空間柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性分析與仿真

閆業(yè)毫, 和興鎖, 鄧峰巖

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安　710072)

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空間柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性分析與仿真

閆業(yè)毫, 和興鎖, 鄧峰巖

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安710072)

摘要：針對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)規(guī)律為未知的剛-柔耦合系統(tǒng)，利用有限元方法對(duì)柔性梁進(jìn)行離散，采用Lagrange方程建立空間柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)方程，研究在大范圍運(yùn)動(dòng)為自由情況下，空間柔性梁的大范圍運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)的相互耦合機(jī)理，比較零次模型、一次耦合模型、精確模型的差異，探討各種模型的適用性。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué)模型；空間柔性梁；剛-柔耦合系統(tǒng)；動(dòng)力學(xué)特性；非線性方法；模型分析；數(shù)值分析

文獻(xiàn)[1-2]針對(duì)非慣性系下大范圍運(yùn)動(dòng)為已知的柔性梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，在此類問(wèn)題中剛體運(yùn)動(dòng)是作為已知運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的，表征剛體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)并不出現(xiàn)在系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中，因而實(shí)際上這類剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)研究的是單向問(wèn)題，即只考慮了大范圍運(yùn)動(dòng)對(duì)柔性結(jié)構(gòu)的影響，而未考慮柔性體的變形對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響。而剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律未知的剛-柔耦合結(jié)構(gòu)，也大量存在于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，如給定驅(qū)動(dòng)力矩的柔性機(jī)械臂等結(jié)構(gòu)。因而這類考慮剛-柔部件之間相互耦合作用的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也受到研究者的重視[3-5]。同時(shí)，對(duì)中心剛體-卷簧-柔性梁這類典型結(jié)構(gòu)，有研究者進(jìn)行了一些理論和實(shí)驗(yàn)研究[6-7]。這些研究在一定程度上揭示了剛-柔耦合問(wèn)題的特性，為工程實(shí)際應(yīng)用做好了理論準(zhǔn)備。

但是以往研究未考慮完全的幾何非線性變形模式，其動(dòng)力學(xué)方程以及實(shí)驗(yàn)比較是建立在一次耦合模型基礎(chǔ)上的，因而只探討了零次模型和一次耦合模型的差異,以及耦合模型與剛體模型之間的差異，并未探討耦合模型之間的差異。此外，以往研究大多集中于平面結(jié)構(gòu)的剛-柔耦合問(wèn)題，而未涉及空間結(jié)構(gòu)的剛-柔耦合問(wèn)題。因此本文將對(duì)上述問(wèn)題做一深入的研究。

1空間柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性分析

考慮一固結(jié)在旋轉(zhuǎn)中心剛體上的空間懸臂柔性梁，如圖1所示。

圖1　中心剛體-空間懸臂梁-扭簧組成的空間剛-柔耦合結(jié)構(gòu)

(1)

可得到剛-柔耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(2)

(3)

考慮了柔性梁的縱向伸縮、橫向彎曲、側(cè)向彎曲及扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的幾何非線性因素對(duì)變形耦合的影響后,本文精確模型較一次耦合模型增加了劃線項(xiàng);在柔性梁的縱向變形中計(jì)及了耦合變量,保留了變形位移偏導(dǎo)數(shù)的二次耦合變量后,使得本文精確模型和一次耦合模型均含有附加項(xiàng)C、D。而零次模型不含有附加項(xiàng)C、D及劃線項(xiàng)。

2算例結(jié)果分析

計(jì)算仿真結(jié)果表明,當(dāng)初始角增大后,轉(zhuǎn)動(dòng)速度有較大增加,柔性梁的高階頻率(第三階)被激發(fā)出來(lái),但柔性體依舊對(duì)中心剛體的振動(dòng)影響較小,表現(xiàn)為中心體轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的頻譜圖第二、三階頻率的幅值相對(duì)很小。3種模型的第二、三階頻率出現(xiàn)差別,第一階頻率依舊相同,均為0.110Hz,第二階頻率,零次模型為1.672Hz,一次耦合模型為1.703Hz,本文精確模型為1.688Hz;第三階頻率,零次模型為4.750Hz,一次耦合模型為4.781Hz,本文精確模型為4.766Hz。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加后,耦合項(xiàng)C、D使得一次、本文模型的各階頻率較零次模型有所增加,體現(xiàn)出動(dòng)力剛化現(xiàn)象,而本文精確模型考慮了劃線的新增耦合項(xiàng)后,各階頻率又低于一次模型,說(shuō)明新增耦合項(xiàng)有使剛度降低的“軟化”趨勢(shì)。

改變K0、J0、R以獲得不同剛?cè)嵬队皠偠缺菿pt、剛?cè)嵬队皯T量比Jpt,比較不同初始角下的各階頻率如表1、表2所示。

不論剛?cè)嵬队皠偠缺?、剛?cè)嵬队皯T量比如何變化,隨著初始轉(zhuǎn)角的增大,造成角速度波動(dòng)變大,使其峰值增加,剛體運(yùn)動(dòng)范圍變大,因而耦合項(xiàng)C、D的作用逐漸明顯。在初始角增大后,一次、本文模型的高階頻率(第二、三階頻率)逐漸增加,體現(xiàn)出動(dòng)力剛化現(xiàn)象,而零次模型不能體現(xiàn)出動(dòng)力剛化現(xiàn)象,其高階頻率降低,一次、本文模型的高階頻率均高于零次模型。由于本文模型新增耦合項(xiàng)的“軟化”作用,使得本文精確模型的高階頻率低于一次耦合模型。

隨著卷簧剛度的增加,即剛-柔投影剛度比的增加,在較小的初始角下,也造成角速度波動(dòng)變大,其峰值增加。在相同初始角下,剛-柔投影剛度比較大的時(shí)候,3種模型的高階頻率差異較大。

參數(shù)初始角度/rad0.010.20.51零次模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0100.1950.4880.976一次模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0100.1950.4840.970本文模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0100.1960.4870.974零次模型第一階頻率/Hz0.1090.1090.1090.109一次模型第一階頻率/Hz0.1090.1090.1090.109本文模型第一階頻率/Hz0.1090.1090.1090.109零次模型與本文模型第一階頻率相對(duì)誤差/%0000一次模型與本文模型第一階頻率相對(duì)誤差/%0000零次模型第二階頻率/Hz1.6881.6881.6881.672一次模型第二階頻率/Hz1.6881.6881.6881.703本文模型第二階頻率/Hz1.6881.6881.6881.688零次模型與本文模型第二階頻率相對(duì)誤差/%0000.924一次模型與本文模型第二階頻率相對(duì)誤差/%0000.924

參數(shù)初始角度/rad0.010.20.51零次模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0180.3560.8921.787一次模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0180.3530.8821.742本文模型峰值角速度/(rad·s-1)0.0180.3540.8911.761零次模型第一階頻率/Hz0.1560.1560.1560.156一次模型第一階頻率/Hz0.1560.1560.1560.156本文模型第一階頻率/Hz0.1560.1560.1560.156零次模型與本文模型第一階頻率相對(duì)誤差/%0000一次模型與本文模型第一階頻率相對(duì)誤差/%0000零次模型第二階頻率/Hz1.7191.7191.7031.688一次模型第二階頻率/Hz1.7191.7191.7341.781本文模型第二階頻率/Hz1.7191.7191.7191.734零次模型與本文模型第二階頻率相對(duì)誤差/%000.9082.704一次模型與本文模型第二階頻率相對(duì)誤差/%000.9142.704

減小中心體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即剛-柔投影慣量比減小，使得梁的高階頻率被激發(fā)出來(lái)，即使在較小的初始角下，系統(tǒng)也具有高階頻率(第三階頻率)，同樣在較小的初始角下，也造成角速度波動(dòng)變大，其峰值增加。在相同初始角下，剛?cè)嵬队皯T量比較小的時(shí)候，3種模型的高階頻率差異較大。

系統(tǒng)的低階頻譜主要受中心剛體影響，與大范圍運(yùn)動(dòng)關(guān)系不大。此外，可發(fā)現(xiàn)對(duì)于大范圍運(yùn)動(dòng)為未知的剛-柔耦合柔性梁結(jié)構(gòu)而言，新增耦合項(xiàng)對(duì)空間柔性梁結(jié)構(gòu)影響較明顯，而對(duì)于平面柔性梁結(jié)構(gòu)并不顯著。

3結(jié)論

本文對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)規(guī)律為未知的空間剛-柔耦合柔性梁建立了動(dòng)力學(xué)方程，較零次模型和一次耦合模型，本文精確模型下動(dòng)力學(xué)方程包含了完整的耦合項(xiàng)。

本文研究發(fā)現(xiàn)，在初始角度較大，即系統(tǒng)具有較大的運(yùn)動(dòng)速度和較大的大范圍剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，零次模型與一次耦合模型和本文精確模型會(huì)出現(xiàn)差異，一次耦合模型和本文精確模型能夠體現(xiàn)出動(dòng)力剛化效應(yīng)，其高階頻率會(huì)隨著大范圍運(yùn)動(dòng)的增加而上升，而零次模型則相反。對(duì)于空間剛-柔耦合結(jié)構(gòu)，當(dāng)大范圍運(yùn)動(dòng)加劇后，本文精確模型下，系統(tǒng)的二階以上頻率低于一次模型，但仍高于零次模型，本文模型較一次耦合模型新增的耦合項(xiàng)，產(chǎn)生了“軟化”作用。

本文計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于大范圍運(yùn)動(dòng)為未知的剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)，其大范圍運(yùn)動(dòng)的速度、幅度，依然是決定動(dòng)力學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)模型適用的重要因素，在非慣性下的動(dòng)力剛化效應(yīng)，也存在于運(yùn)動(dòng)規(guī)律未知的剛-柔耦合結(jié)構(gòu)中。

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收稿日期：2015-10-22

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(10672133)資助

作者簡(jiǎn)介：閆業(yè)毫(1983—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事航天器動(dòng)力學(xué)與控制研究。

中圖分類號(hào)：O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2016)03-0480-05

Analyzing and Imitation of Dynamic Properties for Rigid-Flexible Coupling Systems of a Spatial Flexible Beam

Yan Yehao, He Xingsuo, Deng Fengyan

(Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:In this paper, the finite element method is used for the system discretization and the coupling dynamic equations of flexible beam are obtained by Lagrange′s equations. The second order coupling terms among rigid large overall motion, arc length stretch, lateral flexible deformation kinematics and torsional deformation terms are concluded in the present exact coupling model to expand the theory of one-order coupling model. The dynamic response of the present model is compared with that of zero-order approximate model and one-order coupling model. Then changing of dynamic stiffening terms due to the new coupling terms is discussed according to different models. At the same time, the effect of initial static deformation in the tip is considered to study the vibrant deformation of flexible beam. In addition, when the overall motions are free, the rigid-flexible coupling dynamics theory is extend to spatial structure form planar structure. The difference among zero-order approximate model, one-order coupling model and the present exact model is revealed by the frequency spectrum analysis method and concludes that the speed of overall motion is a vital cause for the difference among different models. And the dynamic stiffening phenomenon still exists in rigid-flexible coupling system while the overall motion is free. But the effect of dynamic stiffening in the present exact model is not as severe as that of the one-order coupling model.

Keywords:dynamics models, spatial flexible beam, rigid-flexible coupling systems, dynamic properties, nonlinear methods, model analysis, numerical analysis