雙足跑步模型穩(wěn)定性及結構動力響應分析

王益鶴， 楊　娜

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044)

雙足跑步模型穩(wěn)定性及結構動力響應分析

王益鶴， 楊娜

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京100044)

建立新型雙足模型，提出同時考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制來保持平穩(wěn)跑步運動。研究了人體跑步的力學特性、控制特征及穩(wěn)定性，并對跑步下結構動力響應進行分析。結果表明：新型雙足跑步模型能夠模擬完整的跑步過程；施加的綜合控制機制可自動調整運動狀態(tài)并補償能量損失，提高雙足模型跑步時的穩(wěn)定范圍并保證運動穩(wěn)定；跑步狀態(tài)下的人與結構相互作用較弱。

生物力學；雙足模型；控制機制；穩(wěn)定性

隨著現代建筑結構不斷向大跨、輕柔方向發(fā)展，人行載荷作用下的結構振動問題越來越受到人們的關注[1-2]。結構在人運動過程中產生的過量振動，直接導致舒適度和安全性的下降。近年來，英國倫敦千禧橋[3-4]和日本T橋[5-6]等一些大跨人行橋上觀測到的過量振動現象，更是受到國際上異乎尋常的注目及系統的研究。

如何理解行人運動及行人在運動過程中與結構作用的方式，已經成為重要的研究課題。眾多研究者建立了各種數學模型描述人體運動[7-9]。然而大多數處理方式僅將人作為外部激勵，未能將其作為獨立的動力體系。之后Kim等[10-11]將人表示為彈簧、質量、阻尼的動力體系。Bruno等[12]考慮了人群移動時的慣性力。然而，這些模型僅反映了人體的豎向運動，忽略了人體運動的生物特性。對人體生物力學的研究表明，人體的周期運動可用由兩個線性彈簧和阻尼表示雙腿的雙足模型描述。雙足模型較多的用于模擬人行走時結構的動力響應。

后來一些研究者針對雙足模型的跑步運動進行研究。Blickhan等[13-14]等均對其進行了模擬分析。跑步狀態(tài)下的雙足模型與行走時相比，其步態(tài)擾動強烈且穩(wěn)定性較差。后來Seyfarth等[15]在其簡易的彈簧-質量模型中提出，考慮腿部回擺的機制可提高跑步的穩(wěn)定性。而對雙足模型來說，即使步行時也仍需要一個主動的能量輸入來補償能量耗散[16-17]。

雙足模型應該既能模擬穩(wěn)定的步行，又能模擬穩(wěn)定的跑步。本文基于ISO 5982的2-DOF模型[18]與雙足模型，建立了新型雙足跑步模型，并采用了同時考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制以保持步態(tài)穩(wěn)定。利用Lagrange方程建立跑步狀態(tài)下人體-結構系統的運動方程并進行Matlab編程，對跑步過程中的力學特性及穩(wěn)定性進行研究，并分析了系統下的結構動力響應。

1人體-結構系統

1.1雙足跑步模型

新型雙足跑步模型采用ISO 5982的SMD模型表示身體，整個人體表示為身體由兩個無質量的等長彈簧和阻尼支撐的體系。人體質量等效為質量m1和m2，身體剛度為k1，阻尼為c1，長度為lb；人腿部彈簧剛度為k1eg，阻尼為cleg，長度為l0。人在空中時，腿以角速度w轉動(見圖1)。跑步狀態(tài)可以看為由一系列的支撐和飛行階段構成。支撐階段時，兩個彈簧和阻尼獨立運動，產生彈性力和阻尼力，其與重力和慣性力一起構成平衡力系。飛行階段時，相應地彈性力和阻尼力為零，人體軌跡僅受重力作用影響。與步行相比，跑步狀態(tài)在模擬時需要做出一些改變，主要有兩個特征：① 跑步狀態(tài)中的一系列的飛行-支撐-飛行階段將代替步行中的單足-雙足-單足支撐階段；② 跑步運動的每個支撐階段，僅能有一條腿與地面保持接觸。

圖1　新型雙足跑步模型原理圖Fig.1 Schematic of the new running bipedal model

1.2人體-結構系統的運動方程

采用Lagrange方程建立行人跑步經過人行橋時的動力系統運動方程，人行橋模擬為均勻截面的Euler-Bernoulli簡支梁(見圖2)。

圖2　人行橋動力分析模型Fig.2 Mathematical model for the dynamic analysis of the footbridge

在支撐階段，系統的動能和勢能分別表示為：

(1a)

(1b)

式中：z1和z2分別為人體m1和m2的垂直位移;u為人體m1和m2的水平位移;Ll為支撐腿彈簧長度;y為梁的垂直位移;y″(x,t)為梁的曲率;m為單位長度梁的質量;E為彈性模量;g為重力加速度。

根據質量m2和接觸點的位置及結構的位移，支撐腿長度可表示為：

(2)

由振型疊加法，梁的垂直位移可表示為

(3)

式中：{φi(x),i=1,2,…,n}為梁的振型;{Yi(t),i=1,2,…,n}為與之對應的廣義坐標。

將式(2)和式(3)代入式(1)，可得：

(4a)

(4b)

整個系統虛功的變分δW可以表示為：

QnδYn+F1δz1+F2δz2+F3δu

(5)

式中：cl和cs分別為支撐腿和結構的阻尼;vl為支撐腿的軸向速度；δ(ΔLl) 為支撐腿的位移變分； {δYi,i=1,2,…,n} 為梁的虛位移；δy″為梁曲率的變分；Q1,Q2,…,Qn,F1,F2,F3為對應坐標{Y1,Y2,…,Yn,z1,z2,u}的廣義力。

對式(2)中支撐腿彈簧的長度求導，可得支撐腿軸向速度為:

(6)

式中：θl為支撐腿與地面的夾角。

支撐腿的位移變分也可根據式(2)中支撐腿彈簧的長度得出：

(7)

梁的曲率變分可由式(3)得出：

(8)

將式(6)、式(7)和式(8)分別代入式(5)中，

(9)

對比式(5)和式(9)，得廣義力：

Qi=clvlφi(N)sinθl-

(10a)

(10b)

(10c)

F3=clvlcosθl

(10d)

整個系統的拉格朗日方程可以表示為：

(i=1,2,…,n)

(11a)

(i=1,2)

(11b)

(11c)

把式(4)和式(10)代入到式(11)，可以得到跑步運動時人體-結構系統的運動方程。

(12a)

(12b)

k1z1+k1z2+k1lb+kl,vz2+m2g=0

(12c)

(12d)

式中：Mn為梁第n階的模態(tài)質量;ξn為梁的第n階模態(tài)阻尼比;wn為梁第n階的頻率;kl,v和kl,h分別為垂直和水平方向上的有效腿剛度。

將式(12)用矩陣的形式寫出：

(13)

(14a)

C=

(14b)

K=

(14c)

(14d)

式中：

ci,i=2ξiwiMi+clsin2θlφi,i(N)(i=1,2,…,n)

ci,j=clsin2θlφi,j(N)(i≠j≤n)

ci,n+2=-clsin2θlφn(N)(i=1,2,…,n)

ci,n+3=clsinθlcosθlφn(N)(i=1,2,…,n)

cn+2,i=-clsin2θlφi(N)(i=1,2,…,n)

cn+3,i=clsinθlcosθlφi(N)(i=1,2,…,n)

(15)

φi,j(N)=φi(N)φj(N)

上述分析過程，雖是針對支撐階段進行的，但可充分描述完整的跑步過程。支撐階段時，需考慮運動方程中涉及到支撐腿的量；飛行階段時，人體軌跡僅受重力作用影響，將所有與支撐腿相關的量設置為零即可。實際上，可將飛行階段視為支撐階段的特殊情況。

注意到整個系統的阻尼矩陣和剛度矩陣是時變的，因此，線性體系的動力分析方法不適用于本文分析，需用迭代的方法解決。本文選取Newton-Raphson非線性方法[19]進行迭代求解。

1.3保持步態(tài)穩(wěn)定的反饋機制

考慮阻尼的雙足模型能夠描述跑步狀態(tài)下包括支撐和飛行階段的完整過程。然而，由于阻尼耗能及模型本身的復雜穩(wěn)定性，需要施加合適的反饋機制，否則步態(tài)將無法保持穩(wěn)定。在雙足模型模擬人體步行運動時，通常通過外力做功補償運動中能量損失使步態(tài)穩(wěn)定。然而由于跑步和步行的差異，跑步狀態(tài)下的雙足模型，即使系統能量恒定，也不易得到穩(wěn)定的步態(tài)。通過跑步運動過程的研究表明，人體的跑步運動并不是完整的對稱行為；飛行階段時，前腿有一定的回擺運動。而對簡易彈簧-質量模型的研究表明[20]，考慮腿部回擺能提高跑步的穩(wěn)定性。

針對考慮阻尼的雙足模型，為得到平穩(wěn)的運動過程，本文采用同時考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制，作為跑步作用的反饋機制，保持步態(tài)穩(wěn)定。

假定雙足模型在飛行階段末期，前腿與地面的沖擊角角度不固定。雙足模型前腿在飛行階段后半段時以一定速度旋轉擺動，以自動調整飛行階段末期前腿與地面的沖擊角度，使雙足模型的運動軌跡穩(wěn)定(見圖1)。飛行階段時，將前腿角度θ(t)(前腿與水平面夾角)表示為，

θ(t)=θR(t

(16)

θ(t)=θR+wR(t-tapex)(t≥tapex)

(17)

式中：tapex為跑步運動飛行階段時雙足模型處于最高點的時刻;θR為該時刻的前腿角度;wR為腿部旋轉擺動的角速度。

同時假定外力在水平方向上所做的功等于能量的損失，水平控制力可以表示為：

(18)

式中：Fctrl(t)為水平控制力;E0為初始輸入的能量;E(t)為時刻t的人體能量;Δu(t)為時刻t人體的水平位移增量。

對于任意時間時刻t，總能量由動能和彈性勢能、重力勢能構成，可以表示為：

(19)

式(14)中，載荷向量變?yōu)椋?/p>

F(t)=[0,0,0,…,k1lb-m1g,

(20)

2跑步作用下人體動力特性分析

對上述推導過程進行Matlab編程分析整個跑步過程。選取以下人體特性：其中身體部位參考人體質量ISO 5982模型[18]，人體質量mh=75 kg(其中m1=62 kg，m2=13 kg)，身體剛度k1=62 kN/m，身體阻尼c1=14.6 kN·s/m，身體長度取lb=0.4 m；腿部參數根據已有雙足模型[14-17]，腿剛度kleg=20 kN/m，阻尼比ξ=8%，腿長取為l0=1 m。在運動過程中假定tapex時刻的腿角度θR=60°，m2的初始高度z2=1 m。腿部擺動角速度wR=50 deg/s，人水平初始速度v=4 m/s。

圖3為新型雙足模型的人體表觀質量幅頻特性曲線與ISO 5982模型的對比結果。鑒于ISO 5982模型由人體振動響應幅頻特性得出，故將兩者進行對比。由圖3可知，兩曲線接近。即新型雙足模型可以滿足人體動力特性描述。

圖3　人體表觀質量幅頻特性Fig.3 Normalised apparent masses response functions

根據選取參數，可模擬得到行人跑步時的豎向載荷，圖4為跑步作用下豎向連續(xù)地面反力時程。當腳與地面接觸時，產生豎向地面反力；當腳不與地面接觸時，豎向地面反力為零。即跑步狀態(tài)由一系列的支撐和飛行階段構成。模擬得到的豎向地面反力特征與眾多的研究者試驗結果一致，可知新型雙足模型可較好的模擬人體的跑步特性。

圖4中的跑步載荷時程是平穩(wěn)的，然而，如果沒有本文提出的綜合控制機制作為反饋機制，經過若干步之后步態(tài)將失去穩(wěn)定。圖5和圖6為運動中的水平控制力時程和落地沖擊角隨步數變化過程，由圖5和圖6可得，水平控制力平穩(wěn)貫穿于整個運動過程中，保持運動過程中能量恒定。而落地沖擊角則根據運動狀態(tài)，不斷自行調整，以適應每一步控制中的能量上下浮動變化。在綜合控制機制作用下，可順利模擬跑步運動。

圖4　跑步作用下豎向地面反力Fig.4 Vertical ground reaction force in running

圖5　跑步中的水平控制力Fig.5 Horizontal control in running

圖6　跑步中的沖擊角Fig.6 Touchdown angle in running

3跑步作用下的穩(wěn)定性分析

為說明圖5和圖6所示綜合控制機制的作用，文中列出了人體質量m2分別在綜合控制機制、水平力控制和無控制機制等情況下的豎向位移時程(見圖7)。由圖7可知，在考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制下，人體運動狀態(tài)不斷調整后，運動軌跡保持平穩(wěn)。若僅考慮水平力做功保持能量恒定，即使能量守恒，運動軌跡也不會平穩(wěn)，反而產生大幅振蕩。然而，如果沒有反饋機制，人體位移幅度將越來越小，經過若干步之后步態(tài)將失去穩(wěn)定。很明顯，綜合控制機制能夠保持步態(tài)的穩(wěn)定。

圖7　跑步作用下m2的位移時程Fig.7 Displacement of m2 in running

綜合控制機制中的水平力做功保持能量恒定很容易理解，本文將重點討論腿部回擺對穩(wěn)定性的作用。對于一個穩(wěn)定的運動形式，雙足模型第i步所達到的最大高度yi，與第i+1步所達到的最大高度yi+1之間要保持一定的穩(wěn)定狀態(tài)，即

(21)

雙足模型保持穩(wěn)定需滿足兩個條件:①腿剛度、落地沖擊角和初始速度要相互適應滿足；②雙足模型中身體部位的高度最終能達到穩(wěn)定點固定點高度值。綜合控制機制中腿部回擺的控制，使雙足模型在跑步降落的過程中腿部以一定的速度wR旋轉，自動調整落地沖擊角，從而改進模型各參數的協調性。

由以上分析可知，同時考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制能夠提高雙足模型跑步時的穩(wěn)定范圍，更好的保持步態(tài)穩(wěn)定。

圖8 wR=0deg/s時峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.8ReturnmapwhenwR=0deg/s圖9 wR=25deg/s時峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.9ReturnmapwhenwR=25deg/s圖10 wR=50deg/s時峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.10ReturnmapwhenwR=50deg/s

4跑步作用下結構動力響應分析

進一步研究新型雙足跑步模型下的人體-結構相互作用系統，并將基于雙足跑步模型的計算結果與基于時域外激勵模型的計算結果進行對比。假定一個長12.0m，寬1.0m，厚度為0.22m的簡支橋。橋密度為2 400kg/m，彈性模量E為3×1010N/m，橋的模態(tài)阻尼比為ξ=0.3%。人體的特性與前述相同?？蛰d橋的前兩階頻率為：f1=2.45 Hz，f2=9.80 Hz。

結構跨中的位移時程和加速度時程見圖11和圖12。由圖11和圖12可知，采用新型雙足跑步模型得到的結果略大于外激勵模型。為研究結構振動對跑步載荷的影響，得出行人跑步經過結構時的豎向地面反力(見圖13)。行人在橋上跑步與在剛性地面上跑步所得的地面反力時程整體相似。而通過行人跑步經過橋時的地面反力局部放大圖可知，跑步產生的地面反力隨著行人向跨中移動而產生小幅增大。這清楚的表明結構振動雖影響跑步載荷，但程度較小。即跑步狀態(tài)下的人與結構相互作用較弱。

圖11　橋跨中的位移時程Fig.11 Displacement at midspan of bridge

圖12　橋跨中的加速度時程Fig.12 Acceleration at midspan of bridge

圖13　跑步作用下豎向地面反力Fig.13 Vertical ground reaction force in running

5結論

本文通過建立新型雙足跑步模型，并研究人橋系統下的結構動力響應，得出主要結論如下：

(1) 新型雙足跑步模型能夠模擬包括支撐和飛行階段在內的完整跑步過程。

(2) 對雙足模型穩(wěn)定性分析表明，施加的同時考慮腿部回擺和外力做功的綜合控制機制，能夠自動調整運動狀態(tài)并維持能量平衡，提高雙足模型跑步時的穩(wěn)定范圍，更好的保持步態(tài)穩(wěn)定。

(3) 跑步狀態(tài)下的人與結構相互作用較弱。

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Study on running stability and structure dynamic response based on the bipedal running model

WANG Yi-he，YANG Na

(College of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Based on the new bipedal running model, a new feedback mechanism that included swing-leg retraction and control force is proposed to maintain stable running. The mechanical characteristics, control mechanism and stability in running are studied. Also, the dynamic response of a bridge under the new bipedal running model is analyzed. The results show that the new bipedal running model can reproduce a periodic running cycle. The new feedback mechanism allows the running model to automatically adapt the motion state and compensate for energy dissipated. The stability of the running model is significantly improved, and the human-structure dynamic interaction is weak when a human runs.

biomechanics; bipedal model; feedback mechanism; stability

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.005

國家自然科學基金優(yōu)秀青年基金項目(51422801)；國家自然科學基金“重點”項目(50938008)；新世紀優(yōu)秀人才獎勵計劃(NCET-11-0571)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助(2012JBM007;2012YJS078)

2015-09-14修改稿收到日期：2016-01-06

王益鶴 男，博士生，1984年11月生

楊娜 女，博士，教授，博士生導師,1974年8月生

TU311.3

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