幅值峰值受土層厚度的影響較小。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)與f0=12.5 Hz和50 Hz(中頻和高頻)結果則發(fā)現，中高頻(f0=12.5 Hz和50 Hz)情況位移幅值時程與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況明顯不同。

比較f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz對應結果發(fā)現，載荷頻率不同時地表位移幅值隨土層厚度的變化也不相同。f0=5 Hz情況，在低音速(c=120 m/s)和跨音速(c=230 m/s)時位移幅值隨著土層厚度的增大逐漸增大，在超音速(c=350 m/s)時土層厚度對位移幅值峰值影響非常小，但是隨著土層厚度的增大，載荷經過后(t>0)地基位移振動的周期變長。f0=12.5 Hz情況，低音速(c=120 m/s)時土層厚度為H=5.0 m時位移幅值峰值最大，這同樣是由于f0=12.5 Hz為地基3對應的固有頻率，跨音速(c=230 m/s)土層厚度為H=1.0 m時位移幅值峰值最大，而超音速(c=350 m/s)時土層厚度對位移幅值峰值影響非常小。f0=50 Hz情況，低音速(c=120 m/s)時土層厚度為H=1.0 m時位移幅值峰值最大，而跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)時土層厚度對位移幅值峰值影響非常小。

圖5給出了地基1(均勻半無限地基)、地基2和地基3(基巖與土層剪切波速比不同，土層厚度相同)情況，移動簡諧載荷作用下軌道中心處地基位移幅值的頻譜。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)和f0=5 Hz(簡諧載荷頻率較低)結果發(fā)現，低頻(f0=5 Hz)情況位移幅值幅值頻譜與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況整體上較為相似，f0=5 Hz的位移幅值頻譜表現為f0=0 Hz位移幅值頻譜整體往較高頻率的偏移。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)與f0=12.5 Hz和50 Hz(中頻和高頻)結果則發(fā)現，中高頻(f0=12.5 Hz和50 Hz)情況位移幅值頻譜與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況明顯不同，尤其是在低音速(c=120 m/s)時。

比較動載荷頻率f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz結果發(fā)現，移動載荷振動頻率對地表位移幅值的頻譜有著顯著的影響。如f0=12.5 Hz情況，在音速(c=120 m/s)時位移幅值在0～40 Hz內均有著較大幅值，f0=50.0 Hz情況，位移幅值頻譜呈現窄頻放大，且隨著移動速度的增大，峰值頻率逐漸向低頻區(qū)域遷移，同時位移幅值的峰值逐漸減小。

比較均勻半無限地基(地基1)與基巖上單一土層地基情況(地基2和地基3)結果發(fā)現，在低頻(f0=5 Hz)和中頻(f0=12.5 Hz)時兩者存在明顯的差異，基巖上單一土層地基的優(yōu)勢頻率成分較均勻地基情況要大，尤其是在跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)時更為明顯。高頻(f0=50 Hz)時地基位移幅值頻譜受地基的影響較小，均勻地基和基巖上單一土層地基均程窄頻放大，峰值頻率位移非常接近。

比較兩種基巖上單一土層地基(地基2和地基3)結果發(fā)現，土層厚度相同的基巖上單一土層地基，位移幅值的峰值頻率位置較為接近，但隨著基于與土層剪切波速比的增大，位移幅值的頻帶變得更窄，同時隨著基巖與土層剪切波速比的增大，峰值頻率處地基的位移幅值逐漸增大。

圖6給出了地基3、地基4和地基5(土層厚度不同，基巖與土層剪切波速比相同)情況，移動簡諧載荷作用下軌道中心處地基位移幅值的頻譜。比較載荷頻率f0=0 Hz(移動靜載)和f0=5 Hz、12.5 Hz、50 Hz(簡諧載荷)結果發(fā)現，低頻(f0=5 Hz)情況位移幅值頻譜與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況總體上較為相似，但中高頻(f0=12.5 Hz和50 Hz)情況位移幅值頻譜與移動靜載荷(f0=0 Hz)情況存在明顯差異。

從圖6中還可以看出，土層厚度變化對軌道的位移響應有著顯著的影響，隨著土層厚度的增大，軌道位移幅值的峰值頻率逐漸向低頻遷移，且這種現象在載荷頻率為低頻(f0=5 Hz)和中頻(f0=12.5 Hz)時更為明顯。

圖4　不同土層厚度，地基表面豎向位移幅值時程Fig.4 The time histories of vertical ground surface displacement under different layer thickness

3.2地表位移幅值隨載荷頻率變化

圖7進一步給出了地基2情況，移動簡諧列車載荷作用下軌道中心處地基位移時程隨載荷頻率的變化。從圖中可以看出，低音速(c=120 m/s)時，地基表面位移幅值在載荷頻率f0=12.5 Hz附近出現峰值，在此頻率前，地基位移隨著頻率的增大逐漸增大，在此頻率之后，地基位移隨著頻率的增大迅速衰減，另外在載荷到達前(t<0)地基已出現較大位移幅值，在載荷過后(t>0)位移幅值迅速衰減；跨音速(c=230 m/s)時，地基表面位移幅值峰值出現在f0=10.0 Hz處，在此頻率之間位移幅值峰值受載荷頻率的影響較小，在此頻率滯后，隨著載荷頻率的增大，位移幅值迅速衰減，同時發(fā)現在頻率較低時，載荷過后(t>0)位移呈現非常明顯的振動現象，振動時間較長，這與低音速(c=120 m/s)情況存在顯著的差別。超音速(c=350 m/s)時，地基表面位移幅值在較寬的頻帶內(f0=0～50.0 Hz)幅值較大，這與低音速和跨音速情況存在明顯差別，同跨音速情況相同，頻率較低時，載荷過后(t>0)位移呈現非常明顯的振動現象。同時由于超音速時載荷的移動速度大于波在地基中的傳播速度，載荷達到前(t<0)位移幅值非常小。

圖5　不同剪切波速比，地基表面豎向位移的傅里葉幅值譜Fig.5 The Fourier spectrum of vertical ground surface displacement under different shear wave velocity ratio

圖6　不同土層厚度，地基表面豎向位移的傅里葉幅值譜Fig.6 The Fourier spectrum of vertical ground surface displacement under different layer thickness

圖7　基巖上單一土層地基表面豎向位移幅值隨載荷頻率變化和時間的變化曲線Fig.7 Vertical ground surface displacement amplitudes with the change of load frequency and time curve

4結論

本文在層狀場地三維精確動力剛度矩陣基礎上，推導了層狀地基在移動表面均布線載荷作用下的動力格林影響函數，通過軌道中心地基豎向位移與軌道位移相等實現成層地基-軌道耦合，首先在頻率-波數域內求解，然后采用傅里葉逆變換將結果變換到時間-空間域中，求得了成層地基-軌道耦合系統在移動簡諧載荷作用下的動力響應。研究了載荷頻率、移動速度以及基巖與土層的剪切波速比和土層厚度對動力響應的影響，得到了以下結論。

(1) 移動簡諧載荷與移動靜載荷作用下地基-軌道耦合系統動力響應有著顯著的差別。簡諧載荷情況在頻率較低時與移動靜載荷情況類似，跨音速時地基表面位移幅值最大，但隨著載荷頻率的增大，不再具有跨音速時位移幅值最大的規(guī)律。

(2) 層狀地基-軌道耦合系統與均勻地基-軌道耦合系統在移動簡諧列車載荷作用下的動力影響存在明顯差異。層狀場地相對于均勻場地情況，在載荷經過后軌道位移幅值出現明顯的周期振動，振動時間較長，位移幅值頻譜變得很窄，當載荷振動頻率與層狀地基固有頻率接近時，軌道的位移幅值較大。

(3) 隨著基巖與土層剪切波速比的增大，超音速時載荷經過后軌道位移幅值增大，振動時間增長，位移幅值頻譜變窄。隨著土層厚度的增大，軌道位移幅值的峰值逐漸向低頻遷移，且這種現象在載荷頻率為中低頻率時更為明顯。

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Dynamic responses of layered foundation-track coupled systems due to moving harmonic loads

BA Zhen-ning1,2, JIN Wei1, LIANG Jian-wen1,2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Municipal Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety, Tianjin University, Tianjin 300072,China)

The dynamic responses of a layered foundation-track coupled system due to moving harmonic loads are evaluated using the Green’s Functions method. The results are firstly obtained in the frequency-wave number domain and then results are obtained in the time-space domain using the inverse Fourier transformation. To do this, the Green’s Functions of moving distributed vertical loads, which are acting on the surface of a layered half-space, are deduced based on the three-dimensional exact dynamic stiffness matrix. The validity of the method is confirmed by comparing the results with previously published results, and the effects of the frequencies and velocities of the moving load. In particular, some effects of layering on the dynamic responses are studied by taking a layered ground-track coupled system and a uniform ground-track coupled system as examples. The results show that the maximum ground surface displacements for the moving harmonic loads may not occur at the transonic speed compared to the moving static loads cases. The dynamic responses of the layered foundation-track coupled system are significantly different from those of the uniform case. The amplitudes of the surface ground displacement are much larger when the frequency of the load is close to the natural frequency of the layered ground. The displacement amplitudes of the ground vibrate more is bigger when the load moving on the track with the same frequency as the intrinsic frequency of the foundation. Also, the frequency spectrums of the displacement amplitudes migrate to the low frequency regions as the depth of the layer becomes thicker.

moving harmonic loads; layered ground; Green’s Function; dynamic response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.010

天津市應用基礎及前沿技術研究計劃(12JCQNJC04700)；國家自然科學基金資助項目(50908156)

2015-04-27修改稿收到日期：2015-06-29

巴振寧 男，博士，副教授，1980年11月生

TH212；TH213.3

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