解讀二次根式

柏黎平

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知識(shí)學(xué)習(xí)園/概念透析

解讀二次根式

柏黎平

根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，二次根式屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是對(duì)“實(shí)數(shù)”“代數(shù)式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充.此部分內(nèi)容是同學(xué)們后續(xù)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位.二次根式的主要概念包括：二次根式的定義、什么是最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式.數(shù)學(xué)概念是我們平時(shí)解題的基礎(chǔ)，建議同學(xué)們結(jié)合實(shí)例來(lái)理解這些概念.

1.二次根式

【解讀】二次根式與我們之前學(xué)習(xí)的代數(shù)式不一樣，不能簡(jiǎn)單地把它理解為帶根號(hào)的式子或者開(kāi)平方運(yùn)算，這里的a可以是一個(gè)數(shù)或字母，也可以是一個(gè)代數(shù)式.解題時(shí)要有整體的思想，要特別注意概念中的隱含條件：被開(kāi)方數(shù)和二次根式本身都具有非負(fù)性.

解：由題意可得x+3≥0，解得x≥-3.

考慮到二次根式的非負(fù)性，

∴x2-y2=（-1）2-42=-15.

【說(shuō)明】利用二次根式概念解決問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)概念中兩個(gè)非負(fù)性的理解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為列方程（不等式組）是常見(jiàn)的思路.

2.最簡(jiǎn)二次根式

一般地，化簡(jiǎn)二次根式就是使二次根式：

（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母.

這樣化簡(jiǎn)后得到的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.

【解讀】第（1）條指被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都要小于根指數(shù)2，如果被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式，要先因式分解，再進(jìn)行判斷；第（2）條指被開(kāi)方數(shù)中必須是整數(shù)或整式，需要指出的是當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)時(shí)要將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)再進(jìn)行化簡(jiǎn).另外當(dāng)分母上出現(xiàn)根號(hào)時(shí)，也要將分母中的根號(hào)化去，教材第8頁(yè)和第9頁(yè)中給出了具體的化簡(jiǎn)方法.在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，一定要檢查結(jié)果，直至得到最簡(jiǎn)二次根式為止.

例3化簡(jiǎn)：

3.同類二次根式

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.

【解讀】同類二次根式可以類比同類項(xiàng)的知識(shí)學(xué)習(xí)，但前提是要將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式 （類似于合并同類項(xiàng)），同學(xué)們?cè)诰唧w運(yùn)算時(shí)一定要先化簡(jiǎn)，找到同類二次根式再進(jìn)行加減運(yùn)算.

解：由題意得3a-8=17-2a，解得：a=5.

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴a=5.

【說(shuō)明】例5中，前提是最簡(jiǎn)二次根式且可以合并，所以被開(kāi)方數(shù)應(yīng)該相同.解完后求出的a值要代入兩個(gè)二次根式檢驗(yàn)被開(kāi)方數(shù)是否非負(fù).

作者單位：（江蘇省太倉(cāng)市雙鳳中學(xué)）