一個基于打靶法的大氣污染源反演自適應(yīng)算法

馮帆王自發(fā)唐曉

1中國科學(xué)院計算機網(wǎng)絡(luò)信息中心/超級計算中心，北京1001902中國科學(xué)院大氣物理研究所大氣邊界層物理和大氣化學(xué)國家重點實驗室，北京1000293中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049

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一個基于打靶法的大氣污染源反演自適應(yīng)算法

馮帆1, 2, 3王自發(fā)2唐曉2

1中國科學(xué)院計算機網(wǎng)絡(luò)信息中心/超級計算中心，北京100190
2中國科學(xué)院大氣物理研究所大氣邊界層物理和大氣化學(xué)國家重點實驗室，北京100029
3中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049

摘 要污染源反演對大氣污染預(yù)報及控制有重要意義。目前普遍采用的源反演統(tǒng)計方法存在對觀測誤差、源清單先驗估計誤差敏感等弱點。基于打靶法思想的各種算法以其精度高、程序簡單、實用性強的特點被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)控制領(lǐng)域。本文提出的基于打靶法思想的大氣污染源反演自適應(yīng)算法在精度高、算法簡明的基礎(chǔ)上彌補了統(tǒng)計方法的不足：能處理源清單中的大誤差、初值大誤差、觀測值在個別時間點的大誤差；無需先驗分布假設(shè)及誤差估計。本文還以簡單模型的理想試驗為例，展示了該自適應(yīng)算法的計算效果。

關(guān)鍵詞打靶法 污染源 反演 自適應(yīng) 系統(tǒng)控制

馮帆，王自發(fā)，唐曉. 2016. 一個基于打靶法的大氣污染源反演自適應(yīng)算法 [J]. 大氣科學(xué), 40 (4): 719?729. Feng Fan, Wang Zifa, Tang Xiao. 2016. Development of an adaptive algorithm based on the shooting method and its application in the problem of estimating air pollutant emissions [J]. Chinese Journal of Atmospheric Sciences (in Chinese), 40 (4): 719?729, doi:10.3878/j.issn.1006-9895.1505.15113.

1 引言

近年來，大氣污染模式的研究得到了很大發(fā)展。污染排放源信息對模式至關(guān)重要。然而，建立污染源清單是一個具有較大不確定性的復(fù)雜過程，涉及對經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r、人口密度、能源結(jié)構(gòu)、工廠分布、交通流量、車型比例等多方面的調(diào)查研究。因此，根據(jù)模式的模擬值和監(jiān)測站的污染物濃度觀測值來反演污染源信息對大氣污染預(yù)報及控制均有重要意義。

大氣污染預(yù)報是已知原因求結(jié)果，屬于正問題，即給定了微分方程和初、邊值條件，求滿足給定條件的解；而大氣污染控制是由結(jié)果求原因，屬于反問題，即排放源等參數(shù)作為未知量出現(xiàn)在微分方程中，我們需利用觀測值等附加信息反求未知參數(shù)（劉峰等，2003；楊一帆和張凱山，2013）。多種方法已被應(yīng)用于反演污染源，比如逆向軌跡法（蔡旭暉等，2002）、遺傳算法（陳軍明等，2002）、伴隨方程法（劉峰等，2003；郭少冬等，2010）、四維變分法（Mendoza-Dominguez and Russell, 2001）、集合卡爾曼濾波法和集合卡爾曼平滑法（朱江和汪萍，2006；Tang et al., 2013）以及蒙特卡洛空間反演法（楊一帆和張凱山，2013）等。

目前，源反演普遍采用統(tǒng)計類方法，但其存在對觀測誤差、源清單先驗估計誤差敏感等弱點。而基于打靶法思想的算法恰好能彌補統(tǒng)計法的不足。打靶法思想的本質(zhì)是將微分方程兩時刻點間的演化問題轉(zhuǎn)化為控制問題來求解，通過調(diào)整控制參量使觀測時刻點的模擬值接近觀測值。在源反演問題中，這個控制參量就是源排放速率?；诖虬蟹ㄋ枷氲母鞣N算法以其精度高、程序簡單、實用性強的特點被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)控制領(lǐng)域（向明華和劉云青，1990；屈香菊，1992；范慕輝和石鐵君，1994；凌復(fù)華和李繼躍，1988；Ning et al., 2004；吳文海等，2005；張洪波等，2008；齊笳羽等，2011）。

本文針對大氣污染源反演問題提出一個基于打靶法思想的自適應(yīng)算法。該算法在精度高、算法簡明的基礎(chǔ)上還彌補了許多統(tǒng)計方法的不足：能處理源清單中的大誤差、初值大誤差、觀測值在個別時間點的大誤差；無需先驗分布假設(shè)及誤差估計。本文還以簡單模型的理想試驗為例，給出了該自適應(yīng)算法的計算效果。

2 源反演自適應(yīng)算法設(shè)計

從污染物濃度觀測值估計污染物排放速率可作為系統(tǒng)控制問題進行考慮。其中，污染物排放速率為控制變量。關(guān)于打靶法思想介紹，見附錄A?；诖虬蟹ǖ乃悸?，我們可以將觀測值作為靶子，設(shè)法尋找使模擬值與觀測值的距離小于容忍度的排放速率。

該算法設(shè)計的困難主要來自以下兩方面：第一，直觀上，當(dāng)模擬值大于觀測值時，我們需減小排放速率；當(dāng)模擬值小于觀測值時，我們需增大排放速率。那么如何增減能使射擊次數(shù)盡量小且程序簡明；第二，除了源清單的誤差，實際中還不可避免地會遇到初值誤差、觀測誤差。當(dāng)這些誤差較大時，算法能否及時糾錯，使模擬值盡快主動回到正常位置（而不是被動地等待長時間模式預(yù)熱，即Spin Up）。增強算法的健壯性，使算法具有糾錯功能的必要性說明見附錄B。

因此，采用何種打靶策略能夠立刻對上述可能出現(xiàn)的大誤差進行糾錯并且較為快速、準確地進行源反演是本算法設(shè)計要解決的核心問題。這里，進行源反演可利用的唯一信息是誤差（Err）＝模擬值－觀測值。如何利用誤差 Err對排放速率進行高效校正是十分重要的。判定何時需要對大誤差及時糾錯以及如何糾錯也是要解決的關(guān)鍵問題。

2.1 源反演的打靶問題描述

若不考慮模式誤差，大氣污染物濃度在某一空間點上的抽象模型可以表示為

其中，C是污染物濃度的向量（其分量表示不同污染物種的濃度）；是污染源排放速率的向量；算子F表示污染物的輸送、化學(xué)過程。

假定在t1, ..., tk時刻有污染物的濃度觀測向量Y1, ..., Yk，則在時間段［ti, ti+1］i=0, 1, …, k?1的污染物濃度演化過程可視為打靶問題：在該時間段上控制Q，使得

其中，Tol為設(shè)定的允許誤差界限。于是，源反演問題轉(zhuǎn)化成了分時間段的打靶問題。Q 在每個時間段上為常值向量。

2.2 源反演的打靶算法設(shè)計

基于上面的敘述和分析，我們在本節(jié)給出各時間段［ti, ti+1］上的自適應(yīng)算法流程。

在每個時間段［ti, ti+1］上，算法分為三大步：初始化、若干次射擊和保存本時間段的結(jié)果。若干次射擊又分成4小步，其中步驟（c）（用的當(dāng)前值在［ti, ti+1］上解初值問題）即射擊。

在每次射擊后更新s維誤差向量Err＝C (ti+1;（其中C只提取與Y相同的物種分量），為下一次射擊前校正向量作準備[見2.2.1節(jié)中步驟（d.1）]。

注意到只有通過有效的觀測信息，我們才有可能得到有效的源反演值。當(dāng)初值或觀測值在個別時間點存在大誤差時，反演信息必然無效。由于觀測值在若干個時間點可能存在大誤差，這使得系統(tǒng)在自然狀態(tài)下會經(jīng)歷若干個Spin Up，導(dǎo)致反演信息在Spin Up期間均無效。因此，主動采取措施自動糾錯、增強算法的健壯性、使污染物濃度和源反演結(jié)果立刻回到正常位置是十分必要的（糾錯的必要性圖例說明見附錄B）。

當(dāng)初值或觀測值在個別時間點存在大誤差時，我們的算法恰恰能自動糾錯，使污染物濃度和源反演結(jié)果迅速回到正常位置。這就大大增強了算法的健壯性，從觀測值中盡可能多地反演出有效源排放速率[見2.2.1節(jié)中步驟（d.2）]。實際上，為了得到最終的有效信息，我們將對結(jié)果進行后處理：去掉糾錯階段的源排放速率（見本文數(shù)值試驗中圖1e–f’）。

2.2.1 算法

（2）當(dāng)s維向量|Err|存在分量大于允許誤差界限Tol且ShootingCount小于MaxShooting（最大射擊次數(shù)）時，步驟分為：（a）ShootingCount＝ ShootingCount＋1；（b）用設(shè)定的經(jīng)驗值初始化的當(dāng)前值在［ti, ti+1］上解初值問題，得到各物種濃度計算方法如下：

For j = 1到s

（d.2）用Err(j) 更新Q (j)：[公式（3）為核心，其他均為了增強算法健壯性、為了糾錯而設(shè)計]為正：

否則

（3）保存本時間段［ti, ti+1］的計算結(jié)果，為下一時間段作準備；保存經(jīng)過若干次射擊最終接受的和用給下一時間段賦初值。

2.2.2 算法須注意問題

（1）源清單中各物種的排放速率為非負值。在運行此算法之前，我們需要對源清單進行預(yù)處理：如果某物種有觀測值且該物種在源清單中某時刻的排放速率為零，則用一個小的正數(shù)代替零。這樣才能使步驟（d.2）的更新公式起作用。

圖1 試驗1的結(jié)果：（a）濃度C1；（b）濃度C2；（b’）為（b）C2的局部放大；（c）濃度C3；（d）濃度C4；（e）Q1源排放速率；（e’）為（e）Q1去掉糾錯階段；（f）Q2源排放速率；（f’）為（f）Q2去掉糾錯階段Fig. 1 Results of Experiment 1: (a) Concentration C1, (b) concentration C2, (b’) partial enlargement of (b), (c) concentration of C3, (d) concentration of C4, (e) emissions rate of Q1, (e’) panel (e) without error correction phase, (f) emissions rate of Q2, (f’) panel (f) without error correction phase

圖1 （續(xù)）Fig. 1 (Continued)

（2）在試驗中，我們對各物種使用了相同的允許誤差界限 Tol。實際上，為了進一步減小射擊次數(shù)，不同的物種可以使用不同的 Tol：值域范圍大的物種取值相對大，值域范圍小的物種取值相對小。Tol 不宜過小。

（3）2.2.1節(jié)中步驟（d.2）的 CheckCritical 為設(shè)定的較小正值。當(dāng)源排放速率已經(jīng)非常小時，若仍有Err (j)＞Tol，那么我們決定使用負值糾錯。實際上，這負值在后處理中作為糾錯階段的源排放速率將被去掉。（見圖1e–f’）

3 簡單模型的數(shù)值試驗

在本節(jié)中，我們采用下面描述空氣質(zhì)量的簡單無量綱模型進行試驗：

其中，Ci是第i個物種的濃度，是隨時間變化的污染源排放速率。試驗在t?[0,12]上進行，共3個試驗，具體設(shè)置見表1。在試驗中，我們假設(shè)真實初始濃度在試驗1、試驗2中，假設(shè)真實排放速率在試驗3中，假設(shè)真實排放速率在我們的試驗中不考慮模式誤差。試驗各時間段的射擊次數(shù)見表2。

在本文的數(shù)值試驗中，經(jīng)驗參量 Qcoeff第一個分量對應(yīng)Q1，第二個分量對應(yīng)Q2。源清單的排放速率均為

試驗1的目的是檢驗本算法對污染物濃度的反演效果和污染源反演能力。從試驗1的結(jié)果我們看到：本算法可使用較少射擊次數(shù)反演源（表2和表3），并且能處理源清單中的大誤差、初值大誤差、觀測值在個別時間點的大誤差（圖1；圖1b’在時刻6的觀測值存在大誤差）。反演后，沒有用觀測值反演的物種濃度也有可能得到改善（圖1d）。在源排放速率變化很小的情況下，我們從反演結(jié)果仍能夠看到源變化趨勢（圖1f’）。另外，試驗1與附錄B展示了負值糾錯功能的必要性。

試驗2除了觀測時間間隔不同，其他均與試驗1相同（表1）。對比試驗1與試驗2，其他設(shè)置不變，只在時間上加密觀測數(shù)據(jù)不一定得到更準確的反演源（圖2），而且射擊次數(shù)可能會明顯增加（表2）。

表1 試驗列表Table 1 The detailed setup of the experiments

表2 射擊次數(shù)列表Table 2 Shooting times over each time span

表3 試驗1的源反演過程Table 3 The shooting process of emission in Experiment 1

圖2 試驗2的結(jié)果：（a）濃度C1；（b）濃度C2；（b’）為（b）C1的局部放大；（c）Q1源排放速率；（c’）為（c）Q1去掉糾錯階段；（d）Q2源排放速率；（d’）為（d）Q2去掉糾錯階段Fig. 2 Results of Experiment 2: (a) Concentration C1, (b) concentration of C2, (b’) partial enlargement of (b), (c) emissions rate of Q1, (c’) panel (c) without error correction phase, (d) emissions rate of Q2, (d’) panel (d) without error correction phase

試驗3給出了在初值、觀測值誤差不太大情況下的算法效果。反演后的源較好地與真值吻合（圖3）。

4 小結(jié)和討論

污染源反演問題常作為統(tǒng)計估計問題處理。比如，四維變分法、集合卡爾曼濾波是人們常用于反演的統(tǒng)計方法。四維變分法本質(zhì)上是使目標(biāo)函數(shù)極小化的泛函問題。集合卡爾曼濾波是一種用蒙特卡羅短期集合預(yù)報來估計預(yù)報誤差協(xié)方差的四維變分方法。集合卡爾曼濾波無需模式反向積分，無需預(yù)報模式的切線性模式和伴隨模式，因此與四維變分法相比，更容易實現(xiàn)、可移植性強。然而，四維變分、集合卡爾曼濾波等統(tǒng)計方法存在下面幾個弱點：先驗分布的高斯假設(shè)；線性的分析方程在模式為強非線性時，對結(jié)果造成不利影響；對觀測誤差較敏感；污染源排放的先驗誤差估計對反演結(jié)果有較大影響（朱江等，2006）。

本文提出的基于打靶法思想的大氣污染源反演自適應(yīng)算法本質(zhì)上是系統(tǒng)控制問題，與統(tǒng)計量無關(guān)，且計算過程中用到的主要信息為觀測值。只要觀測值本身合理、有效，就可以反演出可信的源排放速率。如果我們具備可靠的觀測誤差信息，則可利用該信息先對觀測數(shù)據(jù)作前處理校正，然后再應(yīng)用本文設(shè)計的打靶算法進行源反演。

該基于打靶法思想的大氣污染源反演算法彌補了四維變分、集合卡爾曼濾波等統(tǒng)計方法的不足，具有如下特點：（1）能處理源清單中的大誤差、初值大誤差、觀測值在個別時間點的大誤差；（2）無需先驗分布假設(shè)及誤差估計。在實際中，對污染源進行反演是一個很復(fù)雜的問題。污染源與觀測站點的空間分布不均勻性、可觀測的物種少于需要反演的污染源物種等局限性會使反演結(jié)果不唯一。在今后的工作中，我們會考慮通過有效地增加約束條件或信息來處理這一問題。

圖2 （續(xù)）Fig. 2 (Continued)

氣象場誤差、模式分辨率誤差、化學(xué)機制誤差等因素均可造成模擬與觀測不一致。如果忽略這些模式誤差、僅通過調(diào)整排放源來減小模擬和觀測之間的不一致，那么源反演結(jié)果將會出現(xiàn)偏差。集合卡爾曼濾波/平滑考慮了各種誤差對源反演的影響（Tang et al., 2013）。如何將集合卡爾曼濾波/平滑與本文提出的基于打靶法思想的自適應(yīng)算法結(jié)合起來解決源反演問題也是我們今后將要探討的。

圖3 試驗3的結(jié)果：（a）濃度C1；(b) 濃度C2；（c）Q1源排放速率；（d）Q2源排放速率Fig. 3 Results of Experiment 2: (a) Concentration C1, (b) concentration C2, (c) emissions rate of Q1, (d) emissions rate of Q2

致謝 感謝中國科學(xué)院大氣物理研究所朱江研究員及審稿專家們對本文提出的寶貴意見。

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附錄A 打靶法基本思想簡介

在科學(xué)與工程計算中，會經(jīng)常遇到邊值問題。打靶法源于將邊值問題化為初值問題來解。對于二階常微分方程邊值問題：

可以化為初值問題來求解：

我們設(shè)法確定 A的值，使得初值問題［公式（A-2）］的解(;)y t A在tb=的值(;)y b A滿足

其中，Tol為我們允許的誤差界限。

于是，我們得到了邊值問題［公式（A-1）］的近似解(;)y t A。

顯然，圖A-1打靶法思想是系統(tǒng)控制問題：A為控制變量，b為t = b時的系統(tǒng)觀測值，通過調(diào)節(jié)A使模擬值(;)y b A接近觀測值b。

圖A-1 打靶法示意圖：將邊值問題化為初值問題來解Fig. A-1 Sketch of the shooting method: Transforming a boundary value problem into an initial value problem

附錄B 算法中糾錯功能的必要性——增強健壯性

去掉負值糾錯功能，如圖所示，C1的濃度值從時刻10開始才逐漸Spin Up到正常位置（圖B-1a）；C2的濃度值需要更長的時間才能 Spin Up到正常位置（圖B-1b）；Q1源排放速率從時刻11開始才逐漸提供有效信息（圖B-1c）。Q2源排放速率需要更長的時間才能提供有效信息（時刻12以前均為無效信息）。

對比圖1與圖B-1，在初值或觀測值誤差較大的情況下，去掉負值糾錯功能的算法提供的有效源反演信息很少。因此，考慮負值糾錯功能使得算法健壯性大大增強。

圖B-1 試驗1去掉負值糾錯功能的結(jié)果：（a）濃度C1；（b）濃度C2；（c）Q1源排放速率Fig. B-1 The results of Experiment 1 without error correction function: (a) Concentration C1; (b) concentration C2; (c) emissions rate of Q1

資助項目 中國科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)灰霾專項XDB05030200

Funded by Strategic Priority Research Program (B) of the Chinese Academy of Sciences (Grant XDB05030200)

文章編號1006-9895(2016)04-0719-11 中圖分類號 X11 P409

文獻標(biāo)識碼A

doi:10.3878/j.issn.1006-9895.1505.15113

收稿日期2015-01-19；網(wǎng)絡(luò)預(yù)出版日期 2015-09-21

作者簡介馮帆，女，1981年出生，博士研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)建模及算法研究。E-mail: feng_fan_100@hotmail.com

Development of an Adaptive Algorithm Based on the Shooting Method and Its Application in the Problem of Estimating Air Pollutant Emissions

FENG Fan1, 2, 3, WANG Zifa2, and TANG Xiao2
1 Supercomputing Center, Computer Network Information Center, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190
2 State Key Laboratory of Atmospheric Boundary Layer Physics and Atmospheric Chemistry, Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029
3 University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049

AbstractThe inversion of pollutant emissions is important in air pollution prediction and control. The statistical methods generally adopted possess weaknesses, such as sensitivity for observation error and prior estimation of emissions. Given their simplicity, high precision, and practicality, algorithms based on the shooting method are widely used in the field of systems control. In this paper, we derive a shooting method–based adaptive algorithm to estimate air pollutant emissions. Besides its high precision and simple procedure, this adaptive algorithm compensates for the weaknesses of statistical methods. It is able to deal with the large level of error in the emissions inventory, initial conditions, and observations; a prior distribution assumption and error estimation are not required. Simulations of a simple system are presented to illustrate the effectiveness of this adaptive algorithm.

KeywordsShooting method, Pollutant emissions, Inversion, Adaptive algorithm, Systems control