加卷積窗測(cè)量電氣參量時(shí)的噪聲誤差研究

曹堃銳++劉梧林++丁海洋

摘 要：采用卷積窗加權(quán)法能夠基本消除電氣參量測(cè)量時(shí)的不同步采樣誤差，但卻無(wú)法降低噪聲帶來(lái)的測(cè)量誤差。文中研究了加卷積窗測(cè)量電氣參量時(shí)噪聲帶來(lái)的誤差問(wèn)題，研究得出：該測(cè)量誤差與信噪比及采樣頻率的開(kāi)方成反比；根據(jù)隨機(jī)噪聲具有的統(tǒng)計(jì)特性，提出了對(duì)實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)運(yùn)算，以計(jì)算量的增大換得噪聲引起的誤差減?。蛔詈笸ㄟ^(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提理論的有效性。

關(guān)鍵詞：電氣參量；卷積窗加權(quán)測(cè)量法；噪聲；誤差

中圖分類號(hào)：TM732 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2016）07-00-04

0 引 言

以微處理器為基礎(chǔ)的電工測(cè)量?jī)x表在測(cè)量有效值、有功功率等電氣參量時(shí)，信號(hào)頻率的不穩(wěn)定會(huì)帶來(lái)不同步采樣誤差[1，2]。許多學(xué)者就克服這種測(cè)量誤差進(jìn)行了研究[3-8]，但各種方法都有其側(cè)重點(diǎn)與局限性。文獻(xiàn)[9]提出的電氣參量卷積窗加權(quán)算法，可基本消除不同步采樣的測(cè)量誤差，且權(quán)函數(shù)有固定解析式，算法簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)。但對(duì)于加權(quán)算法計(jì)算電氣參量時(shí)，干擾噪聲帶來(lái)的誤差問(wèn)題卻沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的研究。在測(cè)量過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)噪聲永遠(yuǎn)存在于電力系統(tǒng)中，其對(duì)測(cè)量帶來(lái)的誤差往往不能忽視，尤其對(duì)強(qiáng)度較弱的電流信號(hào)而言[10]，一點(diǎn)噪聲干擾可能就使系統(tǒng)的信噪比很低、誤差很大。因此本文在簡(jiǎn)單闡述了卷積窗加權(quán)算法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)推導(dǎo)了電氣參量加權(quán)測(cè)量中的噪聲誤差公式，并給出了相應(yīng)的減小誤差的方法。該方法對(duì)于解決電氣參量高精度測(cè)量中的實(shí)際問(wèn)題具有借鑒和指導(dǎo)意義。

1 電氣參量的卷積窗加權(quán)測(cè)量法

設(shè)交流電信號(hào)u（t）、i （t）的周期為T(mén)，則有效值及有功功率為：

在電信號(hào)采樣過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)不同步誤差，導(dǎo)致用（1）、（2）式計(jì)算有效值時(shí)，使得信號(hào)周期T只能用一近似值T0代入。設(shè)x為相對(duì)頻偏，即T0=（1+x）T；f=（1+x）f0。對(duì)電信號(hào)加卷積窗可有效克服不同步帶來(lái)的誤差，為便于數(shù)值模擬，對(duì)加窗后的有效值及有功功率進(jìn)行時(shí)間上的離散。

設(shè)N為一個(gè)估計(jì)周期T0中的采樣點(diǎn)數(shù)，采樣序列記為un、in，相應(yīng)的卷積窗序列為wk，則有效值及有用功率的加權(quán)離散表達(dá)式為：

列出了常用的1～3階卷積窗函數(shù)解析式[7]，見(jiàn)式（5）～（7）所示：

2 電氣參量加權(quán)測(cè)量中噪聲誤差分析

2.1 有效值的噪聲誤差分析

以電壓信號(hào)u（t）為例進(jìn)行說(shuō)明。隨機(jī)高斯白噪聲假設(shè)為z（t），其離散采樣序列為zn，為在加噪聲z（t）條件下得到的電壓有效值，則根據(jù)式（3）可得：

式中Uz為噪聲信號(hào)的有效值，ξ是電壓與噪聲信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，與信噪比SNR（dB）有關(guān)，不同SNR下的ξ值分別為：

由于高斯白噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)采樣點(diǎn)zn可以認(rèn)為服從N（0，σ2）的正態(tài)分布，而高斯白噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差等于其有效值Uz，則有：

其中，Pu、Pz分別為電壓信號(hào)及噪聲信號(hào)的有功功率，SNR為信噪比。

通過(guò)以上計(jì)算可以得出：

不同采樣點(diǎn)的噪聲誤差可以看成是相互獨(dú)立無(wú)關(guān)的，則信噪比一定時(shí)，電壓有效值的期望和方差為：

其中，Ak定義與上節(jié)相同，主要依賴于權(quán)系數(shù)的階數(shù)k，有A1=1.00，A2=1.15，A3=1.29[11]。信噪比一定時(shí)，由噪聲隨機(jī)性引起的電壓有效值與噪聲有效值之和的測(cè)量相對(duì)誤差為：

式中fS為采樣頻率，T0為額定周期（T0=1/f0）， ξ由式（9）確定。

同理可得，電流有效值與所加噪聲有效值之和的測(cè)量相對(duì)誤差為：

通過(guò)式（15）、式（16）可以看出，加入高斯白噪聲引起的測(cè)量相對(duì)誤差反比于信噪比及采樣頻率的開(kāi)方根，而增大卷積窗階數(shù)k會(huì)使Ak也增大，故只使誤差略微減小。

2.2 有功功率的噪聲誤差分析

設(shè)電壓信號(hào)為u（t），電流信號(hào)為i（t）。zn1、zn2分別為電壓、電流的噪聲信號(hào)離散采樣序列，為在噪聲條件下得到的有功功率，則根據(jù)式（4）有：

對(duì)于zn1、zn2序列可以認(rèn)為服從N（0，σ2）的隨機(jī)正態(tài)分布，根據(jù)式（11）可以得出：

式中SNR1、SNR2分別代表電壓信號(hào)、電流信號(hào)的信噪比（dB）。

電壓與電流的噪聲信號(hào)zn1、zn2是相互獨(dú)立無(wú)關(guān)的，可得出以下推導(dǎo)：

不同采樣點(diǎn)的噪聲誤差可以看成是相互獨(dú)立無(wú)關(guān)的，則有功功率的期望和方差為：

其中，Ak、Ak1、Ak2定義與上節(jié)相同（、），在給定權(quán)系數(shù)的階數(shù)k后，Ak1=Ak2=Ak，且有A1=1.00，A2=1.15，A3=1.29[11]。因此由于噪聲而造成的有功功率測(cè)量的相對(duì)誤差為：

式中fs為采樣頻率，ψ為功率因數(shù)的真值。

通過(guò)式（22）可以看出，加入高斯白噪聲引起的測(cè)量相對(duì)誤差反比于信噪比及采樣頻率的開(kāi)方根，而增大卷積窗階數(shù)k會(huì)使Ak也增大，故只使誤差略微減小。

3 降低噪聲誤差的方法

由上節(jié)可知，直接測(cè)量出的有效值應(yīng)在綜合有效值（真有效值與噪聲有效值之和）上下一定范圍內(nèi)隨機(jī)得出，且信噪比越小，波動(dòng)范圍越大。但信噪比低于一定值時(shí)，波動(dòng)范圍大小將基本不變。同時(shí)噪聲信號(hào)與電信號(hào)的不相關(guān)性，使得式（15）中的綜合有效值波動(dòng)不會(huì)太大。由此，我們可以求出多個(gè)周期的有效值大小，再通過(guò)其期望和方差，聯(lián)立式（13）、式（14）建立二元一次方程組，求出真有效值與信噪比大小。

假設(shè)在信噪比不變的情況下，采樣了3n個(gè)周期，每三個(gè)周期加三階卷積窗權(quán)系數(shù)求一次有效值，則將得到n組有效值，記為Ui（i=1，2，…，n），建立方程組有：

若在計(jì)算前能大概估出信噪比范圍，則直接利用式（9）確定相關(guān)系數(shù)ξ，否則可先按ξ=1代入計(jì)算信噪比，再進(jìn)行調(diào)整即可。endprint

由于加了三階卷積窗權(quán)系數(shù)求其有效值，故不同步誤差可忽略。這時(shí)由式（23）算出的電壓、電流真有效值的主要誤差為：在信噪比一定時(shí)，有限個(gè)數(shù)Ui所求出的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)際值與理論值之間不相同所帶來(lái)的計(jì)算誤差。根據(jù)上面的分析，可以通過(guò)以下辦法提高計(jì)算的精度：

（1）在信噪比不變的情況下，增加采樣周期，使得原有效值Ui的數(shù)量增多，這樣Ui的均值及標(biāo)準(zhǔn)差將更接近理論值。此辦法的可行性在于只需考慮計(jì)算量因數(shù)，而不用考慮頻率偏差是否變化。

（2）通過(guò)硬件設(shè)備降低系統(tǒng)的信噪比，這樣可使Ui圍繞綜合有效值的波動(dòng)范圍減小，求出的均值及標(biāo)準(zhǔn)差更準(zhǔn)確。

（3）增加采樣頻率，式（15）采樣頻率的增大也會(huì)使Ui誤差的波動(dòng)范圍減小。

與有效值的方法類似，在信噪比不變的情況下，對(duì)電壓、電流信號(hào)分別采樣 3n個(gè)周期，加三階卷積窗權(quán)系數(shù)求出n組有功功率值，記為 （Pi（i=1，2，…，n）），其均值為：

根據(jù)式（20）可知， 便是所要求的有功功率值。若要進(jìn)一步提高計(jì)算精度，可做與有效值類似的處理。

4 數(shù)值模擬

4.1 有效值仿真

為驗(yàn)證本節(jié)理論的有效性，對(duì)加白噪聲的電信號(hào)進(jìn)行數(shù)值仿真：

式中的z（t）代表隨機(jī)生成的標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲信號(hào)[12]。在電力系統(tǒng)中信號(hào)頻率的波動(dòng)范圍一般為49.5～50.5 Hz，取f0=50 Hz，則相對(duì)頻偏|x|<0.01。各次諧波的振幅（V）與初相位（rad）見(jiàn)表1所列。

假設(shè)量化位數(shù)足夠高，因此，不考慮量化誤差。圖1列出了采樣頻率 ，卷積窗階數(shù)k=3，信噪比SNR=120、50、8、0、 -8、-20（dB）時(shí)相對(duì)頻偏與綜合相對(duì)誤差的關(guān)系仿真圖，點(diǎn)狀直線為式（15）算出的理論噪聲誤差，曲線或折線為實(shí)際綜合誤差，花點(diǎn)為不同步采樣造成的誤差（信噪比較低時(shí)可忽略）。由圖中可以看出兩點(diǎn)：

（1） 由于干擾噪聲的隨機(jī)性，實(shí)際誤差值以理論估計(jì)值為中心上下波動(dòng)，說(shuō)明理論公式可以估計(jì)真實(shí)的情況，具有實(shí)際應(yīng)用性；

（2）隨著信噪比的降低，綜合有效值的誤差逐漸增大，但極低信噪比下，變換趨勢(shì)卻很緩慢。

在仿真條件不變的情況下，表2列出了常用信噪比下利用式（23）在不同測(cè)量次數(shù)時(shí)，求得的有效值與真值的絕對(duì)誤差大?。╒）。信號(hào)的真有效值為U=220.064 V。

可以看出，使用式（23）可以很好的求出電信號(hào)有效值大小，且隨著測(cè)量次數(shù)的增多，所求的結(jié)果越準(zhǔn)確。

4.2 有功功率仿真

對(duì)含噪電信號(hào)

進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗(yàn)證本節(jié)理論的有效性。在電力系統(tǒng)中，f0=50 Hz，相對(duì)頻偏|x|<0.01。取采樣頻率fs=3 200 Hz，權(quán)階數(shù)k=3。

假設(shè)量化位數(shù)足夠高，不考慮量化誤差。隨機(jī)選取幾組電壓、電流的信噪比SNR1、SNR2對(duì)有功功率及功率因數(shù)測(cè)量中因噪聲引起的相對(duì)誤差進(jìn)行仿真，如圖2所示。點(diǎn)狀直線為式（22）算出的測(cè)量誤差的理論估計(jì)值，折線為實(shí)際測(cè)量誤差?？梢钥闯觯河捎诟蓴_噪聲的隨機(jī)性，實(shí)際誤差值以理論估計(jì)值為中心上下波動(dòng)，說(shuō)明理論公式可以估計(jì)真實(shí)的情況，具有實(shí)際應(yīng)用性。

在前提條件不變的情況下，表3列出了在不同測(cè)量次數(shù)時(shí)，求得的有功功率與真值的絕對(duì)誤差大?。╓），有功功率的真值為P=550 W?？梢钥闯?，測(cè)量出的有功功率次數(shù)越多，求出的均值越接近于其真值。

5 結(jié) 語(yǔ)

在基于三階卷積窗加權(quán)算法的電氣參量測(cè)量中，不同步采樣引起的誤差基本可以忽略不計(jì)，這時(shí)干擾噪聲引起的測(cè)量誤差將變得重要，尤其對(duì)于某些小信號(hào)而言。從推導(dǎo)出的噪聲誤差關(guān)系式中可以看出，測(cè)量誤差與采樣頻率的開(kāi)方及信噪比成反比。根據(jù)噪聲具有的隨機(jī)性特征，可通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)降低其信噪比，以改善電氣參量的測(cè)量精度。數(shù)值模擬結(jié)果說(shuō)明，對(duì)電氣參量測(cè)量的次數(shù)越多，求出的均值越接近于各參量的真值。因此需在計(jì)算量與測(cè)量精度之間做折中選擇。

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