安裝誤差對變剛度系數(shù)的復合行星輪系均載特性的影響分析

朱偉林， 巫世晶， 王曉筍， 周　璐， 張海波， 何　融

(1.武漢大學 動力與機械學院,武漢　430072; 2.中國北方車輛研究所 車輛傳動重點實驗室,北京　100072)

安裝誤差對變剛度系數(shù)的復合行星輪系均載特性的影響分析

朱偉林1， 巫世晶1， 王曉筍1， 周璐1， 張海波1， 何融2

(1.武漢大學 動力與機械學院,武漢430072; 2.中國北方車輛研究所 車輛傳動重點實驗室,北京100072)

以復合行星齒輪傳動系統(tǒng)為對象，采用集中參數(shù)法，建立多自由度平移-扭轉耦合非線性動力學模型。該模型在綜合考慮軸承支承剛度、時變嚙合剛度、齒側間隙和齒輪安裝誤差的基礎上，研究安裝誤差位置及其相位角對系統(tǒng)均載特性的影響。研究結果表明：中心構件的安裝誤差對系統(tǒng)產(chǎn)生均等的周期性影響，行星輪的安裝誤差會導致行星輪出現(xiàn)持續(xù)偏載或者均載現(xiàn)象；中心構件安裝誤差的相位角對系統(tǒng)均載系數(shù)沒有影響，而行星輪安裝誤差的相位角對系統(tǒng)有影響，且沿切向分布時，影響最大。

復合行星輪系;軸承支撐剛度;時變嚙合剛度;安裝誤差;均載特性

與簡單行星齒輪傳動系統(tǒng)相比，復合行星齒輪傳動系統(tǒng)具有多種功率傳遞流，且結構緊湊、傳動比大、承載能力強，被廣泛應用于車輛船舶、航空航天、能源開發(fā)等領域。然而在實際應用中，由于齒輪安裝誤差的存在，使得行星齒輪受力不均等，進而導致系統(tǒng)出現(xiàn)偏載、振動和噪聲，影響系統(tǒng)的可靠性以及使用壽命。

國內(nèi)外學者對行星輪系的均載特性進行了相關的理論和實驗研究，Hidaka等[1]在20世紀80年代以簡單行星輪系為對象，從靜力學角度分析了系統(tǒng)傳遞誤差與均載系數(shù)的關系。自20世紀90年代開始，Kahraman[2-4]先后在考慮誤差和剛度的情況下，分析了行星輪系的動力學均載問題，并對系統(tǒng)的均載特性進行了試驗，同時對Ravigneaux式復合輪系進行了模態(tài)分析。Singh等[5-6]分別用不同的方法研究了制造誤差對行星齒輪靜態(tài)均載特性的影響。陸俊華等[7]研究了誤差對簡單輪系動態(tài)均載性能的影響。Guo[8]通過解析法和有限元法分析檢查了復合輪系的非線性動力學行為，并對各參數(shù)靈敏度，穩(wěn)定性以及齒輪的嚙合剛度進行了分析。巫世晶等[9-10]分析了綜合誤差、齒側間隙以及嚙合剛度對某復合輪系動態(tài)特性的影響。葉福民等[11]分析了齒側間隙對非等模數(shù)非等壓力角簡單行星齒輪系統(tǒng)均載特性的影響。

以上研究內(nèi)容基本都是針對簡單輪系的均載性能分析或者復合輪系的動態(tài)性能分析，而復合輪系不同構件的安裝誤差位置以及相位角對系統(tǒng)均載性能的影響還少有報道。本文基于集中參數(shù)理論，建立了拉維娜式復合行星齒輪傳動系統(tǒng)的多自由度平移-扭轉耦合非線性動力學模型，模型考慮了軸承的支撐剛度、各嚙合副的時變嚙合剛度、齒側間隙以及安裝誤差。研究了系統(tǒng)的均載性能，分析了系統(tǒng)在安裝誤差作用下的均載特性變化規(guī)律，對復合行星齒輪傳動系統(tǒng)的分析設計以及優(yōu)化提供了理論依據(jù)，具有指導工程實際的意義。

1系統(tǒng)動力學模型的建立

1.1齒輪動力學模型

復合行星齒輪傳動系統(tǒng)結構簡圖見圖1(a)，系統(tǒng)包括太陽輪s，行星架c，內(nèi)齒圈r1、r2和兩種行星輪an、bn，(n=1,2，…，N),N為行星輪組數(shù)。該復合行星輪系具有多種功率流傳遞路線，本文中將內(nèi)齒圈r1固定，太陽輪s和內(nèi)齒圈r2分別作為輸入輸出構件。利用集中參數(shù)法對系統(tǒng)進行動力學建模，將一對嚙合齒輪等效為彈簧-阻尼系統(tǒng)[12]，考慮所有構件的平移和扭轉方向的自由度，其動力學模型見如圖1(b)。

圖1　系統(tǒng)動力學模型圖Fig.1 The dynamic model of the system

圖1中：下標s、c、r1、r2、an、bn分別表示系統(tǒng)的十個構件；san、r1an、r2bn、anbn分別為各類嚙合副；kj、bj、ej、cj(j=san、r1an、r2bn、anbn)分別為時變嚙合剛度、齒側間隙、嚙合誤差和嚙合阻尼；ki和kit(i=s、c、r1、r2、an、bn)分別為構件的平移支承剛度和扭轉支承剛度；θi為構件的扭轉角位移，規(guī)定逆時針方向為正。系統(tǒng)基本參數(shù)見表1。

表1　復合行星輪系基本參數(shù)

1.2滾動軸承動力學模型

軸承的剛度通常被用來作為衡量齒輪傳動系統(tǒng)構件支撐剛度的一個重要指標，本文以深溝球軸承為研究對象，對齒輪支撐剛度的計算模型進行分析。滾動軸承由外圈、內(nèi)圈、滾動體及保持架組成，其剛度定義為軸承內(nèi)外套圈產(chǎn)生單位相對彈性位移量所需要的外加負荷。假定軸承內(nèi)外圈分別與旋轉軸和軸承座剛性連接，滾動體之間等距排列且為純滾動，軸承變形為滾動體與滾道之間的接觸變形，則軸承所受徑向力的載荷分布圖見圖2[13]。

圖2　滾動軸承受徑向力載荷分布圖Fig.2 The radial load distribution of a rolling bearing

由文獻[14]可知，根據(jù)Stribeck理論計算載荷分布，求得圖2中最大承載鋼球所受的徑向載荷為

(1)

式中：Fr為軸承所受的外部徑向載荷，QA、QB、QC為鋼球承受的徑向載荷，γ=2π/Z為相鄰兩鋼球之間的夾角，Z為鋼球的數(shù)量。

根據(jù)赫茲彈性接觸理論求得，徑向載荷作用下軸承內(nèi)外圈的徑向趨近量為

(2)

由此可得深溝球軸承的剛度系數(shù)為

(3)

根據(jù)K(Fr)的表達式可以得知，深溝球軸承的剛度不僅與軸承的基本參數(shù)(球數(shù)、求徑、溝道曲率半徑和內(nèi)外圈溝底半徑)有關，還與軸承所受的載荷有關，由于齒輪傳動過程中，嚙合力是時變波動的，所以，軸承所受的載荷也是隨著時間變化的，故對于同一個軸承其剛度隨著時間的變化而變化，可以將其等效為時變剛度系數(shù)的硬彈簧。以本系統(tǒng)中的深溝球軸承6213和6020為例進行計算，當系統(tǒng)輸入扭矩為2 000 N·m，太陽輪輸入轉速為1 800 r/min，系統(tǒng)中軸承所受徑向載荷由偏載大小決定，其所受徑向載荷為0～105N時與徑向變形的變化關系曲線見圖3，由于系統(tǒng)中齒圈所用為非標準軸承，故此處未作計算，參考文獻[9]中取1×109N/m。

圖3　滾動軸承徑向變形與載荷關系圖Fig.3 The relationship between radicalload and deformation for the rolling bearing

1.3時變嚙合剛度動力學模型

齒輪傳動系統(tǒng)中齒輪嚙合的重合度通常>1，齒輪在嚙合過程中同時參與嚙合的輪齒對數(shù)則發(fā)生單齒和雙齒嚙合的周期性交替變化，因此齒輪副的嚙合剛度也會隨時間做周期性的變化。本文基于勢能原理求解齒輪嚙合剛度[15-17]，將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，見圖4(a)。

圖4中各參數(shù)詳見參考文獻[15]，將嚙合齒輪的輪齒變形視作沿嚙合力F作用方向的彈簧，在嚙合力F作用下，儲存在嚙合齒輪中的彈性勢能分別是：赫茲勢能Uh，彎曲勢能Ub，徑向壓縮變形能Ua、剪切變形能Us以及齒輪基體的彈性變形勢能Uf。這五種勢能分別可以表示為:

(4)

式中：Kh、Kb、Ka、Ks，Kf分別為沿嚙合方向與輪齒變形相對應的赫茲剛度、彎曲剛度、徑向壓縮剛度、剪切剛度以及齒輪基體變形剛度。

根據(jù)赫茲接觸理論以及彈性力學和材料力學中的梁變形理論，可求得各剛度為:

(5)

式中各參數(shù)詳見參考文獻[15]，綜合上述輪齒彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、赫茲接觸變形以及輪體變形對應的嚙合線上等效剛度，外嚙合齒輪副單齒嚙合剛度可表示為:

(6)

式中：腳標1和2分別代表齒輪嚙合副中參與嚙合的兩個齒輪。

當一對齒輪的兩對輪齒同時參與嚙合時，嚙合副總的有效嚙合剛度可表示為

KE=

(7)

式中：i=1為第一對輪齒嚙合，i=2為第二對輪齒嚙合。以本文中齒輪系統(tǒng)模型參數(shù)計算求得各嚙合副相位差為0時，在兩個完整周期內(nèi)的綜合時變嚙合剛度如圖4(b)所示，由計算結果可知，由于一個系統(tǒng)內(nèi)相嚙合的齒輪模數(shù)相同，故其不同嚙合副周期相等，同時內(nèi)嚙合齒輪副重合度高，其雙齒嚙合區(qū)間大于單齒嚙合區(qū)間，且平均嚙合剛度比外嚙合副要大。

圖4　時變嚙合剛度分析及結果圖Fig.4 The figures of the analysis and the result of the time-varying meshing stiffness

1.4安裝誤差動力學模型

在齒輪傳遞過程中，誤差的存在會使得系統(tǒng)出現(xiàn)偏載、磨損等現(xiàn)象，齒輪的安裝誤差是齒輪傳動誤差的重要組成部分，研究安裝誤差對系統(tǒng)均載性能的影響具有重要的意義。太陽輪s的安裝誤差模型如圖5(a)所示，將安裝誤差As映射到嚙合副san上的等效位移為：

3）雖然環(huán)湖地區(qū)已經(jīng)打響了生態(tài)旅游的旗號，但是宣傳工作不盡人意，調(diào)查問卷了解到7%的游客沒有接觸到政府部門有關生態(tài)旅游的宣傳。當?shù)鼐用駥ι鷳B(tài)旅游的理解只停留在口號上，不付諸實踐，部分居民表示并未參與宣傳中所謂的生態(tài)旅游活動。多數(shù)人未認識到生態(tài)旅游的重要性，環(huán)湖地區(qū)生態(tài)旅游觀念未深入人心。在面對當?shù)鼐用竦慕?jīng)濟生活發(fā)展需求、生態(tài)環(huán)境保護以及環(huán)湖地區(qū)旅游發(fā)展等矛盾時，兼顧各方利益的治理措施更顯匱乏。在處理當?shù)鼐用裨鷳B(tài)生活習俗與游客旅游體驗的關系時，目前管理者尚無行之有效的措施。

As-san=Assin(-ωct+αs+γs-ψan)

(8)

式中：αs和ψan分別表示太陽輪的壓力角和第n個行星輪a的位置角，ψan=2π(n-1)/3。

同理，其他構件(an、bn、r1、r2)的安裝誤差映射到相應嚙合線上的等效位移為：

(9)

式中：ν1、ν2、ν3為兩類行星輪an和bn所構成的幾何角度，見圖5(b)，γi為安裝誤差的相位角。

圖5　安裝誤差分析模型Fig.5 The analysis model of the position error

2動力學方程及均載系數(shù)

2.1動力學方程

取系統(tǒng)各構件的橫向位移xi，縱向位移yi以及扭轉位移ui共30個自由度為復合行星輪系的廣義坐標。

q={xsysusxcycucxr1yr1ur1

xr2yr2ur2xanyanuanxbnybnubn}T

(10)

則等效在各嚙合線上的相對位移為：

(11)

利用第二類拉格朗日方程，將動態(tài)支撐剛度以及時變嚙合剛度代入方程組，并引入齒側間隙非線性分段函數(shù)，計入系統(tǒng)阻尼力，可以得到系統(tǒng)的平移-扭轉動力學方程。

(12)

2.2均載系數(shù)定義

行星齒輪傳動系統(tǒng)中，用均載系數(shù)來衡量與同一個中心輪相嚙合的幾個行星輪之間的受力情況，其在一個嚙合周期內(nèi)可以描述為：

(13)

式中Fsan、Fr1an、Fr2bn、Fanbn為各嚙合副之間的嚙合力，該力是隨著時間做周期性變化的，故求解出的均載系數(shù)同樣是時間的周期性變化曲線，為了更方便的描述系統(tǒng)不同行星輪之間載荷的分配情況，取其最大值作為系統(tǒng)中該嚙合副的均載系數(shù)。則系統(tǒng)在整個運動周期中的均載系數(shù)表示為：

(14)

3系統(tǒng)均載特性分析

本文以圖1中的復合行星輪系為對象進行建模求解，研究在綜合考慮軸承支承剛度，時變嚙合剛度和齒側間隙多種激勵因素的情況下，齒輪安裝誤差的位置以及相位角對系統(tǒng)均載特性的影響。其中，太陽輪輸入扭矩為2 000 N·m，大齒圈負載扭矩為4 545.13 N·m，太陽輪輸入轉速1 800 r/min，齒側間隙為20 μm，各安裝誤差幅值均為20 μm，誤差相位角為0。

3.1安裝誤差位置對均載系數(shù)的影響

為了研究安裝誤差位置對系統(tǒng)均載特性的影響，保持其他參數(shù)不變，安裝誤差分布在太陽輪、內(nèi)齒圈和行星輪的情況下，僅改變安裝誤差存在的位置，即不同構件存在安裝誤差時，系統(tǒng)嚙合副san的均載系數(shù)變化情況見圖6，通過計算，除幅值和周期不同外，系統(tǒng)其他嚙合副的均載特性曲線變化趨勢同圖6中趨勢一樣，限于篇幅原因，其他嚙合副均載系數(shù)變化情況未畫出，系統(tǒng)各嚙合副的均載系數(shù)值(max)見表2。

(a) 太陽輪安裝誤差單獨作用(b) 小齒圈安裝誤差單獨作用(c) 大齒圈安裝誤差單獨作用

(d) 行星輪b1安裝誤差單獨作用(e) 行星輪a1安裝誤差單獨作用(f) 行星輪a1a2a3安裝誤差共同作用圖6 安裝誤差對均載系數(shù)的影響Fig.6Influenceofpositionerrorsontheloadsharingcharacteristics

通過對比圖6(a)～圖6(c)可知，當安裝誤差分布在系統(tǒng)中心構件(太陽輪、內(nèi)齒圈)時，系統(tǒng)嚙合副均載系數(shù)呈現(xiàn)周期性變化現(xiàn)象，對比圖6(d)～圖6(f)可知，當安裝誤差分布在系統(tǒng)行星輪時，系統(tǒng)嚙合副均載系數(shù)為定值，出現(xiàn)持續(xù)偏載或均載現(xiàn)象。當三個行星輪以相同的安裝誤差作用時，系統(tǒng)均載系數(shù)為1，各行星輪均勻受載。出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因是當系統(tǒng)中心構件存在安裝誤差時，誤差激勵會隨著構件的旋轉對不同的行星輪產(chǎn)生周期性影響，而行星輪存在安裝誤差時，誤差激勵始終作用在該行星輪存在的嚙合副，當三個行星輪均存在同樣的安裝誤差時，則其產(chǎn)生的作用一樣，故圖6(f)中均載系數(shù)為1。同時，通過式(9)安裝誤差映射到相應嚙合線上的等效位移形式可知，中心構件安裝誤差對等效位移的影響形式中含有ωct時間項，會隨著時間對嚙合副產(chǎn)生均等的周期性影響，而行星輪安裝誤差影響形式不隨時間變化，為定值，故均載系數(shù)也為定值。

表2　不同構件安裝誤差下的系統(tǒng)均載系數(shù)最大值

表2詳細列舉了安裝誤差分布在不同構件時，系統(tǒng)各個嚙合副的均載系數(shù)值，由表2可知，中心構件存在安裝誤差時，與該中心構件相關聯(lián)的嚙合副均載系數(shù)比其他三個嚙合副更大，而行星輪存在安裝誤差時，系統(tǒng)四個嚙合副的均載系數(shù)相對較平均，沒有出現(xiàn)特別大或者特別小的，這是因為中心構件只與一個嚙合副相關聯(lián)，而行星輪最少與兩個嚙合副相關聯(lián)，這是由于當中心構件存在安裝誤差時，其引起的偏載必須首先經(jīng)過直接關聯(lián)的嚙合副傳遞到其他嚙合副，故該嚙合副偏載更嚴重，而行星輪則經(jīng)過幾個嚙合副同時傳遞，各嚙合副均載系數(shù)相對平均，所以在工程應用中，應該首先控制中心構件的安裝誤差，從而提高系統(tǒng)運行的平穩(wěn)性。

3.2安裝誤差相位角對均載系數(shù)的影響

為研究安裝誤差相位角對于系統(tǒng)均載性能的影響作用，同樣需保持其他因素不變，僅將安裝誤差相位角作為控制變量進行分析計算。當中心構件安裝誤差為20 μm，相位角為0°～180°時，系統(tǒng)均載系數(shù)(max)見表3，內(nèi)齒圈安裝誤差相位角的變化對系統(tǒng)均載系數(shù)的影響同太陽輪一致，故此處僅列出太陽輪安裝誤差相位角對系統(tǒng)均載系數(shù)的影響。行星輪安裝誤差分別為10 μm、20 μm和30 μm，相位角從0°～180°時，系統(tǒng)均載系數(shù)見圖7，經(jīng)過計算兩種行星輪安裝誤差相位角對系統(tǒng)均載性能影響趨勢一致，此處僅畫出行星輪an誤差相位角變化對嚙合副san均載性能影響的趨勢圖。

表3　太陽輪安裝誤差相位角對均載系數(shù)的影響

圖7　行星輪安裝誤差相位角對均載系數(shù)的影響Fig.7 Influence of the phase angle of the position error of the planetary gear a1 on the load sharing coefficient

由表3可知,中心構件安裝誤差的相位角對均載系數(shù)沒有影響，這是由于中心構件的安裝誤差會隨著其旋轉依次作用于各行星輪。故而其相位角的變化，不會引起系統(tǒng)均載系數(shù)的改變。由圖7可知，行星輪安裝誤差相位角對系統(tǒng)均載系數(shù)有影響，系統(tǒng)均載系數(shù)在行星輪安裝誤差相位角0°～180°內(nèi)呈中心對稱分布，相位角為90°時，即誤差沿切向分布時，其均載系數(shù)最大，這是由于行星輪的安裝誤差不會隨著其旋轉而發(fā)生變化，當安裝誤差切向分布時，誤差在嚙合線上投影的等效位移最大，故其對系統(tǒng)均載性能產(chǎn)生的影響最大。

4結論

本文采用集中質(zhì)量法，建立了復合行星齒輪傳動系統(tǒng)平移-扭轉耦合動力學模型，根據(jù)第二類拉格朗日方程推導了系統(tǒng)的微分動力學方程，該模型綜合考慮了動態(tài)軸承支承剛度，時變嚙合剛度、齒側間隙以及齒輪安裝誤差，分析了構件的安裝誤差以及系統(tǒng)負載扭矩對系統(tǒng)均載特性的影響，得到了以下結論：

(1) 軸承支承剛度與軸承的基本參數(shù)(球數(shù)、求徑、溝道曲率半徑和內(nèi)外圈溝底半徑)和軸承所受的載荷有關，可以將其等效為變剛度系數(shù)的硬彈簧。

(2) 中心構件的安裝誤差對系統(tǒng)各個嚙合副產(chǎn)生均等的周期性影響，行星輪的安裝誤差會使某個行星輪出現(xiàn)持續(xù)的偏載，系統(tǒng)的均載系數(shù)為定值，當三個行星輪的安裝誤差一樣時，系統(tǒng)呈現(xiàn)均載現(xiàn)象。

(3) 中心構件安裝誤差對其直接關聯(lián)的嚙合副影響較大，行星輪安裝誤差對系統(tǒng)多個嚙合副均有影響，各嚙合副均載系數(shù)相對較平均。

(4) 中心構件的安裝誤差相位角對系統(tǒng)均載性能沒有影響，行星輪安裝誤差相位角對系統(tǒng)均載系數(shù)有影響，且在相位角為90°時，系統(tǒng)均載性能最差。

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Influence of position errors on the load-sharing characteristics of compound planetary gear sets considering the variable stiffness coefficient

ZHU Wei-lin1， WU Shi-jing1， WANG Xiao-sun1， ZHOU Lu1，ZHANG Hai-bo1， HE Rong2

(1. School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;2. Science and Technology on Vehicle Transmission Laboratory, China North Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China)

This paper proposes a nonlinear time-varying transverse-torsional coupled model for a compound planetary gear set based on the theory of the concentrated parameter. The influence of the position errors and the phase angle on the load-sharing characteristics is analyzed by considering the bearing stiffness, the time-varying meshing stiffness and the gear backlashes of the gears. The analysis results show that the position errors of the central member will make equal periodic changes for the system, while the position errors of the planetary gears will make a sustained partial load. Meanwhile, it has no influence on the load-sharing characteristics of the system when the phase angle of the position errors exists on the central members. However, it has some influence when the phase angle of the position errors exists on the planetary gears, and the load-sharing coefficient is the largest when the phase angle is 90 degrees.

compound planetary gear sets; bearing stiffness; time-varying mesh stiffness; position errors; load sharing characteristics

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.012

國家自然科學基金資助項目(51375350)

2015-10-22修改稿收到日期：2015-12-28

朱偉林 男，博士生，1989年生

巫世晶 男，教授，博士生導師，1963年生

TH132

A