噪聲在雙穩(wěn)和生物系統(tǒng)中非線性效應(yīng)的應(yīng)用研究

王國威，付　燕

(1南昌工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江西 南昌 330108;2南昌工學(xué)院 民族教育學(xué)院，江西 南昌 330108;3南昌工學(xué)院 非線性力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330108)

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噪聲在雙穩(wěn)和生物系統(tǒng)中非線性效應(yīng)的應(yīng)用研究

王國威1,3，付燕2

(1南昌工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江西 南昌 330108;2南昌工學(xué)院 民族教育學(xué)院，江西 南昌 330108;3南昌工學(xué)院 非線性力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330108)

摘要：回顧了噪聲對(duì)雙穩(wěn)系統(tǒng)非線性效應(yīng)影響的理論發(fā)展歷程；根據(jù)生物系統(tǒng)中比較常見的Logistic模型和Levins模型，分別針對(duì)腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)和集合種群系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀和進(jìn)展，指出噪聲在雙穩(wěn)、生物系統(tǒng)當(dāng)中的若干應(yīng)用，總結(jié)概括出噪聲對(duì)生物系統(tǒng)中非線性效應(yīng)影響的積極作用和消極作用，并對(duì)后期的工作做出一定的預(yù)測。

關(guān)鍵詞：噪聲；雙穩(wěn)系統(tǒng)；非線性效應(yīng)；生物系統(tǒng)；應(yīng)用

物理學(xué)中，把引起宏觀變量演化的原因可以唯象地分為2部分：一部分是對(duì)宏觀變量的動(dòng)力學(xué)過程持續(xù)起作用的因素;另一部分性質(zhì)極為復(fù)雜，這一部分通常反映的是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)對(duì)宏觀變量所帶來的影響，而且這些影響通常情況下又各自獨(dú)立，互不關(guān)聯(lián)[1]。這一作用與宏觀變量比起來是非常小的，它反映微觀世界的運(yùn)動(dòng)對(duì)宏觀變量的影響，它變化的時(shí)間尺度與宏觀運(yùn)動(dòng)相比要小得多，因此這一影響可以看成是快速變化、隨機(jī)、不可預(yù)言的[2]。所以，“噪聲”又被稱為“隨機(jī)力”、“漲落力”或者“漲落”。這是物理學(xué)中對(duì)介于微觀和宏觀層次之間的復(fù)雜系統(tǒng)的一種描述，我們把它叫做隨機(jī)層次描述[3]。

在物理學(xué)中，把由線性函數(shù)描述的系統(tǒng)稱作線性系統(tǒng)，而把由非線性函數(shù)描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。對(duì)于線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)內(nèi)部相互作用為線性，所以系統(tǒng)的整體性質(zhì)就是各子系統(tǒng)孤立存在時(shí)性質(zhì)的簡單疊加，即整體等于部分之和。而非線性系統(tǒng)通常也是由大量子系統(tǒng)組成，但是由于子系統(tǒng)之間的相互作用為非線性，系統(tǒng)不再滿足疊加原理，系統(tǒng)整體表現(xiàn)出來的現(xiàn)象也不再是個(gè)體行為的簡單疊加，而可能是一種個(gè)體不具有的行為。從子系統(tǒng)層次到系統(tǒng)層次，不僅有量的積累，更主要的是發(fā)生了質(zhì)的飛躍[2-5]。

由于一個(gè)小的隨機(jī)力并不僅僅對(duì)原有的確定性方程結(jié)果產(chǎn)生微小的改變，在一定的非線性條件下，它還能對(duì)系統(tǒng)的演化起決定性作用。通常，人們認(rèn)為噪聲總是起著消極的破壞作用，它產(chǎn)生雜亂無章的運(yùn)動(dòng)、破壞序、破壞功能，抹去相與相之間的差別。但是近年來的大量研究表明，它能對(duì)體系的演化起著關(guān)鍵性的作用。

Benzi等[4]在1981年提出“隨機(jī)共振”概念之后，隨機(jī)共振及其相關(guān)問題的研究引起大量研究者的興趣，在理論和實(shí)驗(yàn)當(dāng)中取得重大的突破。隨后，在隨機(jī)共振的研究中，雙穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)入人們的視線，并引起廣泛的關(guān)注，它在近30年里不斷發(fā)展和擴(kuò)展，從理論上噪聲的非線性效應(yīng)在雙穩(wěn)系統(tǒng)得到發(fā)展，在生物系統(tǒng)體現(xiàn)了其實(shí)用價(jià)值[10-12]。

1噪聲在雙穩(wěn)系統(tǒng)的發(fā)展歷程

1.1雙穩(wěn)系統(tǒng)的白噪聲

J.P.Jung等[5]在1987年對(duì)乘性色噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)模型進(jìn)行研究，并推導(dǎo)出一致有色噪聲近似(UCNA)；1989年L.Gammaitoni等[6]人分析雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象，討論低頻率周期力驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的弛豫時(shí)間。1992年3月，秦光戎等[7]人借助雙穩(wěn)系統(tǒng)的方程，用模擬電路的方法對(duì)隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行多方面的實(shí)驗(yàn)研究，并指出隨機(jī)共振的理論和實(shí)驗(yàn)研究很可能為科技發(fā)展形成一個(gè)新的、良好的前景。之后的20年間，關(guān)于雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究，在噪聲統(tǒng)計(jì)性質(zhì)方面，由白噪聲到色噪聲;在噪聲關(guān)聯(lián)形式上，從白關(guān)聯(lián)、無關(guān)聯(lián)到色關(guān)聯(lián)，大量的研究層出不窮[8-10]。1994年，吳大進(jìn)等[11]人給出一種求解一維隨機(jī)方程的Fokker -Planck的方法，并分析關(guān)聯(lián)白噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)，而在該研究中得到的Fokker-Planck方程的表達(dá)式，基本可以充當(dāng)求解相應(yīng)的非線性系統(tǒng)的Fokker-Planck方程的公式使用。在1996年Jia Ya等[12]介紹推導(dǎo)色關(guān)聯(lián)白噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的Fokker -Planck方程的方法，并分析該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)；同年，他們又分析關(guān)聯(lián)白噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的瞬態(tài)性質(zhì)。

1.2雙穩(wěn)系統(tǒng)的色噪聲

在上述研究當(dāng)中所考慮的噪聲統(tǒng)計(jì)性質(zhì)基本為白噪聲。眾所周知，白噪聲的功率譜為白譜，需要有無窮大的功率才能產(chǎn)生，實(shí)際并不存在?，F(xiàn)實(shí)中，色噪聲更加接近實(shí)際。隨著研究的深入，更多關(guān)于色噪聲的研究引起人們的關(guān)注。2005年，Jin Yanfei等[13]研究乘性色噪聲和色關(guān)聯(lián)的噪聲對(duì)雙穩(wěn)系統(tǒng)的瞬態(tài)性質(zhì)的影響。之后，色噪聲和色關(guān)聯(lián)吸引大量的研究者，并取得多項(xiàng)研究成果，例如，噪聲可以導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生相變，可以使穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)發(fā)生雙峰和單峰之間的轉(zhuǎn)換。

1.3雙穩(wěn)系統(tǒng)的非對(duì)稱性

在隨后的研究中，部分學(xué)者注意到，之前大多數(shù)的研究模型都集中在對(duì)稱的雙穩(wěn)系統(tǒng)。但是在許多實(shí)際的物理系統(tǒng)中，對(duì)稱性是難以保證的，因此，勢阱的非對(duì)稱性問題擺在科學(xué)家和研究者面前。于是，關(guān)于非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)，從白噪聲到色噪聲，從零關(guān)聯(lián)、白關(guān)聯(lián)到色關(guān)聯(lián)，從穩(wěn)態(tài)性質(zhì)到瞬態(tài)性質(zhì)，從隨機(jī)共振到多重隨機(jī)共振等，雙穩(wěn)系統(tǒng)又得到一次新生。而且，可以在系統(tǒng)中加入信號(hào)，例如周期信號(hào)或者矩形信號(hào)，然后再考慮信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的非線性效應(yīng)的影響。2007年，周丙常等[14]研究周期混合信號(hào)、關(guān)聯(lián)的乘性和加性噪聲聯(lián)合激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。運(yùn)用兩態(tài)理論，給出基頻和高階諧頻信噪比的理論結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在基頻和高階諧頻情形下均出現(xiàn)隨機(jī)共振，并且高階諧頻存在抑制現(xiàn)象。

1.4雙穩(wěn)系統(tǒng)的時(shí)間延遲

時(shí)代在變遷，科學(xué)在發(fā)展，技術(shù)在進(jìn)步。隨著研究的深入，人們研究問題的眼光和深度也在不斷變化。自從“時(shí)間延遲效應(yīng)”被提出之后，雙穩(wěn)系統(tǒng)中的延時(shí)效應(yīng)又引起人們的思考。對(duì)于任何一個(gè)系統(tǒng)而言，噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響必然不是立刻就產(chǎn)生的，必定有一個(gè)時(shí)間延遲的過程，因此研究者把延時(shí)的影響帶進(jìn)了雙穩(wěn)系統(tǒng)。雙穩(wěn)系統(tǒng)自此又進(jìn)入一個(gè)新的發(fā)展階段，關(guān)于該系統(tǒng)的理論研究部分逐漸趨于成熟，但又不斷催生出新的研究方向。更多的研究者開始考慮如何把噪聲的非線性影響應(yīng)用在更具實(shí)際意義的模型當(dāng)中，而不是單純的考慮毫無實(shí)際意義的理論模型[15-16]。

2噪聲在生物系統(tǒng)中的若干應(yīng)用

在具有實(shí)際意義的模型當(dāng)中，如今研究較為火熱的必屬生物系統(tǒng)這個(gè)大的范疇[2,8,10]，其中包括很多交叉學(xué)科，在這些領(lǐng)域里噪聲給系統(tǒng)帶來的非線性效應(yīng)讓人們發(fā)現(xiàn)各種各樣奇異甚至是打破人的思維常識(shí)的現(xiàn)象[17]。

2.1腫瘤細(xì)胞生長模型中的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)

目前被廣泛研究的Logistic系統(tǒng)，可以用來描述細(xì)胞生長、單種群生長、人口增長和經(jīng)濟(jì)增長等典型模型[18-19]。特別地，Logistic模型可以對(duì)腫瘤細(xì)胞的生長進(jìn)行很好地描述。Ai Bao-quan等[20]首次將高斯白噪聲和白交叉關(guān)聯(lián)噪聲引入到Logistic方程，用于研究噪聲對(duì)腫瘤細(xì)胞生長的影響，并且發(fā)現(xiàn)噪聲間的關(guān)聯(lián)可以導(dǎo)致腫瘤細(xì)胞滅絕。由于腫瘤細(xì)胞在生長過程中總會(huì)受到一些隨機(jī)因素(如溫度、放射治療、化療、藥物等)的影響，那么把溫度、放射治療、化療、藥物、生物體內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)和免疫組織的作用的隨機(jī)漲落引入到腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)的物理和實(shí)際模型中是非常合理的。

隨后，關(guān)于這方面的研究不斷得到深化，更多的研究者把眼光放到具有實(shí)際指導(dǎo)意義的模型當(dāng)中。Ai Bao-quan等[20]人指出，腫瘤細(xì)胞生長率的波動(dòng)能夠減少腫瘤的數(shù)量，而且噪聲能夠引起系統(tǒng)的相變。2005年，鐘偉榮等[21]人在Logistic生長模型中引入加性和乘性關(guān)聯(lián)噪聲，通過求解其對(duì)應(yīng)的Fokker -Planck方程，揭示乘性噪聲對(duì)腫瘤生長規(guī)律有分化作用，腫瘤細(xì)胞數(shù)量以及生長規(guī)律隨乘性噪聲的強(qiáng)度增加，并且表現(xiàn)出隨機(jī)共振。另外，在一定的乘性噪聲強(qiáng)度下，不但不能使腫瘤細(xì)胞滅絕，反而能促使其增長，這一觀點(diǎn)的提出，在醫(yī)學(xué)上對(duì)于腫瘤方面的治療是有一定指導(dǎo)意義的。這告訴我們，并不是簡單的使用藥物、化療或者放射治療就能遏制腫瘤擴(kuò)散和腫瘤細(xì)胞的增長。邵元智等[22]人在該模型的基礎(chǔ)上，研究基于酶動(dòng)力學(xué)的免疫監(jiān)視下腫瘤細(xì)胞生長情況。他們改進(jìn)之前的模型，在系統(tǒng)中加入免疫監(jiān)視和治療外力。關(guān)于腫瘤細(xì)胞生長動(dòng)力學(xué)的研究，已經(jīng)從最初單純的解釋腫瘤的生長擴(kuò)散現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q其生命科學(xué)，甚至是對(duì)其生長和擴(kuò)散現(xiàn)象做出預(yù)見性的解釋。邵元智指出，在之前已經(jīng)有的研究中，在擬定腫瘤化療方案時(shí)，用藥時(shí)間和間隔時(shí)間的比例往往是憑借藥代動(dòng)力學(xué)和生物毒性實(shí)驗(yàn)來確定。他的研究是在基于腫瘤細(xì)胞生長動(dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，從計(jì)算的角度證實(shí)存在最佳用藥時(shí)間和間隔時(shí)間的比例，并與腫瘤患者臨床治療數(shù)據(jù)做了對(duì)比，理論計(jì)算結(jié)果和臨床觀察結(jié)果基本一致。

2.2腫瘤細(xì)胞生長系統(tǒng)中的瞬態(tài)性質(zhì)

關(guān)于腫瘤細(xì)胞生長問題的早期研究，大多都集中在分析其穩(wěn)態(tài)性質(zhì)和腫瘤細(xì)胞的數(shù)量上，不同的只是研究者考慮的噪聲統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的差異。然而在腫瘤的實(shí)際治療當(dāng)中，我們更關(guān)心的是如何防止腫瘤擴(kuò)散，什么時(shí)候腫瘤細(xì)胞趨于滅絕。于是，腫瘤細(xì)胞增長的Logistic模型的首次平均通過時(shí)間吸引了研究者的注意[5,13,23]。平均首次通過時(shí)間是用來描述非線性系統(tǒng)逃逸問題的特征量之一，可以很好地描述系統(tǒng)的瞬態(tài)性質(zhì)。它指的是系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)出發(fā)穿越勢壘進(jìn)入另一個(gè)勢阱所用時(shí)間的平均值。Wang Can-jun等[24]人在2007年分析色交叉關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性白噪聲驅(qū)動(dòng)的腫瘤細(xì)胞生長模型的平均首次通過時(shí)間，他指出噪聲強(qiáng)度的增加導(dǎo)致系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間減小，而且噪聲間的關(guān)聯(lián)只是線性的增加系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間。

2.3腫瘤細(xì)胞生長系統(tǒng)的時(shí)間延遲

和雙穩(wěn)系統(tǒng)的理論研究部分一樣，分析純粹的理論模型之后，研究者開始把腫瘤細(xì)胞生長模型和實(shí)際相結(jié)合，也就是開始考慮時(shí)間延遲對(duì)系統(tǒng)的影響。由于信息、能量和物質(zhì)的傳輸速度有限，因此時(shí)間延遲是廣泛存在的現(xiàn)象，所以在理論模型中引入時(shí)間延遲才能真實(shí)地反映自然規(guī)律。2008年，郭永峰和徐偉通過小時(shí)間延遲近似方法，給出關(guān)聯(lián)白噪聲驅(qū)動(dòng)的具有時(shí)間延遲的Logistic系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)[25-26]。研究發(fā)現(xiàn)，在時(shí)間延遲存在的情況下，增加乘性噪聲強(qiáng)度比增加加性噪聲強(qiáng)度在控制腫瘤細(xì)胞的增長方面更具效果，而且噪聲強(qiáng)度、時(shí)間延遲量和耦合強(qiáng)度均可以產(chǎn)生相變，同時(shí)也說明周圍環(huán)境的變化以及細(xì)胞自身因素的變化均可以引起腫瘤細(xì)胞的消亡，為更好地控制腫瘤細(xì)胞的增長提供一定的新思路。同年，韓立波[27]應(yīng)用小延時(shí)近似方法，研究色關(guān)聯(lián)噪聲誘導(dǎo)的延時(shí)邏輯生長過程，求解腫瘤細(xì)胞生長系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)的解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)延時(shí)量的變化可以使穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)發(fā)生由多極值結(jié)構(gòu)向單極值結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，并且還可以使腫瘤細(xì)胞數(shù)量的平均值的極值位置和極值大小發(fā)生改變。

近2年，關(guān)于腫瘤細(xì)胞的Logistic生長模型的研究，更多的是和實(shí)際結(jié)合在一起的，即在系統(tǒng)中加入免疫監(jiān)視項(xiàng)和延時(shí)量，并且考慮的問題不僅僅是穩(wěn)態(tài)性質(zhì)[28]及腫瘤細(xì)胞數(shù)目的平均值，而是更多地考慮系統(tǒng)的平均首次通過時(shí)間和躍遷率。

2.4集合種群模型中噪聲的非線性效應(yīng)

當(dāng)然，噪聲的非線性效應(yīng)并不局限于腫瘤細(xì)胞Logistic生長模型當(dāng)中，也可以用于癌細(xì)胞增長系統(tǒng)和單物種種群生長系統(tǒng)，而目前研究比較火熱的一個(gè)方面是噪聲的非線性效應(yīng)在物種生存和生物多樣性保護(hù)方面的研究。

當(dāng)今社會(huì)，生態(tài)環(huán)境的破壞和生物的滅絕已經(jīng)成為物種多樣性保護(hù)和物種續(xù)存的最嚴(yán)重挑戰(zhàn)，研究生態(tài)環(huán)境的破壞對(duì)生物鏈中某一環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)影像已經(jīng)成為生態(tài)學(xué)家關(guān)注的一個(gè)重點(diǎn)。影響生物種群滅絕導(dǎo)致生物鏈斷裂，甚至生態(tài)系統(tǒng)崩潰的隨機(jī)干擾大致可以分為3類，分別是生物種群統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性、環(huán)境隨機(jī)性和隨機(jī)災(zāi)害。長期以來，對(duì)種群滅絕問題的大量研究都集中在種群統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性和環(huán)境隨機(jī)性對(duì)種群動(dòng)力學(xué)的干擾上，2008年李江城等[18]在Levins模型的基礎(chǔ)上，利用簡化的延時(shí)率函數(shù)模型對(duì)集合種群的穩(wěn)定性和平均滅絕時(shí)間進(jìn)行討論，研究發(fā)現(xiàn)：延遲時(shí)間的增大將使集合種群在斑塊中占有率減小，而且隨著延遲時(shí)間的增大，集合種群的滅絕時(shí)間將會(huì)減小。按照雙穩(wěn)系統(tǒng)理論發(fā)展的變化規(guī)律，關(guān)于集合種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題和平均滅絕時(shí)間問題，以及近幾年關(guān)注程度比較高的延時(shí)問題，都可以在Levins模型中予以討論，并用更加接近實(shí)際生態(tài)環(huán)境的模型去分析種群滅絕問題。但是，目前關(guān)于這方面的研究遠(yuǎn)不如雙穩(wěn)系統(tǒng)那么多。王參軍等[17]于2012年在Levins模型的基礎(chǔ)上研究關(guān)聯(lián)白噪聲對(duì)集合種群的穩(wěn)定性的影響，提出加性噪聲強(qiáng)度和乘性噪聲強(qiáng)度均弱化集合種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且噪聲間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的增加可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。隨后，王康康等[19]分析乘性和加性高斯白噪聲對(duì)含有時(shí)滯項(xiàng)的集合種群動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)和平均滅絕時(shí)間，得到平均滅絕時(shí)間是加性噪聲強(qiáng)度和隨機(jī)系統(tǒng)延遲時(shí)間的減函數(shù)，是乘性噪聲強(qiáng)度的加函數(shù)的結(jié)論。

在已有的關(guān)于集合種群的研究中，關(guān)于噪聲對(duì)系統(tǒng)非線性效應(yīng)的影響的文章比較少，目前已有的研究多是從數(shù)學(xué)模型和生態(tài)學(xué)理論的角度開展的。如馬祖飛等[29]在2003年回顧種群統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性與環(huán)境隨機(jī)性的概念起源與發(fā)展，系統(tǒng)闡述了關(guān)于集合種群的分析方法，對(duì)2類隨機(jī)性在種群滅絕研究中的應(yīng)用范疇、作用方式和特點(diǎn)進(jìn)行歸納。2004年惠蒼等[30]對(duì)集合種群理論和模型做了全面的分析和總結(jié)，然后對(duì)其發(fā)展進(jìn)行探討，并對(duì)其中的模型進(jìn)行模擬和研究，最后指出以空間因素為主要考慮的集合種群理論與試驗(yàn)研究，已經(jīng)形成當(dāng)今國際生態(tài)學(xué)的前沿性領(lǐng)域，并且必然將成為生態(tài)學(xué)乃至環(huán)境科學(xué)的重要分支。2007年，李自珍[31]討論集合種群受生境破壞影響的新模型及其生態(tài)效應(yīng)。

3展望

關(guān)于Levins模型，可以研究的內(nèi)容還有很多，如改變?cè)肼暤慕y(tǒng)計(jì)性質(zhì)，計(jì)算在不同的關(guān)聯(lián)情況或者無關(guān)聯(lián)噪聲的作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)、一階矩以及平均滅絕時(shí)間。還可以加入隨機(jī)系統(tǒng)延遲時(shí)間，考慮延時(shí)作用下噪聲對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響[32]。另外，之前的文章考慮的均為封閉系統(tǒng)，即外界沒有相同類型的物種進(jìn)入這一領(lǐng)域。然而，在實(shí)際生態(tài)環(huán)境中這是不現(xiàn)實(shí)的，必然要考慮種群的遷徙，那么通過遷徙進(jìn)入該領(lǐng)域的同種生物必然就要加入該系統(tǒng)的研究中，這樣一來，系統(tǒng)就變成一個(gè)開放系統(tǒng)。對(duì)于開放系統(tǒng)而言，應(yīng)該怎樣對(duì)模型做相應(yīng)的簡化或者處理，然后再去考慮相應(yīng)的噪聲形式和時(shí)間延遲等對(duì)集合種群系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，這是一個(gè)值得仔細(xì)研究的方向。目前，國內(nèi)研究比較火熱的是噪聲的非線性效應(yīng)在集合種群當(dāng)中的應(yīng)用。在集合種群模型的基礎(chǔ)之上可以在系統(tǒng)中加入關(guān)聯(lián)色噪聲，并利用統(tǒng)一色噪聲近似方法，根據(jù)Fox的方法，計(jì)算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布函數(shù)的解析表達(dá)式和平均首次通過時(shí)間的表達(dá)式，分析各變量對(duì)種群滅絕的影響[33]。另外，關(guān)于捕食者-被捕食者模型，很多研究者也有濃厚的興趣，通過分析噪聲的非線性效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的影響，進(jìn)而分析獵物的滅絕時(shí)間，可以對(duì)防止獵物滅絕提供一定指導(dǎo)作用[34]。

參 考 文 獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯吳鴻霞)

收稿日期：2015-12-18

基金項(xiàng)目：江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：GJJ151240)；南昌工學(xué)院科技計(jì)劃項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：GJKJ-15-34)；南昌工學(xué)院非線性力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目。

作者簡介：王國威，講師，碩士。

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.03.010

中圖分類號(hào)：O431.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-4565(2016)03-0046-06

Application of Nonlinear Effects of Noise on Bistableand Biological Systems

Wang Guowei1,3,Fu Yan2

(1Department of Basic Courses,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108;2School of National Education,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108;3Key Laboratory of Nonlinear Mechanics,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108)

Abstract：The present situation and theoretical development process of noise's nonlinear effects on bistable system and biological system have been reviewed in this paper.Based on the Logistic model and Levins model in biological system,some applications of noise in bistable system and biological system are presented aiming at the research status and development of the tumor cell growth system and metapopulation system.The positive and negative influences of the noise on the nonlinear effects in biological systems are concluded,and some predictions for the later work are made.

Key words：noises;bistable system;nonlinear effects;biological systems;applications