考慮注漿圈作用水下隧道滲流場解析解

應(yīng)宏偉, 朱成偉, 龔曉南

(浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心,軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州 310058)

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考慮注漿圈作用水下隧道滲流場解析解

應(yīng)宏偉, 朱成偉, 龔曉南

(浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心,軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州 310058)

摘要:總結(jié)水下隧道襯砌外水壓力以及隧道涌水量的理論研究,采用鏡像法構(gòu)造一個(gè)虛擬源,與水下隧道形成“源-匯”系統(tǒng).將半無限實(shí)際滲流場轉(zhuǎn)化為2個(gè)無限虛擬滲流場的疊加,推導(dǎo)水下大埋深隧道孔隙水壓力以及隧道涌水量的解析解.該解在保證精確性的同時(shí),能考慮注漿圈以及襯砌的作用.在毛洞情況下,本文解退化到古德曼方程以及Harr解,驗(yàn)證了本文解的正確性.采用該解對(duì)隧道工程實(shí)例進(jìn)行分析,和已有解進(jìn)行比較,進(jìn)一步驗(yàn)證本文解的合理性.發(fā)現(xiàn)當(dāng)埋深增加或者注漿圈抗?jié)B性變差時(shí),已有解和本文解結(jié)果差距變大.指出增加注漿圈的抗?jié)B性,可以有效地降低隧道涌水量及襯砌外水頭,并發(fā)現(xiàn)隧道涌水量及襯砌外水頭和隧道埋深近似呈線性增加關(guān)系.

關(guān)鍵詞：水下隧道；襯砌外水頭；涌水量；鏡像法；解析解

隧道無論在國民經(jīng)濟(jì)還是交通出行方面都扮演著越來越重要的角色.在隧道的設(shè)計(jì)和建設(shè)環(huán)節(jié),特別對(duì)于高水位山嶺隧道以及海底隧道,如何確定襯砌壓力和排水量是2個(gè)關(guān)鍵問題.實(shí)際滲流場求解是一個(gè)十分復(fù)雜的問題,因?yàn)椴粌H要考慮各種土體參數(shù),還要選擇合適的本構(gòu)關(guān)系.事實(shí)上,土層中的固相和液相是相互作用的,即所謂的流固耦合.為了使問題簡化,大多學(xué)者將求解隧道襯砌水壓力以及涌水量的問題簡化為飽和各向同性、均質(zhì)的半無限多孔介質(zhì)土層表面作用一初始水平水位并挖去一個(gè)圓形隧道的問題.

Harr[1]基于鏡像法原理求得了適用于深埋高水頭圓形洞室的圍巖孔隙水壓力計(jì)算公式,該解對(duì)高水壓深埋隧道孔隙水壓力求解計(jì)算具有較高的精度.Bobet等[2-3]通過解析模型研究了有水和無水圍巖中的襯砌應(yīng)力,開創(chuàng)了解析法研究不同滲流量下襯砌結(jié)構(gòu)應(yīng)力的先例.Polubarinova[4]通過假定隧道周圍滲流場為穩(wěn)定流,推導(dǎo)出圓形隧道經(jīng)常涌水量的近似公式.Kolymbas等[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上采用復(fù)變函數(shù)保角映射變換,推導(dǎo)了高水頭水下圓形隧道經(jīng)常涌水量的精確解析解,提出了圍巖孔隙水壓力分布計(jì)算方法.Park等[6-8]利用保角變換,分別將半無限滲流場轉(zhuǎn)化為不同形式的滲流場,并假設(shè)不同的邊界條件從而獲得若干特定情況下的解析解.Joo等[9]利用鏡像法求得層流和紊流下隧道滲流量和襯砌外水壓力之間的關(guān)系,但出現(xiàn)了推導(dǎo)錯(cuò)誤.

王建宇[10]假定圍巖為各向同性均勻連續(xù)介質(zhì),將圓形隧道近似為軸對(duì)稱問題,根據(jù)達(dá)西定理和無限含水層豎井理論得出涌水量及水壓力表達(dá)式.王秀英等[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步獲得山區(qū)高水位隧道注漿圈外水頭的表達(dá)式.李鵬飛等[12-13]結(jié)合復(fù)變函數(shù)和王建宇簡化方法,推導(dǎo)由圍巖、注漿圈、襯砌混凝土組成的水下隧道滲流場解析解.文獻(xiàn)[10-13]均建立在近似解基礎(chǔ)之上.謝興華等[14-17]利用數(shù)值法研究了該問題.

綜上,在解析解方面,主要存在2種解法,一是復(fù)變函數(shù)保角變換方法,二是王建宇[10]提出的基于達(dá)西定律和無限含水層豎井理論的近似解法.復(fù)變函數(shù)保角變換方法求解嚴(yán)謹(jǐn)?shù)蠼膺^程較為復(fù)雜,且無法考慮注漿圈以及襯砌的作用.文獻(xiàn)[10]中的方法簡單,可以考慮注漿圈以及襯砌的作用,但因引入了無限滲流邊界與實(shí)際的半無限邊界不符而只能算是近似解.本文將半無限滲流場劃分為圍巖、注漿圈、襯砌3部分,利用鏡像法求解該問題,獲得該問題的解析解.

1水下隧道滲流場解析解

1.1計(jì)算模型及基本假定

本文研究對(duì)象為飽和、均質(zhì)、各向同性的半無限多孔介質(zhì)海床,在海床表面作用高度為Hw的水頭,并在內(nèi)部挖去一個(gè)半徑為rl的隧道；襯砌內(nèi)半徑為r0,滲透系數(shù)為kl；注漿圈外半徑為rg,滲透系數(shù)為kg；隧道中心到海床距離為hc,定義為埋深,海床滲透系數(shù)為ks,基準(zhǔn)面建立在隧道中心水平面上,如圖1所示.區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、分別代表圍巖、注漿圈以及襯砌.實(shí)際工程中,襯砌內(nèi)部都會(huì)設(shè)置排水設(shè)施,使得隧道內(nèi)部保持干燥.因此,假定襯砌內(nèi)部水頭為0.

基于以上分析,作以下假定：

1) 圍巖、注漿圈、襯砌均質(zhì)各向同性；

2) 隧道處于穩(wěn)定滲流狀態(tài)；

3) 水流服從達(dá)西定律；

4) 隧道為大埋深,即rg?hc；

5) 襯砌內(nèi)部水頭為0.

圖1　水下隧道滲流模型Fig.1　Model of seepage around subaqueous tunnel

1.2模型求解

水下隧道半無限滲流場邊界條件無法在笛卡爾坐標(biāo)系或者極坐標(biāo)系內(nèi)簡單表示,利用鏡像法可以簡化問題.利用鏡像法,將半無限滲流場轉(zhuǎn)化為2個(gè)無限滲流場的疊加,如圖2所示,實(shí)際隧道稱為“匯”,對(duì)應(yīng)匯滲流場,而虛構(gòu)的對(duì)稱隧道稱為“源”,對(duì)應(yīng)源滲流場.r1為任意點(diǎn)M到匯的距離,r2為點(diǎn)M到源的距離.源的出流速度等同于匯的入流速度,根據(jù)對(duì)稱性,可以得到海床面為一個(gè)等勢(shì)面的邊界條件.

圖2　鏡像法示意圖Fig.2　Schematic diagram of method of images

當(dāng)滲流速度較小,處于層流狀態(tài)時(shí),滲流滿足達(dá)西定律：v=ki,得

(1)

式中:v為滲流速度,k為滲透系數(shù),i為水力梯度.根據(jù)水力梯度以及滲流速度的定義,在區(qū)域Ⅰ有

(2)

式中:φ=z+p/γw,為總水頭,z為位置水頭,p為孔隙水壓,γw為水的重度,Q為隧道涌水量(流量以流入為正,流出為負(fù)),j=1, 2.對(duì)式(2)進(jìn)行積分,可得

(3)

式中:C為積分常數(shù).

源中心在x=0、z=2hc處,流量為-Q；匯中心在x=0,z=0處,流量為+Q.由式(3)可得區(qū)域Ⅰ兩個(gè)滲流場水頭的表達(dá)式：

(4)

(5)

式中：φ1為匯滲流場水頭,φ2為源滲流場水頭,C1、C2為對(duì)應(yīng)的積分常數(shù).

實(shí)際滲流場總水頭等于φ1、φ2之和,即

(6)

當(dāng)r1=r2時(shí),即z=hc,φ=H=Hw+hc,故可得

(7)

當(dāng)r1=rg時(shí),即在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的交界處,由于rg?hc,有

(8)

對(duì)于區(qū)域Ⅱ和Ⅲ,由于隧道為大深埋,可以認(rèn)為區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)滲流為徑向流動(dòng).

由式(3)可得區(qū)域Ⅱ內(nèi)：

(9)

區(qū)域Ⅲ內(nèi)：

(10)

式中:C3、C4為積分常數(shù).

隧道襯砌內(nèi)部φ=0,因此

故在區(qū)域Ⅲ內(nèi)：

(11)

在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ界面上,即當(dāng)r1=rl時(shí),

(12)

代入到式(9)可得

因此在區(qū)域Ⅱ內(nèi)：

(13)

在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ界面上,即當(dāng)r1=rg時(shí),

(14)

聯(lián)立式(8)、(12)、(14)可得

(15)

將式(15)代入式(7)、(11)、(13)，分別得到區(qū)域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ內(nèi)總水頭的表達(dá)式.

區(qū)域Ⅰ：

(16)

區(qū)域Ⅱ：

(17)

區(qū)域Ⅲ：

(18)

將式(15)代入式(12)和式(14)可得區(qū)域Ⅱ和Ⅲ界面以及區(qū)域Ⅰ和Ⅱ界面總水頭的表達(dá)式:

(19)

(20)

則襯砌外水壓力為

(21)

注漿圈外水壓力為

(22)

1.3解的驗(yàn)證

古德曼方程[9]在計(jì)算高水頭隧道毛洞涌水量時(shí)具有非常高的準(zhǔn)確度.當(dāng)隧道為毛洞狀態(tài)時(shí),認(rèn)為rg=rl=r0或者ks=kg=kl,此時(shí),式(15)可退化為

(23)

式(23)即為古德曼自由出流方程.

由式(16)可得毛洞下情況,海床內(nèi)任意一點(diǎn)的水壓力：

(24)

式(24)即大埋深假定下的Harr解[18].

本文解析解能退化到計(jì)算高水頭隧道毛洞涌水量的古德曼方程以及水壓力的經(jīng)典解——Harr解,驗(yàn)證了本文解的正確性.

2算例分析

由式(15)可知,影響涌水量的參數(shù)可以分為2類,即幾何參數(shù)hc/rg、rg/rl、rl/r0和滲透系數(shù)參數(shù)ks/kg、ks/kl.由式(15)可以看出各個(gè)幾何參數(shù)以及滲透系數(shù)參數(shù)對(duì)解析解的影響類似,以下結(jié)合算例分別討論本文解和文獻(xiàn)[10]的解的差異,以及埋深和注漿圈滲透系數(shù)等參數(shù)對(duì)解的影響.

某海底隧道工程,襯砌內(nèi)半徑r0=5m,襯砌外半徑rl=6m,海床滲透系數(shù)ks=5.0×10-6m/s,水深30m,襯砌滲透系數(shù)kl=1.0×10-7m/s,注漿圈厚度取4m.定義埋深比nd為埋深和隧道內(nèi)半徑之比,相對(duì)滲透系數(shù)nk為海床滲透系數(shù)和注漿圈滲透系數(shù)之比.隧道涌水量及襯砌外水頭和埋深比及相對(duì)滲透系數(shù)的關(guān)系如圖3～6所示.

圖3為隧道涌水量和nk的關(guān)系圖,圖5為襯砌外水頭和nk的關(guān)系圖.由圖3和5可知，提高注漿圈的抗?jié)B性能可以有效地降低隧道涌水量以及襯砌外水頭,但隨著注漿圈抗?jié)B性能的增加,對(duì)于隧道涌水量以及襯砌外水頭降低的作用趨于平緩.隨著埋深的增加,提高注漿圈抗?jié)B性對(duì)于降低隧道涌水量以及襯砌外水頭作用越明顯.圖4為隧道涌水量和nd的關(guān)系,圖6為襯砌外水頭和nd的關(guān)系,由圖4和6可知，隧道涌水量及襯砌外水頭隨著nd增加而增加,且近似成線性關(guān)系.從圖3～6還可以看出,文獻(xiàn)[10]的解高估了襯砌外水頭和隧道涌水量,且隨著注漿圈抗?jié)B性的下降以及埋深的增加,文獻(xiàn)[10]的解和本文解差距逐漸增大.

圖3　隧道涌水量和注漿圈相對(duì)滲透系數(shù)的關(guān)系Fig.3　Relationship between water inflow of tunnel and relative coefficient of grouting circle permeability

圖4　 隧道涌水量和埋深比的關(guān)系Fig.4　Relationship between water inflow of tunnel and ratio of burial depth to inner radius of tunnel

圖5　襯砌外水頭和注漿圈相對(duì)滲透系數(shù)的關(guān)系Fig.5　Relationship between hydraulic head around lining and relative coefficient of grounting circlepermeability

圖6　襯砌外水頭和埋深比的關(guān)系Fig.6　Relationship between hydraulic head around lining and ratio of burial depth to inner radius of tunnel

3工程應(yīng)用

工程實(shí)例一：王育奎等[19]根據(jù)相似理論,以某海底隧道右線Ⅳ級(jí)圍巖中的斷面YK6+905為原型,進(jìn)行模型試驗(yàn)以及數(shù)值計(jì)算研究.試驗(yàn)參數(shù)如下：幾何尺寸相似常數(shù)為1∶100,重度相似常數(shù)為1∶1.33,隧道毛洞半徑6.1 cm,上覆土層26.2 cm,海床滲透系數(shù)為0.05 m/d,拱頂處水深分別為32.1 cm及44.8 cm.

如表1所示,在不同的水頭高度下,無論本文解還是文獻(xiàn)[10]的解,相對(duì)于模型試驗(yàn)結(jié)果或者數(shù)值計(jì)算結(jié)果都偏大,但是本文解比文獻(xiàn)[10]的解更加接近試驗(yàn)結(jié)果以及數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

表1　不同方法涌水量值

工程實(shí)例二：某海底隧道工程處在斷裂破碎帶,洞徑r0=5 m,襯砌外半徑rl=6 m,注漿圈外半徑rg=11 m,上覆土層h=30 m,海水深度H=30 m.海床的滲透系數(shù)為5.0×10-6m/s,注漿圈的滲透系數(shù)為1.0×10-7m/s,襯砌的滲透系數(shù)為5.0×10-8m/s.陳俊儒等[20]利用FLAC2D對(duì)該工程問題進(jìn)行數(shù)值模擬,得出數(shù)值模擬情況下每延米涌水量為3.39 m3/d/m；王建宇解計(jì)算結(jié)果為3.55 m3/d/m；根據(jù)本文解,計(jì)算結(jié)果為3.50 m3/d/m.

由以上2個(gè)工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知,相比較而言,本文解相對(duì)于文獻(xiàn)[10]解更為合理.

4結(jié)論

(1)已有基于無限含水層豎井理論的水下隧道滲流解高估了襯砌外水頭和隧道涌水量,隨著注漿圈抗?jié)B性的下降以及埋深的增加,已有解和本文解差距變大.

(2)提高注漿圈抗?jié)B性能,可以有效地降低隧道涌水量及襯砌外水壓力.

(3)隧道涌水量及襯砌外水壓力和隧道埋深比近似呈線性增加的關(guān)系.

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收稿日期：2015-05-27.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278462,51338009).

作者簡介：應(yīng)宏偉(1971—),男,副教授，從事巖土工程方面的教學(xué)和科研工作. ORCID: 0000-0003-2079-6504. E-mail: ice898@zju.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.06.002

中圖分類號(hào)：TU 431

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-973X(2016)06-1018-06

Analytic solution on seepage field of underwater tunnel considering grouting circle

YING Hong-wei, ZHU Cheng-wei, GONG Xiao-nan

(ResearchCenterofCoastalandUrbanGeotechnicalEngineering,MOEKeyLaboratoryofSoftSoilsandGeoenvironmentalEngineeringofMinistryofEducation,ZhejiangUniversity,Hangzhou310058,China)

Abstract:Summarize the research about the water pressure around the lining and the water inflow into the tunnel. A virtual source was constructed using the method of images, which formed a “source-collection” system together with the under water tunnel. This method can transform the semi-infinite seepage field in reality into the superposition of two virtual infinite ones. The analytic solutions of water pressure around lining and water inflow were derived, considering the effects of the grouting circle and the lining of the tunnel. The solutions could degenerate to the classical Goodman free inflow equation and the hydraulic Harr solution at the condition of unlined tunnels, and were compared with the existing solutions by analyzing two tunnel cases. The study results indicate that the difference between the existing solution and our solution is more significant with a bigger tunnel burial depth or worse grouting circle condition. It is also found that the water inflow and the hydraulic head outside of the lining decrease efficiently with better grouting circle condition. Moreover, the water inflow and the hydraulic head outside of the lining have an approximately linearly increase with the burial depth of the tunnel.

Key words:underwater tunnel; hydraulic head around lining; water inflow; the method of images; analytic solution