萬(wàn)有引力莫非是幾何效應(yīng)？

趙崢，1967年畢業(yè)于中國(guó)科技大學(xué)物理系，1981年于北京師范大學(xué)天文系獲碩士學(xué)位，1987年于布魯塞爾自由大學(xué)獲博士學(xué)位。曾任北京師范大學(xué)研究生院副院長(zhǎng)、物理系主任、中國(guó)引力與相對(duì)論天體物理學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、中國(guó)物理學(xué)會(huì)理事?，F(xiàn)為北京師范大學(xué)物理系教授，理論物理博士生導(dǎo)師、教育學(xué)博士生導(dǎo)師。

等效原理揭示引力效應(yīng)與慣性效應(yīng)之間確實(shí)存在本質(zhì)聯(lián)系。

伽利略的自由落體定律告訴我們，在真空狀態(tài)下，引力場(chǎng)中自由下落的各種小球，不管它們的物質(zhì)組成（例如金球、石球還是木球），也不管它們的質(zhì)量大小，下落規(guī)律都是相同的。推而廣之，設(shè)想若干在真空引力場(chǎng)中做斜拋運(yùn)動(dòng)的小球，只要它們拋射的角度相同，離開彈射器時(shí)的初速也相同，那么不管它們的物質(zhì)成分和質(zhì)量大小如何，它們也將描出同樣的軌跡。

我們知道，通常一個(gè)物體在外界環(huán)境中受到的外力大小，往往與物體的物質(zhì)成分、物理狀態(tài)有關(guān)。例如，一個(gè)物體在電磁場(chǎng)中受到電磁力的大小，與它是金屬還是非金屬，它是否帶電，帶電多少等有關(guān)。而且，不同物體在同一個(gè)電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，不僅和物體的物理成分及狀態(tài)有關(guān)，也與它們的質(zhì)量大小有關(guān)。但是引力場(chǎng)中的小球運(yùn)動(dòng)，居然與這些物理因素都無(wú)關(guān)，這是怎么回事呢？實(shí)在是太神奇了。

愛因斯坦意識(shí)到，萬(wàn)有引力不是一般的力，與我們通常熟悉的所有的力都不同。這是一種極為特殊的力。愛因斯坦反復(fù)思考這個(gè)問(wèn)題，突然眼前一亮：萬(wàn)有引力莫非是一種“幾何力”？莫非真如黎曼的推測(cè)，真實(shí)的空間可能是彎曲的？萬(wàn)有引力莫非是時(shí)空彎曲導(dǎo)致的幾何效應(yīng)？

愛因斯坦回憶起，在奧林匹亞科學(xué)院的活動(dòng)中，他們幾個(gè)年青人曾一起讀過(guò)數(shù)學(xué)大師龐加萊的科普著作《科學(xué)與假設(shè)》。在那本書里，他們?cè)x到羅巴切夫斯坦和黎曼等發(fā)現(xiàn)的非歐幾何，這一幾何描述彎曲的空間。黎曼等數(shù)學(xué)家曾推測(cè)，真實(shí)的空間有可能不是平的，而是彎的，而且真實(shí)的空間有可能不是三維的，而是四維的，甚至更高維的。該書的內(nèi)容曾使這幾個(gè)年青人一連幾個(gè)星期興奮不已。

現(xiàn)在，愛因斯坦看到，黎曼等人的數(shù)學(xué)結(jié)果，竟然與自己當(dāng)前研究的物理問(wèn)題有關(guān)，這太讓人興奮了。

我們通常學(xué)習(xí)的幾何，都是歐氏幾何。歐氏幾何產(chǎn)生于人類文明的發(fā)源地古埃及和兩河流域，起源于河水泛濫后重新劃分土地的需要，以及建筑等生產(chǎn)活動(dòng)的需要。在公元前300年左右，在埃及亞歷山大城工作的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把積累起來(lái)的幾何知識(shí)集其大成，寫成一部《幾何原本》。我們中學(xué)學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)，都來(lái)源于此，都沒有超出當(dāng)年歐幾里得的水平。

歐幾里得幾何以它概念的清楚、知識(shí)的豐富、邏輯的嚴(yán)密而著稱?！稁缀卧尽返娜恐R(shí)建立在幾條公設(shè)的基礎(chǔ)上。全書從這幾條公設(shè)出發(fā)，推出了全部幾何知識(shí)。

在驚嘆歐氏幾何的完美的同時(shí)，有少數(shù)數(shù)學(xué)家覺得似乎它還有可以改進(jìn)的地方。例如，一些人注意到它的“第五公設(shè)”，即我們通常所說(shuō)的平行公設(shè)：

“過(guò)直線外一點(diǎn)，可以引，而且只可以引一條直線，與原直線平行（即不相交）?！?/p>

這些人覺得這條公設(shè)比其他公設(shè)都長(zhǎng)，有點(diǎn)遺憾。于是有人試圖從其他公設(shè)推導(dǎo)第五公設(shè)，如果能夠推出，就可以取消這條公設(shè)，此公設(shè)的內(nèi)容就可以當(dāng)作定理了。這樣，歐氏幾何會(huì)顯得更簡(jiǎn)潔，更完美。令人意外的是，這件工作十分困難。有關(guān)推導(dǎo)第五公設(shè)的嘗試進(jìn)行了1000多年，仍然沒有進(jìn)展。

到19世紀(jì)的時(shí)候，情況發(fā)生了變化，俄羅斯喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基做出了突破。他用反證法假設(shè)“過(guò)直線外的一點(diǎn)可以引兩條以上的直線與原直線平行”，試圖推出謬誤。然而始終見不到謬誤的影子。這時(shí)他的思想產(chǎn)生了一個(gè)飛躍：看來(lái)也可以用“過(guò)直線外的一點(diǎn)可以引兩條以上的平行線”取代第五公設(shè)，從而建立起一套新幾何，這套新幾何應(yīng)該是與歐氏幾何并列的另一套幾何體系。他非常興奮，把有關(guān)的研究成果寫成論文，寄給位于首都彼得堡的科學(xué)院。但是彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)家的思想都跳不出歐氏幾何的束縛，都看不懂羅巴切夫斯基的論文。羅巴切夫斯基只好把自己的研究成果發(fā)表在喀山大學(xué)學(xué)報(bào)上。

由于喀山遠(yuǎn)離世界數(shù)學(xué)中心，沒有人能看到羅巴切夫斯基的工作，于是他到歐洲內(nèi)地宣傳自己的學(xué)術(shù)觀點(diǎn)。然而還是沒有人肯定他的工作。他在德國(guó)作報(bào)告時(shí)，大數(shù)學(xué)家高斯參加了會(huì)議。年近9旬的高斯聽完報(bào)告沒有對(duì)他的新幾何發(fā)表意見，只是建議德國(guó)科學(xué)院授予他通訊院士的稱號(hào)。這是給予外國(guó)學(xué)者的最高榮譽(yù)，承認(rèn)他是—位杰出的數(shù)學(xué)家，但沒有具體對(duì)他的新幾何發(fā)表看法。事后，高斯在自己的日記中，以及給朋友的信中都提到過(guò)羅巴切夫斯基的新幾何。高斯說(shuō)，他相信當(dāng)時(shí)在會(huì)場(chǎng)上，只有他一個(gè)人聽懂了羅巴切夫斯基的報(bào)告。實(shí)際上，高斯早就思考過(guò)類似的問(wèn)題，得到過(guò)類似的成果。但是由于歐氏幾何是教會(huì)推崇的，高斯膽小，他想到了哥白尼提出日心說(shuō)的遭遇，于是決定對(duì)此保持沉默。

羅巴切夫斯基遺憾地回到家鄉(xiāng)。后來(lái)他雙目失明，在學(xué)生的幫助下完成了全部新幾何的建立。他所創(chuàng)立的幾何，被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。令他欣慰的是，他在逝世前，知道了自己的新幾何已被數(shù)學(xué)界所承認(rèn)。人們終于認(rèn)識(shí)到存在一種不同于歐氏幾何的新幾何，稱其為非歐幾何。

不久之后，德國(guó)的黎曼采用另一條新公設(shè)取代第五公設(shè)，創(chuàng)建了另一種非歐幾何。黎曼的新公設(shè)認(rèn)為：“過(guò)直線外的一點(diǎn)，一條平行線也得不出來(lái)?！?/p>

數(shù)學(xué)界很快認(rèn)識(shí)到這3種幾何都是正確的，它們反映不同曲率空間的性質(zhì)。人們把羅巴切夫斯基創(chuàng)建的幾何稱為羅氏幾何，把黎曼創(chuàng)建的幾何稱為黎氏幾何。歐氏幾何是平直空間中的幾何，黎氏幾何是正曲率空間中的幾何，羅氏幾何則是負(fù)曲率空間中的幾何，這3種幾何的特點(diǎn)列在表1中。

1845年，黎曼把這3種幾何統(tǒng)一起來(lái)，統(tǒng)稱為黎曼幾何。他天才地預(yù)見到，真實(shí)的空間有可能不是平直的，物質(zhì)的存在有可能造成空間的彎曲。由于當(dāng)時(shí)的物理學(xué)還沒發(fā)展到應(yīng)用黎曼幾何的水平，黎曼的預(yù)見還僅僅是一種猜測(cè)。

前面談到的羅氏空間和黎氏空間都是彎曲空間，彎曲空間中怎么可能會(huì)有直線和平行線呢？實(shí)際上，彎曲空間中的直線并不是我們通常所說(shuō)的直線，而是直線在彎曲空間中的推廣。在歐氏幾何中，直線定義為兩點(diǎn)間的最短線。彎曲空間中的兩點(diǎn)之間雖然不可能畫出平常意義下的直線，但兩點(diǎn)之間仍然存在最短線。在黎曼幾何中，把兩點(diǎn)之間的最短線稱為短程線（又稱測(cè)地線）。短程線，就是直線在彎曲空間中的推廣。在空間平直的時(shí)候，短程線就恢復(fù)為我們通?？吹降闹本€。

所謂平行線，就是兩條不相交的直線。所以平行公設(shè)在羅氏幾何中表述為：“在一條短程線之外，可以引兩條以上的短程線與其不相交?！痹诶枋蠋缀沃袆t表述為：“在一條短程線之外，不可能引出與其不相交的短程線。”

為了更好地理解黎曼幾何，我們以球面為例加以解釋。球面是正曲率的二維空間，在上面適用的是黎氏幾何。研究表明，球面上的短程線為大圓周。在球面上任取兩點(diǎn)A與B，再加上球心O，這三點(diǎn)可以決定一個(gè)平面，此平面與球面的交線就是大圓周。地球上的經(jīng)線都是大圓周，赤道也是大圓周，但赤道之外的其他緯線都不是大圓周。

從北京飛往多倫多的飛機(jī)，從北京起飛后，不像一般人想象的那樣直接向東越過(guò)太平洋，而是向東北方向飛，通過(guò)中國(guó)東北及俄羅斯遠(yuǎn)東地區(qū)，直奔白令海峽，然后沿阿拉斯加的北海岸飛行，再轉(zhuǎn)向東南，通過(guò)加拿大東部，到達(dá)多倫多。有人可能會(huì)問(wèn)，飛機(jī)為什么要繞圈子呢，直接往東飛不是近一點(diǎn)嗎？干嘛要繞遠(yuǎn)呢？其實(shí)，飛機(jī)并沒有繞遠(yuǎn)，飛機(jī)的航線恰好是北京、多倫多和地心這三點(diǎn)決定的大圓周，也就是說(shuō)，恰好是北京和多倫多之間的短程線。

你可以想一想，能夠過(guò)赤道外一點(diǎn)再作一個(gè)大圓周與赤道不相交嗎？肯定不行。所以黎氏幾何的平行公設(shè)在球面上完全正確。

再看一下球面上的三角形，它由三條短程線圍成。如圖1中，赤道和兩條經(jīng)線就圍成了一個(gè)三角形。容易看出，所有的經(jīng)線都與赤道垂直，三角形的兩個(gè)底角之和已是180°了，再加上頂角，三內(nèi)角之和肯定大于180°。