非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

吳海晴，蘇　湛，沈昱明

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093)

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非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

吳海晴，蘇湛，沈昱明

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093)

摘要針對(duì)非線性系統(tǒng)，為獲得更好的控制控制效果，設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)控制器。在模糊控制器的基礎(chǔ)上根據(jù)反饋控制和調(diào)整參數(shù)向量的自適應(yīng)律的求解，綜合李雅普諾夫穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)控制器，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制效果。為驗(yàn)證控制器的有效性，將該控制器應(yīng)用到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，仿真結(jié)果表明該控制器的控制效果良好，并與傳統(tǒng)的控制方法相比較，其控制效果更佳。

關(guān)鍵詞自適應(yīng)；模糊控制；李雅普諾夫穩(wěn)定理論；倒立擺

對(duì)于時(shí)變、非線性的復(fù)雜系統(tǒng)采用模糊控制時(shí)，為獲得更好的控制效果，必須要求模糊控制具有較完善的基于經(jīng)驗(yàn)所得的控制規(guī)則。由于被控過程中的高階次、非線性和未知干擾等因素，造成了模糊控制規(guī)則不完善，會(huì)不同程度的影響控制效果[1-5]。針對(duì)這些不確定性因素，自適應(yīng)控制的目的在于系統(tǒng)出現(xiàn)這些不確定性因素時(shí)，可以使系統(tǒng)保持理想的控制特性[6-9]。為得到更理想的控制效果，采用模糊控制和自適應(yīng)控制相結(jié)合的控制方法。本文在模糊控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，從李雅普諾夫方法的角度上對(duì)控制器加入自適應(yīng)的設(shè)計(jì)及其穩(wěn)定性的分析。得到的模糊自適應(yīng)控制器結(jié)合了模糊邏輯控制和自適應(yīng)控制的優(yōu)點(diǎn)，使系統(tǒng)的控制效果和穩(wěn)定性更佳。

1模糊控制器的設(shè)計(jì)

n階非線性系統(tǒng)

(1)

式(1)中，u是系統(tǒng)的輸入；y是系統(tǒng)的輸出，且有u,y∈R，f(·)和g(·)均是未知的連續(xù)函數(shù)。(x1,x2,…,xn)T屬于Rn，是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量，且假設(shè)是可測量的。

1.1輸入輸出變量及模糊語言描述

根據(jù)式(1)中的非線性系統(tǒng)，控制器的輸入變量是誤差e和誤差變化率ec，輸出變量為控制變量u。其中e代表跟蹤誤差，是yd與y的差值。ec是e的一階導(dǎo)數(shù)，代表誤差的變化率，u是系統(tǒng)輸出的變化量。由于在實(shí)際的系統(tǒng)控制過程中，誤差e、誤差變化率ec和控制變量u是不斷變化的，因此需要在模糊量和精確量之間建立一種轉(zhuǎn)換關(guān)系。為提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，把e分為8個(gè)等級(jí)，其模糊集為{NB,NM,NS,N0,P0,PS,PM,PB}，ec和u的模糊集為{NB,NM,NS,0,PS,PM,PB}，其中這8個(gè)模糊語言變量分別為，PB(正大)，PM(正中)，PS(正小)，P0(正零)，N0(負(fù)零)，NS(負(fù)小)，NM(負(fù)中)，NB(負(fù)大)。

1.2控制器的模糊規(guī)則設(shè)計(jì)

模糊控制的目的是，消除輸出對(duì)于設(shè)定值的偏差。在選擇控制量時(shí)，其原則是當(dāng)誤差e比較小時(shí)，要以系統(tǒng)的穩(wěn)定性為主，選擇控制量是要防止系統(tǒng)超調(diào)；當(dāng)誤差e比較大時(shí)，選擇控制量時(shí)主要以盡快消除誤差為主。所以根據(jù)上述消除偏差的規(guī)則，控制規(guī)則可以得到，如表1所示。

表1　模糊控制器的控制規(guī)則

該控制器的模糊規(guī)則也可以使用模糊條件語句來描述，如下所示：

(1)ife=NB or NM andec=NB or NM thenu=NB;

(2)ife=NB or NM andec=NS or 0 thenu=NB;

(3)ife=NB or NM andec=PS thenu=NM;

.

.

.

(21)ife=PN or PB andec=PM or PB thenu=PB。

1.3模糊變量的賦值

根據(jù)上述模糊控制器的模糊條件語句，以及精確量與模糊量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，假設(shè)誤差e的變化區(qū)間為[-6,6]，那么誤差e的論域?yàn)閧-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}。誤差變化ec和誤差e的論域相同，控制變量u的變化區(qū)間為[-7,7]。確定了模糊變量誤差e、誤差變化率ec和控制變量u的論域，相當(dāng)于確定模糊語言變量相對(duì)應(yīng)的隸屬度。3個(gè)模糊變量，針對(duì)其中一個(gè)誤差e舉例，的賦e值表如表2所示。

表2　語言變量e的賦值表

1.4模糊控制表的確定

根據(jù)模糊條件語句可以確定相應(yīng)的模糊關(guān)系，如果第一條語句的模糊關(guān)系為

r=[(NBe+NMe)×NBu]·[(NBec+NMec)×NBu]

(2)

由模糊變量的隸屬度，得到控制量為

u1=min{max[μN(yùn)Be(i)]

max[μN(yùn)Bec(j);μN(yùn)Mec(j)];μN(yùn)Bu(x)}

(3)

其中，μN(yùn)Be(i)、μN(yùn)Me(i)和μN(yùn)Bec(i)、μN(yùn)Mec(i)分別是μN(yùn)Be、μN(yùn)Me和μN(yùn)Bec、μN(yùn)Mec對(duì)應(yīng)的i、j元素的隸屬度。由此可得其余語句的模糊關(guān)系，那么模糊控制量集合為

u=u1+u2+u3+…+u21

(4)

通過最大隸屬度法將模糊量進(jìn)行非模糊化，即選取的控制量為模糊子集中隸屬度最大的元素。這樣就可以得到由模糊量轉(zhuǎn)化為精確量的控制量，從而得到模糊控制表。

通過上述4個(gè)步驟便可以設(shè)計(jì)出簡單的模糊控制器。

2自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)

模糊自適應(yīng)控制器，是在模糊控制器的基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)控制，其主要的目的是，得到一個(gè)自適應(yīng)律和一個(gè)反饋控制，使得系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性。定義自適應(yīng)模糊控制器的模糊邏輯系統(tǒng)為

(5)

(6)

(7)

其中，ki=1,2,3,…,Mi,θf∈R和θg∈R是自適應(yīng)律，且為常數(shù)用來調(diào)節(jié)參數(shù)。

基于式(5)和式(6)模糊邏輯系統(tǒng)的控制律u，其無法滿足李雅普諾夫的穩(wěn)定理論要求，所以加入一個(gè)邊界控制ud，且為

(8)

使得系統(tǒng)狀態(tài)在一個(gè)限定的范圍內(nèi)并滿足李雅普諾夫的理論穩(wěn)定性。那么控制律為

u=uc+ud

(9)

其中，uc是等效控制，即為模糊邏輯系統(tǒng)的輸出。將式(5)代入式(1)得到的誤差方程為

(10)

其中，

(11)

在E的等式中，T=(tn,tn-1,…,t1)T∈Rn是多項(xiàng)式

h(s)=Sn+t1Sn-1+…+tn

(12)

其解的系數(shù)項(xiàng)。

本文采用的自適應(yīng)律為

(13)

(14)

為簡單起見，定義一個(gè)ξ(x)為

(15)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論驗(yàn)證該控制器相對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

證明考慮如下的李雅普諾夫函數(shù)

(16)

(17)

證明完畢。

由證明過程可得，設(shè)計(jì)出來的自適應(yīng)律滿足李雅普諾夫穩(wěn)定理論。所以通過以上步驟設(shè)計(jì)出來的模糊自適應(yīng)控制器可以使得系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下處于全局穩(wěn)定。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上述自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)步驟，應(yīng)用到經(jīng)典模型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)上[10]。在簡單模糊控制器的基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)算法。通過Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。通過傳統(tǒng)簡單的模糊控制器進(jìn)行對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制，Matlab軟件仿真結(jié)果如圖2所示。

圖1　自適應(yīng)模糊控制器的仿真結(jié)果

圖2　簡單模糊控制器的仿真結(jié)果

根據(jù)圖1和圖2的仿真結(jié)果可以看出，自適應(yīng)模糊控制和簡單模糊控制都可以使二級(jí)倒立擺處于穩(wěn)定狀態(tài)。由仿真結(jié)果也可以看出，自適應(yīng)模糊控制的結(jié)果，在平衡位置的振幅相對(duì)簡單模糊控制較小，向穩(wěn)定狀態(tài)的過渡時(shí)間相對(duì)較短，所以結(jié)果表明自適應(yīng)模糊控制的可行性，并且能夠有效改善控制器的控制精度和動(dòng)態(tài)性能。

4結(jié)束語

針對(duì)非線性系統(tǒng)，在簡單模糊控制器的基礎(chǔ)上加

入自適應(yīng)控制，構(gòu)造出自適應(yīng)模糊控制器。為驗(yàn)證控制器的有效性，將該控制器應(yīng)用到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)上，通過Matlab仿真，結(jié)果表明該控制器的有效性。并與簡單模糊控制器在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的應(yīng)用做比對(duì)，結(jié)果表明，自適應(yīng)模糊控制器在平衡位置的振幅較小，穩(wěn)態(tài)過度時(shí)間較短，有效的改善了控制器的控制精度和動(dòng)態(tài)性能。由此可見本文提出的自適應(yīng)模糊控制滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，并獲得了良好的控制效果。

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Design of Adaptive Fuzzy Controller for Nonlinear Systems

WU Haiqing, SU Zhan, SHEN Yuming

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,

Shanghai 200093, China)

AbstractIn this paper, a fuzzy adaptive controller is designed for the nonlinear system. The fuzzy adaptive controller is designed for the stability and control effect of the system based on the feedback control and the adaptive law of the parameter vector, combined with the Lyapunov stability theory. In order to verify the effectiveness of the controller, the controller is applied to the stability control of the two stage inverted pendulum system. The simulation results show that the controller is effective and has better control effect than the traditional control method.

Keywordsadaptive control; fuzzy control; Lyapunov stability theory; inverted pendulum

收稿日期:2015- 11- 11

作者簡介:吳海晴(1991-)，女，碩士研究生。研究方向：智能控制模糊控制等研究。蘇湛(1983-)，女，博士。研究方向：矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用等。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.07.011

中圖分類號(hào)TP273+.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1007-7820(2016)07-036-04