國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合及預(yù)測(cè)
——基于多項(xiàng)式樣條函數(shù)

黃 瑞，文忠橋（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

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國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合及預(yù)測(cè)
——基于多項(xiàng)式樣條函數(shù)

黃 瑞，文忠橋
（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

摘 要：本文選擇2015年10月至2016年1月交易所國(guó)債的日度交易數(shù)據(jù)，基于三次樣條函數(shù)法進(jìn)行利率期限結(jié)構(gòu)擬合，得到五個(gè)參數(shù)的時(shí)間序列.對(duì)參數(shù)的時(shí)間序列建立AR（2）、ARMA（1，1）模型，并對(duì)模型做出檢驗(yàn).根據(jù)建立的模型，對(duì)未來(lái)交易日的相應(yīng)參數(shù)作出向前三步預(yù)測(cè)，得到2016年2月1日到2月3日國(guó)債的利率期限結(jié)構(gòu)，據(jù)此對(duì)相應(yīng)的債券進(jìn)行定價(jià)，并將其與實(shí)際債券價(jià)格對(duì)比.結(jié)果表明，模型對(duì)未來(lái)債券價(jià)格的預(yù)測(cè)效果良好，誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加而增大.

關(guān)鍵詞：國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)；三次樣條函數(shù)；時(shí)間序列；擬合與預(yù)測(cè)

1 引言

利率期限結(jié)構(gòu)的擬合思想最早由 Cohen，Kramer和Waugh提出［1］，在分段擬合方面，主要采用樣條技術(shù)，指定樣條基函數(shù)，將貼現(xiàn)函數(shù)表示為基函數(shù)的組合，使用回歸技術(shù)來(lái)擬合.McCulloch（1971）［2］最先使用二次樣條函數(shù)的方法逼近利率期限結(jié)構(gòu)，隨后他又提出了三次樣條函數(shù)的估計(jì)方法（1975）［3］.Bliss Waggoner［4］，Bolder［5］和Gusba［6］研究發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是樣本內(nèi)還是樣本外，三次樣條法均穩(wěn)定，并且對(duì)債券定價(jià)也很精確.

在國(guó)內(nèi)，利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)估計(jì)方面，陳雯、陳浪南（2000）［7］分別運(yùn)用一元線性回歸和非線性回歸方程構(gòu)建出中國(guó)國(guó)債市場(chǎng)連續(xù)復(fù)利的靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu).朱世武、陳建恒（2003）［8］設(shè)計(jì)了三次樣條函數(shù)分段擬合的方法，并與Nelson-Siegel方法進(jìn)行比較，實(shí)證結(jié)果表明三次樣條函數(shù)擬合結(jié)果更好.郭多祚、劉琳琳（2006）［9］的研究表明利用三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)和三次多項(xiàng)式構(gòu)造中國(guó)的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)是有效的.

在利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)估計(jì)方面，陳芳菲和沈長(zhǎng)征（2006）［10］使用Nelson-Siegel模型估計(jì)了水平因素、斜率因素和曲度因素的三因素自回歸模型，并對(duì)收益率曲線進(jìn)行預(yù)測(cè).胡志強(qiáng)、王婷（2009）［11］基于Nelson-Siegel模型對(duì)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)模型的短期預(yù)測(cè)能力較強(qiáng)，長(zhǎng)期較弱.文忠橋（2013）［12］采用粒子群算法，運(yùn)用NS模型，對(duì)銀行間國(guó)債市場(chǎng)的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，得到參數(shù)值，并進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示，樣本內(nèi)的預(yù)測(cè)能力較強(qiáng)，樣本外的預(yù)測(cè)能力較弱.張啟坤（2014）［13］對(duì)NSS模型中影響利率期限結(jié)構(gòu)的四個(gè)因子建立向量自回歸模型，研究表明樣本外預(yù)測(cè)效果不佳.趙晶、張洋、丁志國(guó)（2015）［14］選取三因子Vasicek模型、三因子CIR模型、多項(xiàng)式樣條模型、指數(shù)樣條模型、DL模型和動(dòng)態(tài)SV模型對(duì)中國(guó)和美國(guó)市場(chǎng)的月度國(guó)債收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè).不同于趙晶等選用月度數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)建立AR（1）模型，本文選取日度交易數(shù)據(jù)得到多項(xiàng)式樣條參數(shù)的時(shí)間序列，分析時(shí)間序列的特征，采用AR（2）和ARMA（1,1）模型對(duì)參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且根據(jù)預(yù)測(cè)出的利率期限結(jié)構(gòu)為國(guó)債定價(jià).

2 多項(xiàng)式樣條函數(shù)模型

基于用二次多項(xiàng)式作為基函數(shù)在估計(jì)遠(yuǎn)期利率曲線可能出現(xiàn)震蕩，常采用的改進(jìn)方法是增加基函數(shù)的階數(shù)，因此本文將多項(xiàng)式基函數(shù)定為三.根據(jù)市場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)，以5年和8年作為分界點(diǎn)，將利率期限結(jié)構(gòu)劃分為短、中、長(zhǎng)期，構(gòu)造三次樣條函數(shù)，假設(shè)其貼現(xiàn)因子函數(shù)B（0,s）滿足：

從（1）式可知，貼現(xiàn)因子函數(shù)有12個(gè)待定參數(shù).但根據(jù)三次樣條函數(shù)的定義,為保證分段點(diǎn)處的平滑性，得到函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性約束條件：

將上述約束條件代入（1）式，由此，待估參數(shù)由12個(gè)降低到5個(gè)（a1,b1,c1,a2,a3）：

按照連續(xù)復(fù)利，市場(chǎng)交易國(guó)債i的實(shí)際價(jià)格Pi與理論價(jià)格Vi的定價(jià)公式［15］分別為：

其中εi，Cti，Bt分別代表國(guó)債i的定價(jià)誤差、t時(shí)刻的現(xiàn)金流和t時(shí)刻的貼現(xiàn)因子.

參數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是是樣本函數(shù)的定價(jià)誤差最小.考慮到中長(zhǎng)期債券價(jià)格的波動(dòng)性要大于短期債券價(jià)格的波動(dòng)，長(zhǎng)期債券的定價(jià)誤差大于短期債券，因此我們選擇采用加權(quán)最小二乘法，在設(shè)定目標(biāo)函數(shù)時(shí)加入一個(gè)權(quán)重系數(shù).設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為：其中權(quán)重系數(shù)為國(guó)債i的久期的倒數(shù).

3 參數(shù)時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

收集2015年10月到2016年1月國(guó)債在交易所每個(gè)交易日的交易數(shù)據(jù)［16］，剔除支付固定單利以及應(yīng)計(jì)利息為負(fù)值的國(guó)債數(shù)據(jù)，采用上述三次樣條函數(shù)模型利用MATLAB軟件擬合每個(gè)交易日的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，得到三次樣條函數(shù)各參數(shù)（a1,b1,c1,a2,a3）組成的時(shí)間序列數(shù)據(jù).參數(shù)的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 三次樣條函數(shù)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果的描述性統(tǒng)計(jì)

3.2 建立模型（應(yīng)該首先對(duì)參數(shù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析）

首先，對(duì)參數(shù)a1,b1,c1,a2,a3進(jìn)行單位根檢驗(yàn).在有漂移項(xiàng)無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)以及SC準(zhǔn)則下，得到ADF檢驗(yàn)結(jié)果（表2）.

表2 參數(shù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

參數(shù)a1,b1,c1,a2的原始時(shí)間序列不平穩(wěn)，經(jīng)過(guò)兩階差分后序列平穩(wěn)，這說(shuō)明滯后項(xiàng)的影響是顯著存在的.參數(shù) 的時(shí)間序列平穩(wěn).進(jìn)一步做出各參數(shù)滯后20階的自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）圖像：

圖1 各個(gè)參數(shù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖像

對(duì)于參數(shù)a1,b1,c1,a2自相關(guān)圖像拖尾，偏自相關(guān)圖像滯后兩階截尾，說(shuō)明時(shí)間序列服從兩階自回歸過(guò)程，應(yīng)對(duì)其建立AR（2）模型.而參數(shù)a3的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖像均近似于滯后一階截尾，因此，對(duì)其建立ARMA（1,1）模型.這與趙晶等人（2015）的研究結(jié)果有出入，原因可能是多項(xiàng)式樣條模型具有對(duì)數(shù)據(jù)的依賴特征.

模型回歸參數(shù)均通過(guò)t檢驗(yàn)，說(shuō)明回歸參數(shù)是顯著的.對(duì)于參數(shù)a1,b1,c1,a2的擬合優(yōu)度較高，都在65%以上，只有對(duì)參數(shù)a3的擬合優(yōu)度較低.

3.3 預(yù)測(cè)

由回歸得到的各個(gè)模型對(duì)相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行向前三步預(yù)測(cè)，得到2016年2月1日到2月3日國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)三次樣條函數(shù)各參數(shù)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，并將其與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比：

表4 各參數(shù)的預(yù)測(cè)與實(shí)際數(shù)據(jù)

圖2 2015年12月15日預(yù)測(cè)和實(shí)際的利率期限結(jié)構(gòu)

比較各參數(shù)的預(yù)測(cè)和實(shí)際數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)模型對(duì)參數(shù)a1,b1, c1,a2的預(yù)測(cè)誤差小，預(yù)測(cè)效果較好，對(duì)參數(shù)a3的預(yù)測(cè)效果較差.由于預(yù)測(cè)的主要目的是為未來(lái)交易日的國(guó)債定價(jià)，因此，我們由預(yù)測(cè)的利率期限結(jié)構(gòu)給債券定價(jià)得到預(yù)測(cè)的債券價(jià)格，并將其與實(shí)際價(jià)格對(duì)比，作出預(yù)測(cè)誤差的圖像見(jiàn)圖2，并作出描述性統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表5.

表5表明了預(yù)測(cè)誤差與債券到期期限之間的關(guān)系，即債券預(yù)測(cè)價(jià)格的誤差隨著到期期限的增加基本上呈增加趨勢(shì)，且長(zhǎng)期債券的預(yù)測(cè)誤差隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加顯著增大.對(duì)短期債券價(jià)格的預(yù)測(cè)誤差基本在1元左右，對(duì)中期國(guó)債價(jià)格的預(yù)測(cè)誤差基本在2—3元，對(duì)長(zhǎng)期國(guó)債價(jià)格的預(yù)測(cè)的平均誤差基本在4—6元.

表5 預(yù)測(cè)定價(jià)誤差的描述性統(tǒng)計(jì)

表6 債券價(jià)格預(yù)測(cè)誤差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表6表明了債券價(jià)格預(yù)測(cè)誤差的表現(xiàn).預(yù)測(cè)誤差小于2元的債券占60%以上，預(yù)測(cè)誤差小于5元的債券占92%以上.預(yù)測(cè)誤差大于10元的債券約占2%.模型總體的預(yù)測(cè)效果良好.

誤差 2016/2/1 2016/2/2 2016/2/3債券個(gè)數(shù) 占比 累計(jì)占比 債券個(gè)數(shù) 占比 累計(jì)占比 債券個(gè)數(shù) 占比 累計(jì)占比［7,8］ 2 0.0139 0.9722 1 0.0069 0.9583 1 0.0069 0.9583 ［8,9］ 0 0.0000 0.9722 2 0.0139 0.9722 1 0.0069 0.9653 ［9,10］ 1 0.0069 0.9792 2 0.0139 0.9861 4 0.0278 0.9931 10以上 3 0.0208 1.0000 2 0.0139 1.0000 1 0.0069 1.0000總計(jì) 144 144 144

綜上所述，通過(guò)對(duì)誤差與到期期限的關(guān)系以及不同大小的誤差的占比兩個(gè)方面分析，可以得到結(jié)論：本文選用的模型的整體預(yù)測(cè)效果良好，預(yù)測(cè)誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加而增大.

4 結(jié)論

選擇2015年10月至2016年1月交易所國(guó)債每日交易的數(shù)據(jù)，利用三次樣條函數(shù)對(duì)每個(gè)交易日的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，得到參數(shù)的時(shí)間序列并對(duì)其建模.不同于趙晶、張洋、丁志國(guó)（2015）對(duì)各參數(shù)時(shí)間序列建立的AR（1）模型，本文對(duì)參數(shù)a1,b1,c1,a2建立AR（2）模型，對(duì)a3建立ARMA（1,1）模型，然后對(duì)未來(lái)交易日的參數(shù)和利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測(cè)，用預(yù)測(cè)的結(jié)果為債券定價(jià).分析債券價(jià)格的預(yù)測(cè)誤差，發(fā)現(xiàn)模型整體預(yù)測(cè)效果良好，預(yù)測(cè)誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加而增大.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕K.J.Cohen，R.L.Kramer，W.H.Waugh.Regression Yield Curves for US Government Securities［J］.Management Science，1966，13（4）.

〔2〕J.H.McCulloch.Measuring the Term Structure of Interest Rates［J］.The Journal of Business，1971：19-31.

〔3〕J.H.McCulloch.The Tax-adjusted Yield Curve［J］.The Journal of Finance，1975，30（3）.

〔4〕Bliss R R.Testing term structure estimation methods［J］.Advances in Futures and Options Research，1997，9：197—232.

〔5〕Waggoner D F.Spline methods for extracting interest rate curves from coupon bond prices［R］.1997.

〔6〕Bolder D J，Gusba S.Exponentials，polynomials，and Fourier series：more yield curve modeling at the Bank of Canada［R］.2002.

〔7〕陳雯，陳浪南.國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)：建模與實(shí)證［J］.世界經(jīng)濟(jì)，2000（8）.

〔8〕朱世武，陳健恒.交易所國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證研究［J］.金融研究，2003（10）：63-73.

〔9〕郭多祚，劉琳琳.三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)在國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)研究中的應(yīng)用［J］.內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（4）：53-55.

〔10〕陳芳菲，沈長(zhǎng)征.Nelson-Siegel模型與國(guó)債收益率曲線的預(yù)測(cè)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2006（2）：133-135.

〔11〕胡志強(qiáng)，王婷.基于Nelson-Siegel模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)［J］.經(jīng)濟(jì)評(píng)論，2009（6）：57-66.

〔12〕文忠橋.中國(guó)銀行間國(guó)債市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證分析——基于Nelson-Siegel模型［J］.財(cái)貿(mào)研究，2013（3）：124-129.

〔13〕張啟坤.基于NSS模型的利率期限結(jié)構(gòu)影響因子的時(shí)間序列分析 ［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2014（6）：109-113.

〔14〕趙晶，張洋，丁志國(guó).利率期限結(jié)構(gòu)特征的擬合與預(yù)測(cè)［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2015（2）：83-89.

〔15〕周子康，王寧，楊衡.中國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)模型研究與實(shí)證分析［J］.金融研究，2008（3）：131-150.

中圖分類(lèi)號(hào)：F812.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）06-0116-05

收稿日期：2016-03-18

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“‘二次成型’的綜合宏觀利率期限結(jié)構(gòu)模型估計(jì)和應(yīng)用”（11YJA790162）；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（201510378153）