基于損傷力學(xué)模型的概率疲勞壽命預(yù)測方法

劉瀟然, 孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安　710072)

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基于損傷力學(xué)模型的概率疲勞壽命預(yù)測方法

劉瀟然, 孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安710072)

摘要：基于金屬結(jié)構(gòu)危險點復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的疲勞損傷演化模型,利用材料的p-S～N曲線等對其部分損傷參數(shù)和材料參數(shù)進(jìn)行概率化處理,提出了一種通過隨機抽樣計算危險點概率裂紋形成壽命的方法,討論了損傷演化模型參數(shù)的基本概率特性以及相關(guān)性概念,采用拉丁超立方抽樣方法實現(xiàn)了概率損傷參數(shù)的隨機抽樣,由此進(jìn)行不同采樣點的疲勞損傷累積,繼而得到危險點的疲勞裂紋形成壽命。將損傷演化模型以UMAT子程序的形式嵌入ABAQUS軟件系統(tǒng)中,給定結(jié)構(gòu)模型及疲勞加載歷程,即可用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疲勞壽命分析。結(jié)合鋁合金2024-T3直耳片的疲勞試驗,對其危險點的疲勞損傷及裂紋形成壽命概率分布進(jìn)行了數(shù)值計算,初步表明了新算法模型的合理性。

關(guān)鍵詞：損傷演化模型;概率裂紋形成壽命;拉丁超立方抽樣;疲勞損傷累積

疲勞破壞是工程機械零構(gòu)件失效的主要形式之一,現(xiàn)行的工程估算方法并不能深入探究其疲勞損傷的累積過程,因而預(yù)測精度偏低?，F(xiàn)代損傷力學(xué)和有限元方法的結(jié)合可為復(fù)雜結(jié)構(gòu)高應(yīng)力危險點的疲勞損傷累積機理提供合理的數(shù)值計算方法,提高了疲勞壽命的預(yù)測精度。

連續(xù)損傷力學(xué)方法通過定義“損傷變量”來描述材料的疲勞行為,能夠較好地反映“損傷使材料性能不斷劣化”這一物理事實,在疲勞分析中得到了越來越多的應(yīng)用[1-2]。損傷力學(xué)-有限元方法能夠方便地實現(xiàn)材料內(nèi)部損傷與其他狀態(tài)變量(如應(yīng)力、應(yīng)變等)的關(guān)聯(lián),近年來在疲勞壽命的預(yù)測中得到了越來越多的應(yīng)用,T.W.Kim等在J.L.Chaboche提出的損傷演化方程基礎(chǔ)上進(jìn)行了鎳基合金的高溫疲勞蠕變壽命預(yù)測[3];R.Desmorat等對準(zhǔn)脆性材料的各向異性損傷模型和金屬材料的高周疲勞雙尺度損傷模型進(jìn)行了研究,并給出了數(shù)值模擬方法[4];唐雪松等通過損傷力學(xué)-有限元方法對軸對稱構(gòu)件的疲勞壽命進(jìn)行了預(yù)測[5];張淼等采用損傷力學(xué)方法預(yù)測了無擴口管路連接件的疲勞壽命[6]。

然而,上述研究大都屬于確定性分析的范疇,對疲勞壽命的分散性考慮甚少,損傷演化方程參數(shù)僅通過中值S～N曲線擬合獲取,并未考慮不同可靠度下的p-S～N曲線,獲得的損傷演化方程中的參數(shù)是確定的值;另一方面,由于制造工藝等原因,相同材料的不同試件之間的某些力學(xué)參數(shù)也存在差異,如極限強度,上述研究并未考慮此對疲勞壽命的影響。確定性分析雖可以描述疲勞損傷失效的基本規(guī)律,但卻不能體現(xiàn)疲勞壽命的概率特性,因此在疲勞壽命分析和計算中引入概率方法已成為必然[7-8]。

鑒于此,本文在修正的Lemaitre高周疲勞損傷演化方程的基礎(chǔ)上,綜合考慮以上因素對疲勞壽命分散性的影響,將損傷演化方程中的部分損傷參數(shù)及材料參數(shù)概率化,通過擬合p-S～N曲線獲得損傷參數(shù)的概率特征,結(jié)合有限元軟件建立了結(jié)構(gòu)危險點高周疲勞壽命的概率計算模型。通過預(yù)估鋁合金直耳片的壽命分布并與試驗結(jié)果比較,說明了本方法的有效性。

1金屬疲勞損傷的演化模型

近年來各國學(xué)者提出過很多不同的疲勞損傷演化模型,其中以法國學(xué)者Lemaitre于2005年提出的損傷演化方程應(yīng)用最為廣泛[9]。一個基于Lemaitre損傷演化方程的修正高周疲勞損傷演化方程如下所示[10]

(1)

式中,D為損傷變量,S為材料的損傷能量強度,s為描述損傷累積非線性的材料常數(shù),E為彈性模量,σf為疲勞極限,細(xì)觀三軸應(yīng)力函數(shù)Rv為

(2)

式中,v為泊松比,σm為靜水應(yīng)力。

(1)式中,每個循環(huán)產(chǎn)生的累積等效塑性應(yīng)變p為2(Δσ/E),PD為累積塑性應(yīng)變門檻值,表示損傷并不是伴隨著宏觀塑性同時產(chǎn)生,而是當(dāng)材料或者結(jié)構(gòu)內(nèi)部的能量累積到達(dá)臨界值后才開始出現(xiàn)。

(3)

(4)

式中,R為應(yīng)力比;c為與材料和構(gòu)型有關(guān)的常數(shù),鋁合金光滑試樣為1.60,鋁合金缺口試樣為1.40,結(jié)構(gòu)鋼光滑試樣1.66,結(jié)構(gòu)鋼缺口試樣2.16,鈦合金光滑試樣為1.66[11]。

此高周疲勞損傷演化方程可以很好地描述金屬構(gòu)件的疲勞損傷累積過程,本文將以此模型為基礎(chǔ)針對疲勞壽命的概率計算方法展開研究。

2概率疲勞壽命的算法設(shè)計思想

(1)式以塑性應(yīng)變損傷門檻值來判斷損傷的產(chǎn)生,累積等效塑性應(yīng)變p到達(dá)塑性應(yīng)變損傷門檻值PD之前不產(chǎn)生疲勞損傷,之后損傷開始產(chǎn)生并不斷累積,當(dāng)損傷到達(dá)失效閾值Dc時材料發(fā)生破壞,失效判據(jù)如下所示

(5)

在材料力學(xué)性能試驗時,相同條件下同類材料的不同試件得到的材料力學(xué)參數(shù)一般會有差異,但對于同一個試件應(yīng)該只有一組確定的力學(xué)參數(shù);材料損傷參數(shù)既然是材料力學(xué)性能劣化的一種表征,則應(yīng)同其他材料力學(xué)參數(shù)一樣具有上述性質(zhì)。本文認(rèn)為同類材料的損傷參數(shù)在不同試件之間的差異性才是疲勞壽命分散性產(chǎn)生的主要原因。

2.1材料損傷參數(shù)的概率化及獲取方法

材料的部分損傷參數(shù)是服從一定概率分布的隨機變量,稱這些損傷參數(shù)為概率損傷參量。材料的彈性模量E和泊松比ν的分散性本身很小,在計算中做常數(shù)處理。因此本文將損傷演化方程中剩余的概率損傷參數(shù)分為以下3類:

1) 與損傷門檻值有關(guān)的:σu,m;

2) 與損傷演化有關(guān)的:σf,S,s;

3) 材料損傷失效閾值:Dc。

其中,σu和σf的概率特性可以通過材料的靜力拉伸試驗或者直接查相關(guān)手冊獲得,疲勞損傷失效閾值Dc可根據(jù)斷裂應(yīng)力σr與極限應(yīng)力σu的值求出

(6)

可通過靜強度斷裂試驗獲得,對于金屬材料Lemaitre建議取0.2～0.5[9]。

一般情況下高周疲勞損傷的非線性累積較弱,取s=1。對于剩余的2個參數(shù)m和S,當(dāng)應(yīng)力水平和其他參數(shù)確定時,由損傷演化模型可知材料疲勞壽命N是m和S的函數(shù),即

(7)

另一方面,當(dāng)應(yīng)力水平確定時,疲勞壽命Nf又可以通過材料p-S～N曲線查到。m和S的取值應(yīng)當(dāng)使計算疲勞壽命N與實際疲勞壽命Nf盡可能的接近,據(jù)此可確定m和S的最優(yōu)解應(yīng)滿足下式

(8)

在p-S～N曲線上取k個疲勞壽命Nf,采用SQP優(yōu)化算法便可解得k組m和S的值,由于m和S之間可能并不獨立,其相關(guān)性系數(shù)可通過對上述解得k組值進(jìn)行相關(guān)性分析獲得。該方法的前提是認(rèn)為結(jié)構(gòu)疲勞破壞壽命與其剛達(dá)到損傷閾值的壽命相同,忽略了裂紋擴展壽命,這在高周疲勞問題中是可以接受的。

最后,上述各概率損傷參數(shù)的分布特征均可通過概率分布假設(shè)檢驗獲得。

2.2概率損傷參量的抽樣技術(shù)

對于獨立的概率損傷參量,選擇合適的抽樣方法即可進(jìn)行抽樣。本文采用的拉丁超立方抽樣方法(LHS)能夠避免一般蒙特卡羅方法大量重復(fù)的抽樣工作,保證了樣本采集的均勻性與唯一性,節(jié)省了抽樣次數(shù)的同時也顯著改善了數(shù)值模擬的精度,其過程如下[12-13]:

1) 對于任一隨機變量X,首先確定對其抽樣的次數(shù)n,然后將目標(biāo)變量的概率分布函數(shù)分為n個互不重疊且概率相等的子區(qū)間,如圖1所示。

圖1　LHS抽樣的子區(qū)間劃分

2) 在每個區(qū)間內(nèi)進(jìn)行獨立等概率抽樣,且每個子區(qū)間內(nèi)僅產(chǎn)生一個隨機數(shù),第j個區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)應(yīng)滿足下式

(9)

式中，u為[0,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機數(shù),Xj表示變量X的第j個子區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)。

3) 對隨機數(shù)Xj進(jìn)行累積分布函數(shù)反變換可得到變量X的隨機樣本。

由于參數(shù)S和m之間并不獨立,因此需首先將其等效地轉(zhuǎn)換成獨立的正態(tài)分布之后才能進(jìn)行抽樣。目前常用的轉(zhuǎn)換方法為Nataf轉(zhuǎn)換[14],Nataf轉(zhuǎn)換具有精度高和適用范圍廣的優(yōu)點,其基本原理如下所示。

設(shè)有n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量Y=(Y1,Y2,…,Yn)T,Y的相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ0=(ρ0ij)n×n,相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(10)

定義n維隨機變量X=(X1,X2,…Xn)T,其相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ=(ρij)n×n。根據(jù)等概率變換原則可得X和Y中的變量有如下函數(shù)關(guān)系

(11)

根據(jù)Nataf變換理論,利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則可推導(dǎo)出變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(12)

根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義及(11)式和(12)式可得變量X的相關(guān)系數(shù)與等效標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Y的相關(guān)系數(shù)有以下關(guān)系

(13)

當(dāng)Xi和Xj的邊緣分布函數(shù)及相關(guān)系數(shù)已知時,通過求解(13)式就可以確定等效相關(guān)系數(shù)。ρ0是一對稱正定矩陣,對其進(jìn)行Cholesky分解可得下三角矩陣Γ0,左乘Γ0的逆可將相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Y轉(zhuǎn)化為獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U

(14)

至此,采用拉丁超立方抽樣方法對獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U抽樣,再對其進(jìn)行上述變換的逆變換過程,即可得到對應(yīng)的概率損傷參量的隨機樣本。

對各概率損傷參量按以上方法進(jìn)行隨機抽樣,每組樣本值即代表一個隨機“試件”確定的損傷參數(shù)。

2.3疲勞損傷與有限元耦合算法

通過ABAQUS子程序UMAT將上節(jié)的損傷演化方程嵌入到有限元計算過程之中,通過考慮損傷值對材料彈塑性矩陣的影響,實現(xiàn)損傷與應(yīng)力應(yīng)變場的耦合,以反映材料損傷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載能力下降這一物理事實。

實現(xiàn)損傷與應(yīng)力應(yīng)變場耦合的具體方法如下:在一個循環(huán)結(jié)束后輸出應(yīng)力應(yīng)變的同時利用損傷演化方程實時計算該次循環(huán)造成的損傷增量,之后更新?lián)p傷變量與壽命值,再將更新后的損傷值代入材料彈塑性矩陣Dep,這樣在計算下次循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變場時使用的是已經(jīng)更新后的彈塑性矩陣Dep。當(dāng)損傷累積到達(dá)失效閾值Dc后,通過將該單元材料屬性中的彈性模量乘以一個趨零極小值來模擬該單元失效?？紤]到疲勞循環(huán)次數(shù)一般比較大,如果每次循環(huán)后都計算一次損傷增量將耗費較長的計算時間,故在處理這一問題時作以下簡化:在UMAT子程序內(nèi)設(shè)一dN來表示計算中每個加載周期實際代表dN次循環(huán)(dN取值過小則需要較長的計算時間,過大又容易引入較大的計算誤差,一般需依據(jù)預(yù)測壽命的量級來做調(diào)整,根據(jù)經(jīng)驗取材料疲勞壽命的1/20～1/50比較合適),任一單元到達(dá)損傷臨界值時的加載周期數(shù)乘以dN就是該單元的計算疲勞壽命。

當(dāng)結(jié)構(gòu)和載荷條件一定時,計算每個隨機“試件”的疲勞壽命便等同于獨立完成一次數(shù)值疲勞試驗,當(dāng)“試件”數(shù)量足夠大時統(tǒng)計多個“試件”的計算疲勞壽命便可獲得其分布特征。

概率疲勞壽命算法的設(shè)計目標(biāo)應(yīng)使計算疲勞壽命的概率特征符合試驗結(jié)果,算法的計算流程如下所示。

圖2　概率疲勞壽命算法流程圖

3試驗驗證

3.1試驗件及試驗結(jié)果

某直耳片試驗件尺寸如圖3所示。

圖3　直耳片試件尺寸圖

圖中所標(biāo)注尺寸單位為mm,耳片厚度為5.5mm,直耳片材料為鋁合金2024-T3,彈性模量E取71 000Mpa,泊松比v取0.33。試驗所加載荷譜如表1所示。

表1　直耳片疲勞載荷譜

試驗機為MTS810.13±250kN電液伺服萬能試驗機,加載頻率為20Hz,試驗中耳片壽命為耳孔斷裂時壽命。工程上一般認(rèn)為疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布,試驗結(jié)果及其對數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

表2　直耳片疲勞試驗結(jié)果

3.2建模及模型仿真

考慮耳片對稱性沿長度方向選取一半建模如圖4所示。模型左端面沿長度方向施加對稱約束,其余2個方向位移約束,右端銷釘上下表面施加切向載荷;銷釘與孔內(nèi)壁之間建立接觸約束以保證應(yīng)力能夠通過接觸面?zhèn)鬟f到耳片上的同時接觸面之間又不發(fā)生穿透;網(wǎng)格劃分采用8節(jié)點縮減積分體單元(C3D8R)。由于模型存在應(yīng)力集中,故第一個達(dá)到損傷失效閾值的單元所加載循環(huán)數(shù)認(rèn)為是構(gòu)件危險點的裂紋形成壽命,這相當(dāng)于將疲勞裂紋擴展一個單元長度時的壽命看成是結(jié)構(gòu)危險點的裂紋形成壽命,疲勞裂紋剩余擴展壽命被忽略。如果單元過小,則忽略的擴展壽命越多,從而使得計算的壽命誤差越大,單元過大,就會影響計算精度。一般情況下,裂紋擴展量達(dá)到0.5mm時,已經(jīng)占據(jù)裂紋擴展壽命的大部分,而此時單元尺度的計算精度也較高,因此本文將孔邊單元設(shè)定為0.5mm。

圖4　直耳片有限元計算模型

對于鋁合金2024-T3,損傷演化方程中概率損傷參量σu和σf的分布特征及其p-S～N曲線可通過現(xiàn)有資料[15]獲得,S、m與損傷門檻值Dc的分布特征可通過(6)式和(8)式及分布假設(shè)檢驗獲得,結(jié)果見表3,通過相關(guān)性分析得到S和m的相關(guān)性系數(shù)為0.348 4。

表3　鋁合金2024-T3損傷參數(shù)分布特征

按照2.2節(jié)中的抽樣技術(shù),對上述概率損傷參量進(jìn)行隨機抽樣,依次計算不同損傷參量樣本組合對應(yīng)的耳片危險點裂紋起始壽命,統(tǒng)計其分布特征,給出耳片計算裂紋起始壽命在不同置信度下的置信區(qū)間,并與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比以確定本文提出的概率疲勞壽命算法在工程應(yīng)用中的可行性。表4分別給出了耳片計算疲勞壽命的對數(shù)均值和對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。

表4　耳片計算疲勞壽命參數(shù)

由表2和表4可知,耳片計算疲勞壽命和試驗疲勞壽命的對數(shù)均值誤差為-0.26%,對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差誤差為27.7%。兩者的概率分布對比如圖5所示。分別由計算值和試驗值估計不同置信度下耳片疲勞壽命均值的置信區(qū)間臨界值,計算結(jié)果見表5。

圖5　計算疲勞壽命與試驗疲勞壽命概率分布對比圖

置信限閾值模型仿真試驗90%上限734260683361下限27551831721295%上限805082734446下限25128129514899%上限967877848360下限209016255517

從表中結(jié)果可以看出,相同置信度下由模型計算得到的耳片疲勞壽命置信區(qū)間要比試驗值的稍寬一些,這是因為計算疲勞壽命的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差比試驗值要大的緣故,說明此算法計算的疲勞壽命相對保守一些。除此之外,耳片的計算疲勞壽命與同等條件下的試驗壽命相比,兩者對數(shù)均值近似相等,而且試驗疲勞壽命全部落在計算疲勞壽命的90%置信區(qū)間內(nèi),從統(tǒng)計學(xué)角度來講精度已經(jīng)很高,說明此方法可以較好地預(yù)測高周疲勞壽命的概率特性。

4結(jié)論

1) 在修正的高周疲勞損傷演化方程的基礎(chǔ)上,將部分損傷參數(shù)及力學(xué)參數(shù)概率化,以鋁合金2024-T3為例,通過擬合材料的p-S～N曲線得到損傷參數(shù)的概率分布特征。

2) 通過ABAQUS子程序UMAT將損傷演化方程嵌入到有限元計算過程之中,通過考慮損傷值對材料彈塑性矩陣的影響,實現(xiàn)損傷與應(yīng)力應(yīng)變場的耦合,以反映材料損傷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載能力下降這一物理事實,建立了疲勞壽命的概率計算方法。

3) 利用本文提出的數(shù)值方法對鋁合金直耳片的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)估,數(shù)值計算結(jié)果與試驗疲勞壽命的分布特征符合較好,表明該方法可以用于預(yù)測金屬結(jié)構(gòu)件的高周概率疲勞壽命。

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收稿日期：2015-10-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51375386)資助

作者簡介：劉瀟然(1990—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器結(jié)構(gòu)疲勞行為研究。

中圖分類號：V215.5+2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)03-0424-07

The Prediction of Probability Fatigue Life Based on Damage Mechanics Model

Liu Xiaoran, Sun Qin

(College of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:A method of predicting probabilistic crack propagation life through random sampling is proposed, which is based on fatigue damage evolution model under complex stress state for metal structures. Some damage parameters and material parameters are regarded as random variables through p-S～N curve. The probability properties of damage parameters are discussed. Latin hypercube sampling is used to generate random samples of these parameters. Fatigue damage accumulation process is simulated for different samples to get crack initiation life. When structure and load are determined, fatigue life for complex structure can be obtained by embedding damage evolution equation in ABAQUS. The probabilistic properties of fatigue life for aluminum alloys 2024-T3 straight lugs are obtained through this method which coincide well with fatigue test results, which shows the validity of the method.

Keywords:ABAQUS, aluminum alloys, crack propagation, damage evolution model, fatigue damage, fatigue damage accumulation, latin hypercube sampling, probability, probabilistic crack initiation life, random variables, sampling, stress