TMD等強度懸臂梁實際應用時的頻率精確分析

陳政清+田靜瑩+黃智文+王嘉興

摘要：為了確定實際應用中調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）剛度單元的梯形懸臂梁參數(shù)，建立了梯形懸臂梁頻率的精確計算公式，計算了梯形等強度懸臂梁與三角形等強度懸臂梁頻率的誤差，利用梯形懸臂梁頻率計算公式確定了TMD等強度懸臂梁的設計步驟與程序，給出了工程示例，并使用仿真軟件ANSYS進行了驗證。結果表明：懸臂梁自由端的寬度小于固定端寬度的12.65%時，梯形等強度懸臂梁與三角形等強度懸臂梁的頻率相對誤差小于5%；所用程序可以用于確定滿足頻率精度要求的TMD等強度懸臂梁的參數(shù)，對工程實際有較大指導意義。

關鍵詞：調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；等強度懸臂梁；固有頻率；精確分析；程序設計

中圖分類號：U441文獻標志碼：A

Abstract： In order to determine the parameters of trapezoidal cantilever beam of stiffness element of tuned mass damper （TMD） in practical cases， the exact analytic solution of frequency of trapezoidal cantilever beam was deduced.The error of frequency between triangular equal strength cantilever beam and trapezoidal equal strength cantilever beam was calculated. The design procedure and program of equal strength cantilever beam of TMD using the formula of frequency of trapezoidal cantilever beam was defined. A typical example in engineering field was given and the results were checked with simulation software ANSYS. The results show that when the width of free end is less than 12.65% of the width of fixed end， the error of frequency between them is less than 5%. The designed program can be applied to determine parameters of equal strength cantilever beams of TMD when the accuracy requirements of frequency are met， and it is of great value when applied to the practical cases of engineering.

Key words： tuned mass damper； equal strength cantilever beam； natural frequency； exact analysis； programming

0引言

隨著土木工程基礎理論的發(fā)展，結構不單要考慮靜力作用，也要滿足風荷載和地震荷載等動荷載作用下的振動問題。傳統(tǒng)的結構設計僅依靠結構自身的性能，如增加結構剛度、強度、阻尼和改變質(zhì)量分布來抵抗振動。結構振動控制理論的研究和應用是結構抗振研究的重大突破。根據(jù)是否需要外界能源，結構控制方法可以分為以下4種：①被動控制，不需要外部能源，僅依靠控制裝置與結構的相互作用提供控制，如調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）和多調(diào)諧液體阻尼器（TLD）；②主動控制，需要外部能源提供控制，控制力的大小由前饋外激勵和反饋結構的動力響應決定；③半主動控制，所需能源較少，以被動控制為主；④混合控制，如主被動控制[1]。在眾多可用的控制裝置中，TMD是最常用的控制裝置，TMD的形式多種多樣。剛度單元為彈簧時，若用彈簧控制豎向剛度，則需要有足夠的空間滿足彈簧的靜力伸長與振動位移（如楊浦大橋一階豎向彎曲頻率為0.286 Hz，彈簧凈伸長約為3 m[2]），若用彈簧控制橫向剛度，則彈簧不能承受TMD質(zhì)量單元的重力，質(zhì)量單元底部還需要有承受重力的構造，構造比較復雜，所以在使用TMD控制結構的橫向振動時常使用擺式構造，如臺北101大廈抑制風振的TMD使用的鋼索[3]和榕江特大橋抑制吊桿振動的TMD使用的等強度懸臂梁[4]都是擺式TMD剛度單元。等強度懸臂梁作為剛度單元時，一是可以控制TMD最大振動對應的應力在疲勞控制應力之內(nèi)，從而避免往復運動產(chǎn)生疲勞破壞的可能[4]；二是可以最大程度減少材料的使用[5]，更加經(jīng)濟；三是可以同時達到容許應力，減少應力分布不均現(xiàn)象，從而提高安全系數(shù)[6]。

目前對于等強度懸臂梁的研究主要集中在將等強度懸臂梁作為高頻振動傳感器的振動元件、光纖光柵傳感器的轉換元件，以及廣泛利用等強度懸臂梁標定應變測試裝置和測力傳感器。如1987年耿運貴[7]設計了等強度懸臂梁標定應變片的方法和之后其他學者對等強度標定梁應變的不確定分析和最佳設計方法研究，2009年孫華等[8]推導了三角形等強度懸臂梁的共振頻率計算公式，2015年王雷等[9]研究了不同尺寸等強度懸臂梁的自由端撓度量程與作用力量程。

然而，對于實際應用中等強度懸臂梁自振頻率的研究卻很少，因為實際應用中TMD等強度懸臂梁的自由端必須懸掛質(zhì)量單元，自由端的寬度不能為0，即等強度懸臂梁的形狀不能為三角形。在實際中將三角形等強度懸臂梁自由端加寬后，梁的剛度變大、基頻變大。若使用三角形等強度懸臂梁固有頻率的簡單計算公式來確定符合TMD設計頻率的梁的參數(shù)，則會與TMD設計頻率產(chǎn)生偏差。2014年邱艷宇等[10]研究發(fā)現(xiàn)，在三角形懸臂梁的自由端接上一塊長度為總長度28%、寬度為固定端寬度45%的矩形板時，其基頻與同樣尺寸的三角形懸臂梁的基頻相差44%。王文熙[11]研究發(fā)現(xiàn)，頻率偏離對TMD的減振效果有很大影響，所以當自由端加寬時，懸臂梁的各個參數(shù)都需要進一步調(diào)整，傳統(tǒng)的調(diào)整方法是使用有限元軟件人為逼近，若是施工中存在反復修改，則人為逼近非常麻煩。因此，本文首先研究了實際使用的梯形懸臂梁自由端加寬多少時其頻率與三角形梁的頻率誤差小于限值，即可以使用三角形梁頻率計算公式來確定梁的參數(shù)；其次，推導了梯形懸臂梁頻率的精確計算公式，以及應用此公式設計TMD剛度單元時的參數(shù)確定方式與程序；最后，提供了TMD等強度懸臂梁剛度單元的設計示例，并用仿真軟件ANSYS對比驗證了梯形等強度設計方法的精確性。