四邊彈性約束矩形板面內(nèi)自由振動的DQM求解

蒲　育， 滕兆春， 趙海英

(1. 蘭州工業(yè)學(xué)院 土木工程學(xué)院，蘭州　730050； 2. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州　730050)

四邊彈性約束矩形板面內(nèi)自由振動的DQM求解

蒲育1， 滕兆春2， 趙海英1

(1. 蘭州工業(yè)學(xué)院 土木工程學(xué)院，蘭州730050； 2. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州730050)

基于二維線彈性理論，應(yīng)用Halmiton原理，建立了四邊彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動的控制偏微分方程。采用微分求積法(DQM)數(shù)值研究了彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動的無量綱頻率特性。通過設(shè)置彈性剛度系數(shù)為0或∞，問題退化為各種典型邊界矩形板的面內(nèi)自由振動，與已有的矩形板面內(nèi)自振頻率結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果顯示，該分析求解方法行之有效;最后考慮了矩形板邊界條件、長寬比、剛度系數(shù)對自振頻率的影響。

矩形板; 面內(nèi)自由振動; 彈性約束邊界; 無量綱頻率; 微分求積法

眾所周知，平板的振動表現(xiàn)為三種波形：彎曲波，縱波(p波)和剪切波(s波)。板的面外振動通常表現(xiàn)為彎曲波，而面內(nèi)振動表現(xiàn)為縱波和剪切波。由于面內(nèi)振動的頻率通常超出了起主導(dǎo)作用激勵的頻帶，因此，許多學(xué)者從不同的角度大量研究了板的彎曲和面外振動，對于板面內(nèi)自由振動的研究相對較少。近些年，隨著板結(jié)構(gòu)高頻振動在工程中應(yīng)用，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)面內(nèi)振動不僅在高頻振動及能量傳播中起主導(dǎo)作用，而且影響低頻振動[1-3]。

Bardell等[4]首先應(yīng)用Rayleigh-Ritz法獲得了三種常見邊界條件(夾緊、自由、簡支)矩形板面內(nèi)自由振動的頻率及相應(yīng)的振型。Farag等[5]分析求解了C-C-C-C、C-C-C-F和C-F-C-F這三種邊界矩形板的面內(nèi)自由振動問題，并與有限元法得出的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較。而Wang等[6]基于變分原理，采用Kantorovich-Krylov法求解了C-C-C-C、C-F-C-F和C-C-C-F這三種邊界矩形板的面內(nèi)自由振動。Gorman[7]首次采用疊加法分析了其中一組對邊簡支，另一組對邊自由或夾緊矩形板的面內(nèi)自由振動，并且給出了兩種不同的簡支邊界條件，用符號SS1和SS2表示。隨后，Gorman[8]首次獲得了其中一組對邊簡支，另一組對邊自由或夾緊矩形板的面內(nèi)自由振動的精確解和相應(yīng)的振型。Du等[9]采用二重Fourier級數(shù)法，首次研究了彈性約束邊界條件下矩形板的面內(nèi)自由振動。Xing等[10]采用分離變量法獲得了至少一組對邊簡支矩形板面內(nèi)自由振動頻率的解析解和相應(yīng)的振型，其中包括SS1-C-SS2-F和SS2-SS1-SS2-F矩形板的求解。最近，Liu等[11]采用分離變量法，得到了一組對邊簡支，另一組對邊為任意邊界矩形板的面內(nèi)自由振動頻率的解析解及相應(yīng)的振型。

總之，研究矩形板的面內(nèi)自由振動，其解可歸結(jié)為求解常系數(shù)偏微分方程組的特征值，學(xué)者們基于不同的方法，得出了相應(yīng)的數(shù)值解或特定邊界下的解析解。目前，比較常用的數(shù)值解法有有限差分法，有限元法、邊界元法等，但這些方法需要較多的離散點(diǎn)才能達(dá)到所需要的精度，且需要花費(fèi)較大的工作量，而本文采用DQM(Differential Quadrature Method)是一種相對于有限元等可采用較少節(jié)點(diǎn)而獲得較高的計算精度結(jié)果的一種數(shù)值方法。

本文建立了四邊彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動控制微分方程，采用二維DQM數(shù)值研究了各種邊界矩形板自由振動的無量綱頻率特性。結(jié)果顯示，本文采用的分析方法對各種邊界矩形板面內(nèi)自由振動求解行之有效，且具有易收斂、精度高、工作量小等優(yōu)點(diǎn)，并得出一些有益的結(jié)論。

1面內(nèi)自由振動微分方程及邊界條件

1.1面內(nèi)自由振動微分方程的建立

如圖1所示，考慮四邊彈性約束下長為a;寬為b，厚為h的薄矩形板;密度為ρ;泊松比為μ;彈性模量為E;knx0，knx1分別為x=0;x=a處彈簧法向剛度系數(shù);kτx0，kτx1分別為x=0，x=a處彈簧切向剛度系數(shù)，其余剛度系數(shù)kny0，kny1，kτy0，kτy1表示的含義與之類似。設(shè)x方向位移分量為u，y方向位移分量為v，建立如圖1所示的坐標(biāo)系，基于二維線彈性理論，矩形板動能的變分可表示為：

(1)

矩形板應(yīng)變能的變分可表示為：

(2)

對于儲存在邊界約束彈簧中彈性勢能的變分為：

(3)

對系統(tǒng)應(yīng)用Hamilton原理：

(4)

由變分原理，分部積分法，幾何方程及物理方程可得由位移表示的矩形板面內(nèi)自由振動微分方程為：

(5)

圖1　彈性約束邊界矩形板的幾何尺寸Fig.1 Geometry of a rectangular plate with elastic edge supports for in-plane vibration

1.2各種邊界條件

1.2.1四邊彈性約束邊界條件

對系統(tǒng)應(yīng)用Hamilton原理，可獲得由應(yīng)力表示的邊界條件為：

在x=0處，

σx=knx0u，τxy=kτx0v

(6)

在y=0處，

σy=kny0v，τxy=kτy0u

(7)

在x=a處，

σx=-knx1u，τxy=-kτx1v

(8)

在y=b處，

σy=-kny1v，τxy=-kτy1u

(9)

1.2.2各種典型邊界條件

對彈性約束邊界作適當(dāng)?shù)奶幚?通過改變矩形板四邊的剛度系數(shù))，可得各種典型邊界條件。例如，對左邊界x=0而言：

令knx0=∞，kτx0=∞可得夾緊邊界(C)；

令knx0=0，kτx0=0可得自由邊界(F)；

令knx0=0，kτx0=∞可得簡支SS1邊界；

令knx0=∞，kτx0=0可得簡支SS2邊界。

其他邊界與之類似，這里省略。對這四種邊界對應(yīng)組合，可得各種典型邊界條件。

2控制微分方程及邊界條件的無量綱化

2.1控制微分方程的無量綱化

矩形板面內(nèi)位移分量可設(shè)為：

u(x,y,t)=U(x,y)eiωt,

v(x,y,t)=V(x,y)eiωt

(10)

式中：t為時間;i為虛數(shù)單位;ω為固有頻率。

無量綱化如下：

(11)

式中Ω為無量綱頻率，s為長寬比。

將式(10)，式(11)代入式(5)可得控制微分方程：

(12)

2.2邊界條件的無量綱化

由幾何方程及物理方程，將應(yīng)力分量表示為位移分量，再將式(10)與式(11)代入邊界條件式(6)～式(9)可得無量綱化的位移邊界條件式(13)～式(16)：

ξ=0處：

(13)

η=0處：

(14)

ξ=1處：

(15)

η=1處：

(16)

式中:p=x,y;q= 0, 1。

3矩形板面內(nèi)自由振動的特征值

3.1控制微分方程及邊界條件的離散化

由于控制微分方程式(12)及邊界條件式(13)～式(16)為耦合偏微分方程組，求得解析解非常困難，因此本文采用數(shù)值方法——DQM求解。參考文獻(xiàn)[12-14]，在DQM中，矩形板在x方向和y方向的節(jié)點(diǎn)劃分分別采用如下的公式：

(17)

式中：Nξ和Nη分別為ξ方向和η方向的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

(19)

η方向與ξ方向的權(quán)系數(shù)矩陣類似，這里省略。

微分方程式(12)用DQM離散化后為：

(20)

式中：i=2, 3, …,Nξ-1；j=2, 3,…,Nη-1。

邊界條件式(13)～式(16)離散化后分別為：

(21)

式中：i=1;j=2,3,…，Nη-1。

(22)

式中：i=1,2,…，Nξ;j=1。

(23)

式中：i=Nξ;j=2,3,…;Nη-1。

(24)

式中：i=1,2,…，Nξ;j=Nη。

3.2矩形板面內(nèi)自由振動的特征值問題

式(20)與式(21)～式(24)對應(yīng)聯(lián)立后便構(gòu)成了四邊彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動的邊值問題，該邊值問題可用分塊矩陣形式表示為：

(25)

式中：{wb},{wd}分別為矩形板內(nèi)部和邊界處的節(jié)點(diǎn)位移,[Kbb]和[Kbd]為由運(yùn)動方程導(dǎo)出的剛度矩陣,[Kdb]和[Kdd]則為由邊界條件導(dǎo)出的剛度矩陣。

由式(25)消去邊界自由度{wd}得四邊彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動的特征值問題：

[K]{wb}-Ω2[I]{wb}={0}

(26)

式中：[K]=[Kbb]-[Kbd][Kdd]-1[Kdb]，[I]為單位陣，特征向量{wb}描述了四邊彈性約束邊界矩形板面內(nèi)自由振動的振型。

4計算結(jié)果與分析

編寫MATLAB程序可獲得式(26)特征值問題的無量綱頻率。算例中，節(jié)點(diǎn)數(shù)Nξ=17，Nη=13，各種邊界條件的組合順序從邊界x=0→y=0→x=a→y=b邊界。取泊松比μ=0.3，表1～表2分別給出了C-C-C-C及SS1-SS1-SS1-SS1邊界不同長寬比矩形板面內(nèi)自由振動的前6階無量綱頻率，并與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[9]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較。表3～表4分別給出了SS1-F-SS1-F及SS2-C-SS2-C邊界下不同長寬比矩形板面內(nèi)自由振動的前6階無量綱頻率，并和文獻(xiàn)[9]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較。由表1～表4可見，本文獲得的結(jié)果與已有文獻(xiàn)的結(jié)果十分吻合，并且，對于不同的邊界條件，長寬比對自振頻率的影響不同，有增有減。特別地，由表2可知，SS1-SS1-SS1-SS1該邊界的一階頻率不隨長寬比變化，且長寬比s=1時，正方形板的一階頻率與二階頻率相同。類似地，若令剛度系數(shù)Knx0=Kny0=Kτx1=Kτy1=K，而Kτx0=Kτy0=Knx1=Kny1=∞，由此可獲得更為復(fù)雜的一種彈性約束邊界SS1-SS1-SS2-SS2，該邊界在x=0及y=0處受法向彈簧支撐，在x=a及y=b處受切向彈簧支撐。表5則給出了SS1-SS1-SS2-SS2邊界不同剛度系數(shù)正方形板的前6階無量綱頻率，且和文獻(xiàn)[9]的結(jié)果進(jìn)行了比較。由表5可知，自振頻率隨剛度系數(shù)的增大而增大。特別地，當(dāng)剛度系數(shù)K=∞時，SS1-SS1-SS2-SS2邊界退化為C-C-C-C邊界。由表1～表5數(shù)值結(jié)果不難看出：不論對各種典型邊界，還是彈性約束邊界，本文得出的結(jié)果與其非常接近，取較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)就能滿足精度所需，工作量較小，且分析方法對各種邊界條件都行之有效，同時，說明了DQM對于研究本問題的適用性與優(yōu)越性。

表1　C-C-C-C邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(shù)(μ =0.3 )

表2　SS1-SS1-SS1-SS1邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(shù)(μ=0.3 )

表3　SS1-F-SS1-F邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(shù)(μ=0.3 )

表4　SS2-C-SS2-C邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(shù)(μ=0.3)

表5　SS1-SS1-SS2-SS2邊界不同剛度系數(shù)正方形板的無量綱頻率(μ=0.3, s=1 )

為了研究長寬比、邊界條件及剛度系數(shù)對自振頻率的影響，為此，圖2和圖3給出了長寬比s=[1.2,3.0]，9種不同邊界下長寬比對矩形板基頻的影響。圖3中，各彈性邊界對應(yīng)的剛度系數(shù)K=0，由圖2和圖3可知，長寬比在此范圍內(nèi)，基頻Ω1隨s的增大而增大的板分別為：C-C-C-C板、SS2-C-SS2-C板、C-C-C-F板、SS1-C-SS1-C板、C-C-F-F板、SS1-SS1-SS2-SS2板，基頻Ω1隨s的增大而減小的板分別為：F-F-F-F板與C-F-C-F板。值得注意的是：SS1-SS1-SS1-SS1板的基頻隨s的增大而基本保持不變。因此，在不同邊界下，長寬比對自振頻率的影響不同，影響機(jī)理解釋有待進(jìn)一步的研究。

圖2　不同邊界下長寬比s與矩形板基頻Ω1的關(guān)系曲線．Fig.2 The fundamental frequency parameter Ω1 of rectangular plates versus s for different boundary conditions

圖4和圖5給出了更為復(fù)雜的一種彈性約束邊界SS1-SS1-SS2-SS2方形板的剛度系數(shù)與基頻Ω1的關(guān)系曲線。其中，法向剛度系數(shù)Knx0=Kny0=Kn，切向剛度系數(shù)Kτx1=Kτy1=Kτ，而其余剛度系數(shù)Kτx0=Kτy0=Knx1=Kny1=∞。圖4中，橫坐標(biāo)Kτ=[10-1, 103], 且橫坐標(biāo)采用指數(shù)劃分。由圖4可知：對取不同值的法向剛度系數(shù)Kn，Ω1都隨切向剛度系數(shù)Kτ的增大而增大，增大趨勢由明顯變?yōu)榫徛．?dāng)切向剛度系數(shù)Kτ增大到一定值，基頻基本保持不變。圖5中，橫坐標(biāo)Kn=[10-1, 103], 橫坐標(biāo)也采用指數(shù)劃分。由圖5可知：對取不同值的切向剛度系數(shù)Kτ，類似于圖4，基頻Ω1與法向剛度系數(shù)Kn也有類似的變化關(guān)系。并且，圖4和圖5表明當(dāng)彈性剛度系數(shù)增大到一定值時，彈性剛度過渡到“剛性”狀態(tài)，彈性剛度對Ω1的影響就非常小了，即系統(tǒng)的彈性剛度越大，頻率較高。約束越強(qiáng)，頻率較大。當(dāng)Kn=Kτ=1 000，基頻Ω1=3.55，這與表5給出的數(shù)值計算結(jié)果(Kn=Kτ=K=∞)正好吻合，此時SS1-SS1-SS2-SS2方形板可視為C-C-C-C方形板。而且，由圖4和圖5曲線的疏密程度不難看出，法向剛度系數(shù)Kn比切向剛度系數(shù)Kτ對基頻Ω1的影響更為顯著。

圖4　SS1-SS1-SS2-SS2邊界下剛度系數(shù)Kτ與正方形板基頻Ω1的關(guān)系曲線(s=1, μ=0.3)Fig.4 The fundamental frequency parameter Ω1 of SS1-SS1-SS2-SS2 square plates versus Kτ

圖5　SS1-SS1-SS2-SS2邊界下剛度系數(shù)Kn與正方形板基頻Ω1的關(guān)系曲線(s=1, μ=0.3)Fig.5 The fundamental frequency parameter Ω1of SS1-SS1-SS2-SS2 square plates versus Kn

5結(jié)論

基于二維線彈性理論，應(yīng)用Hamilton原理建立四邊彈性約束矩形板的面內(nèi)自由振動方程。通過設(shè)置邊界彈簧剛度系數(shù)，采用二維DQM數(shù)值分析了各種典型邊界及彈性約束邊界矩形板的面內(nèi)自振頻率特性。結(jié)果顯示，本文的分析方法行之有效，且工作量小。

全面考慮了邊界條件、長寬比及剛度系數(shù)對矩形板自振頻率的影響。結(jié)果表明：對于不同的邊界，長寬比對自振頻率的影響不同，有增有減，特別地，SS1-SS1-SS1-SS1板的基頻隨長寬比的增大而基本保持不變；自振頻率隨彈簧剛度的增大而增大，當(dāng)剛度系數(shù)增大到一定值，頻率趨于一常數(shù)，即系統(tǒng)的彈性剛度越大，頻率較高。約束越強(qiáng)，頻率較大；法向彈簧剛度系數(shù)比切向彈簧剛度系數(shù)對矩形板面內(nèi)自振頻率影響更為明顯；同時，本文的分析方法可為板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為研究提供一定的參考。

[1] Lyon R H. In-plane contribution to structural noise transmission[J]. Noise Control Engineering Journal, 1986, 26(1): 22-27．

[2] Langley R S, Bercin A N. Wave intensity analysis of high frequency vibration[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 1994, 346:489-499．

[3] Bercin A N. An assessment of the effect of in-plane vibration on the energy flow between coupled plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1996, 191(5): 661-680．

[4] Bardell N S, Langley R S, Dunsdon J M. On the free in-plane vibration of isotropic rectangular plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1996, 191(3): 459-467．

[5] Farag N H, Pan J. Free and force in-plane vibration of rectangular plates[J]. Acoustical Society of America, 1998, 103(1): 408-413．

[6] Wang G, Wereley N M. Free in-plane vibration of rectangular plates[J]. AIAA, 2002, 40(5): 953-959．

[7] Gorman D G. Free in-plane vibration analysis of rectangular plates by the method superposition[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 272(3): 831-851．

[8] Gorman D G. Exact solutions for the free in-plane vibration of rectangular plates with two opposite edges simply supported[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 294(1): 131-161．

[9] Du J T, Li W L, Jin G Y, et al. An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306(3/4/5): 908-927．

[10] Xing Yu-feng, Liu Bo. Exact solutions for the free in-plane vibrations of rectangular plates[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2009, 51(3): 246-255．

[11] Liu Bo, Xing Yu-feng. Exact solutions for free in-plane vibration of rectangular plates[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2011, 24(6): 556-567．

[12] Bert C W, Malik M. Differential quadrature method in computational mechanics[J]. Applied Mechanics Reviews, 1996, 49(1): 1-27．

[13] 蒲育, 滕兆春, 房曉林. 圓環(huán)板面內(nèi)自由振動的DQM求解[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(24): 152-156.

PU Yu, TENG Zhao-chun, FANG Xiao-lin. In-plane free vibration of circular annular plates with differential quadrature method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(24): 152-156．

[14] 滕兆春，蒲育. 溫度影響下FGM圓環(huán)板的面內(nèi)自由振動分析[J]. 振動與沖擊，2015, 34(9): 223-230.

TENG Zhao-chun, PU Yu. In-plane free vibration of FGM annular plates considering temperature effect[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(9): 223-230.

In-plane free vibration analysis for rectangular plates with elastically restrained edges by Differential Quadrature Method

PU Yu1， TENG Zhao-chun2， ZHAO Hai-ying1

(1. College of Civil Engineering，Lanzhou Institute of Technology，Lanzhou 730050，China；2. School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Based on the two-dimension theory of linear elasticity and an application of the Hamilton’s principle, the in-plane free vibration of governing partial differential equations for rectangular plates with elastically restrained edges is derived. Using the differential quadrature method (DQM), the dimensionless frequencies of in-plane free vibration of rectangular plates with elastically restrained edges are investigated. All the classical boundaries for in-plane displacements can be simulated by setting the stiffnesses of the restraining springs to either zero or infinite. The application of DQM in this paper has illustrated that the analytical method was validated and accurate by comparison with previously reported results and those available in the literature for rectangular plates. Finally, the influence of the boundary conditions, geometrical parameter, and stiffness coefficients on the dimensionless frequencies of the rectangular plates are investigated.

rectangular plates; in-plane free vibration; elastically restrained edges; dimensionless frequency; DQM

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.009

國家自然科學(xué)基金(41202230); 甘肅省自然科學(xué)基金(148RJZA017)

2015-01-15修改稿收到日期：2015-06-26

蒲育 男，碩士，講師，1984年生

滕兆春 男，副教授，1969年生

O343

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