機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

倪迎鴿, 侯赤, 萬(wàn)小朋, 趙美英

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安　710072)

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機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

倪迎鴿, 侯赤, 萬(wàn)小朋, 趙美英

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安710072)

摘要：結(jié)合多體動(dòng)力學(xué)中的浮動(dòng)坐標(biāo)系法和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)綜合法,建立了機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程,預(yù)測(cè)了機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性。將有理函數(shù)近似導(dǎo)出的折疊運(yùn)動(dòng)中的非定常氣動(dòng)力引入到動(dòng)力學(xué)控制方程中,獲得了機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)中在時(shí)變氣動(dòng)力作用下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。結(jié)果表明:機(jī)翼折疊過(guò)程越緩慢,得到的瞬態(tài)響應(yīng)越平穩(wěn);機(jī)翼柔性對(duì)折疊變形過(guò)程中的瞬態(tài)響應(yīng)影響較大;在一定的來(lái)流速度范圍內(nèi),來(lái)流速度越大,穩(wěn)態(tài)時(shí)翼尖位移響應(yīng)的振蕩越小,越有助于機(jī)翼的折疊變形。

關(guān)鍵詞：折疊機(jī)翼;瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng);有理函數(shù)近似;浮動(dòng)坐標(biāo)系法;模態(tài)綜合法

變體飛機(jī)通過(guò)機(jī)翼折疊可實(shí)現(xiàn)機(jī)翼面積200%的變化[1]。這種大幅度變形必然會(huì)引起機(jī)翼的氣動(dòng)力以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的變化。因此需要對(duì)變體飛機(jī)機(jī)翼在折疊變形過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。Scarlett等[2]和Reich等[3]結(jié)合有限元方法、多體動(dòng)力學(xué)、氣動(dòng)力模型,建立了折疊機(jī)翼柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。韓景龍課題組[4]通過(guò)對(duì)偶極子網(wǎng)格法的有理近似,并結(jié)合MSC. NASTRAN與ADAMS,建立了多體動(dòng)力學(xué)的瞬態(tài)響應(yīng)。此時(shí)使用的商業(yè)軟件不便于結(jié)構(gòu)模型與氣動(dòng)力模型的耦合。Selitrennik等[5]通過(guò)引入時(shí)變的坐標(biāo)變換矩陣、虛質(zhì)量子結(jié)構(gòu)綜合方法以及CFD計(jì)算結(jié)果,形成了狀態(tài)空間下的氣動(dòng)彈性模型,但是該模型中CFD的計(jì)算量較大。Zhao等[6]建立了機(jī)翼在折疊變形的動(dòng)力學(xué)方程,預(yù)測(cè)了機(jī)翼在不同變形速度下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),但是該模型沒(méi)有考慮氣動(dòng)力的作用,因此無(wú)法預(yù)測(cè)氣動(dòng)力對(duì)于機(jī)翼在折疊變形過(guò)程中動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

本文采用多體動(dòng)力學(xué)中的浮動(dòng)坐標(biāo)系法,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)綜合法,引入有理函數(shù)近似導(dǎo)出機(jī)翼折疊變形時(shí)非定常氣動(dòng)力,建立了一組微分代數(shù)方程來(lái)模擬機(jī)翼的折疊運(yùn)動(dòng),通過(guò)約束違約穩(wěn)定法[7]獲得了機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。該控制方程適用類(lèi)似的多段機(jī)翼結(jié)構(gòu),并且可以改變約束方程,獲得不同變形方式下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1機(jī)翼折疊變形過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)控制方程

機(jī)翼的幾何模型如圖1 所示。該模型由機(jī)身, 內(nèi)翼和外翼3個(gè)子結(jié)構(gòu)組成,分別記為子結(jié)構(gòu)A、B、C。機(jī)翼折疊運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)響應(yīng),可以看作是剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形的疊加。而浮動(dòng)坐標(biāo)系法就是將柔性體的運(yùn)動(dòng)分解為剛性運(yùn)動(dòng)和相對(duì)浮動(dòng)坐標(biāo)系的彈性變形[8]。另外,對(duì)于機(jī)翼這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu),采用有限元離散方法所得的自由度龐大,不利于動(dòng)力學(xué)方程的求解。而子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法是對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的有效手段。因此,多體動(dòng)力學(xué)中浮動(dòng)坐標(biāo)系法和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)綜合法的結(jié)合是解決該問(wèn)題比較好的方法[6]。如圖1所示,oxyz為慣性坐標(biāo)系,用于描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),oAxAyAzA、oBxByBzB、oCxCyCzC分別為浮動(dòng)坐標(biāo)系,用于描述柔性體的彈性變形。θA、θB、θC分別為子結(jié)構(gòu)A、B、C的折疊角。

圖1　機(jī)翼的幾何示意圖以及坐標(biāo)系

結(jié)合浮動(dòng)坐標(biāo)系法[8]以及模態(tài)綜合法[9],機(jī)翼的子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

1.1機(jī)翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合中的模態(tài)集選取

對(duì)于機(jī)翼結(jié)構(gòu),需要采用有限元方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散,提取模態(tài)信息,創(chuàng)建廣義質(zhì)量矩陣中柔性體彈性變形的慣性項(xiàng),再根據(jù)柔性多體動(dòng)力學(xué)理論建立動(dòng)力學(xué)控制方程。子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合將復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu),建立子結(jié)構(gòu)的模態(tài)集及模態(tài)坐標(biāo),利用界面的協(xié)調(diào)條件將各個(gè)子結(jié)構(gòu)組裝得到整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。此時(shí)所選取的模態(tài)集直接決定著柔性體變形量的準(zhǔn)確性。因此,這里詳細(xì)給出模態(tài)集的確定。采用有限元離散化形成的無(wú)阻尼動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

(4)

(5)

式中,φn為固定界面的主模態(tài)矩陣,φc為約束模態(tài)矩陣。此時(shí)模態(tài)矩陣包含子結(jié)構(gòu)的6個(gè)剛體模態(tài),不能直接應(yīng)用于機(jī)翼折疊變形的瞬態(tài)響應(yīng)分析。因此,需要進(jìn)行矩陣變換。為了求得變換矩陣,對(duì)下列公式進(jìn)行特征值求解

(6)

(7)

此時(shí)剛體模態(tài)就會(huì)顯式地表達(dá)出來(lái),剔除這些剛體模態(tài),便可以建立機(jī)翼的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。在工程中,阻尼矩陣可以通過(guò)模態(tài)阻尼比給出。此時(shí),引入阻尼矩陣,機(jī)翼子結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

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1.2機(jī)翼折疊變形過(guò)程中的時(shí)變氣動(dòng)載荷

采用偶極子法可以獲得頻域下的非定常氣動(dòng)力,通過(guò)有理近似可以導(dǎo)出任意運(yùn)動(dòng)情況下的非定常氣動(dòng)力。因此給時(shí)域非定常氣動(dòng)力的模擬提供了思路。作為機(jī)翼折疊變形中的氣動(dòng)載荷初步研究,本文采用偶極子網(wǎng)格法獲得了機(jī)翼的氣動(dòng)力。根據(jù)虛功原理,可以得到作用在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的等效力

(9)

1.3機(jī)翼折疊變形的動(dòng)力學(xué)控制方程

引入作用在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的等效力

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此時(shí)Q為頻域氣動(dòng)力。為了進(jìn)行機(jī)翼折疊變形時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)分析,這里采用最小狀態(tài)法進(jìn)行頻域氣動(dòng)力的有理函數(shù)近似獲得時(shí)域內(nèi)的氣動(dòng)力。此時(shí)有

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式中,A0、A1、A2、Ds和Es,均為最小狀態(tài)法近似中的未知矩陣,可以通過(guò)最小二乘法求得,Rs為氣動(dòng)力滯后矩陣。qa為氣動(dòng)力狀態(tài)變量。

對(duì)于機(jī)翼的折疊變形運(yùn)動(dòng),存在著運(yùn)動(dòng)約束和驅(qū)動(dòng)約束,可以表達(dá)成如下形式

(12)

式中

(13)

式中,M=blockdiag(MA,MB,MC),D=blockdiag(DA,DB,DC),K=blockdiag(KA,KB,KC)?？梢钥闯鲈搫?dòng)力學(xué)控制方程是微分代數(shù)方程,對(duì)于該方程可以采用約束違約穩(wěn)定法來(lái)求解[8]。將約束方程對(duì)時(shí)間進(jìn)行2次求導(dǎo),可以得到約束加速度方程,此時(shí)可以得到

(14)

2機(jī)翼折疊變形中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

為了預(yù)測(cè)機(jī)翼折疊變形的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),令折疊角θB的變化符合以下規(guī)律

(15)

式中,120°代表機(jī)翼折疊變形結(jié)束時(shí),子結(jié)構(gòu)B所要達(dá)到的角度。Ts代表變形結(jié)束時(shí)所需要的時(shí)間。

本文將各個(gè)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為等厚度的鋁板,在MSC.NASTRAN中被離散成四節(jié)點(diǎn)的CQUAD4單元,其單元屬性為PSHELL,這樣單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度,即3個(gè)平動(dòng)自由度ux、uy、uz,以及3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θx、θy、θz。機(jī)翼的有限元模型如圖2所示。通過(guò)DMAP語(yǔ)言來(lái)獲得子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,對(duì)于每個(gè)子結(jié)構(gòu)均保留6階模態(tài),每階所對(duì)應(yīng)的模態(tài)阻尼比為0.01。因此最終得到機(jī)翼折疊變形的動(dòng)力學(xué)控制方程,即公式(14)有46個(gè)方程,采用約束違約穩(wěn)定法解進(jìn)行求解,本文中取α=5,β=10,整個(gè)程序的編制均在MATLAB中完成。

圖2　機(jī)翼的有限元模型

2.1柔性機(jī)翼在重力作用下瞬態(tài)響應(yīng)

首先,不考慮氣動(dòng)力的作用。即在公式(14)中忽略與氣動(dòng)力有關(guān)的項(xiàng)。翼尖法向位移響應(yīng)如圖3所示。

圖3　翼尖法向位移響應(yīng)

當(dāng)Ts=2 s,Ts=6 s時(shí),分別在1.27 s、3.81 s附近,θB=90°,此時(shí)子結(jié)構(gòu)B與子結(jié)構(gòu)A與C垂直,翼尖法向位移達(dá)到最大值。明顯地,柔性對(duì)翼尖法向位移響應(yīng)有較大影響。在整個(gè)變形中,翼尖的位移衰減收斂,并且變形結(jié)束時(shí),位移穩(wěn)定值要比剛性機(jī)翼時(shí)的位移穩(wěn)定值要小。由于在公式(14)中引入了結(jié)構(gòu)阻尼,位移響應(yīng)呈收斂的趨勢(shì)。Ts越大,意味著變形越緩慢,翼尖的法向位移變化也較緩慢。

對(duì)于剛性機(jī)翼,作用在子結(jié)構(gòu)B上合力在機(jī)翼折疊變形開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的值均等于子結(jié)構(gòu)B的重力,即4.89 N。而作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力矩,在變形運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)大約為341.36 Nmm,在變形結(jié)束時(shí)保持在-157.18 Nmm。初始值和穩(wěn)定值均等于子結(jié)構(gòu)B的重力產(chǎn)生的力矩。作用在子結(jié)構(gòu)C上的合力,初值和穩(wěn)定值基本為子結(jié)構(gòu)C的重力,即11.564 N。作用在子結(jié)構(gòu)C上的力矩,其初值和穩(wěn)定值基本一樣,均為2 885 Nmm。這是因?yàn)闄C(jī)翼在折疊變形的過(guò)程中,子結(jié)構(gòu)C始終保持水平,所以子結(jié)構(gòu)C的重心相對(duì)于其浮動(dòng)坐標(biāo)系沒(méi)有很大的變化。在變形的過(guò)程中,無(wú)論是作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,還是作用在子結(jié)構(gòu)C的力、力矩,均發(fā)生變化。

柔性對(duì)作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,以及作用在子結(jié)構(gòu)C上的力、力矩有較大的影響。與剛性相比,作用在柔性子結(jié)構(gòu)B上的合力有較大振蕩,已經(jīng)改變了在剛性狀態(tài)下的變化趨勢(shì),但是隨著時(shí)間的增加,合力呈收斂的趨勢(shì)。對(duì)于合力矩而言,也有一定的震蕩。作用在柔性子結(jié)構(gòu)C上的合力、合力矩有較大的振蕩,均呈衰減收斂的趨勢(shì)。重力是一種體力,柔性體重力產(chǎn)生的廣義力與彈性變形有關(guān)。所以在折疊變形時(shí)彈性變形發(fā)生變化,另外,彈性力與阻尼力也會(huì)對(duì)合力和合力矩產(chǎn)生一定的影響。

圖4　柔性機(jī)翼在重力作用下的力學(xué)響應(yīng)

2.2柔性機(jī)翼在重力和氣動(dòng)力作用下瞬態(tài)響應(yīng)

其次,考慮在重力和氣動(dòng)力同時(shí)作用下柔性機(jī)翼的瞬態(tài)響應(yīng),在公式(14)中,ρ=1.226kg/m3,M∞=0.0,分別計(jì)算了不同來(lái)流速度下的瞬態(tài)響應(yīng)如圖5和圖6所示。

圖5　不同來(lái)流速度下翼尖法向位移響應(yīng)

不同來(lái)流速度下翼尖法向位移響應(yīng)如圖5所示。當(dāng)Ts=2s時(shí),在1.27s附近,θB=90°,翼尖法向位移達(dá)到最大值。與柔性機(jī)翼的位移響應(yīng)有些類(lèi)似,在不同的來(lái)流速度下翼尖的法向位移有一定的振蕩。但從局部的放大圖中可以看出,隨著來(lái)流速度的增加,折疊變形結(jié)束時(shí)的振蕩減小。這主要是由于氣動(dòng)阻尼的存在,也表明氣動(dòng)力有輔助折疊變形的作用。

從圖6中可以看出,在氣動(dòng)力的作用下,隨著來(lái)流速度的增加,作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,以及作用在子結(jié)構(gòu)C上的力、力矩均呈衰減振蕩?？紤]氣動(dòng)力時(shí),氣動(dòng)力與彈性位移相關(guān),且是分布力,因此相對(duì)于重力產(chǎn)生的力矩而言,是較小的,因此與柔性機(jī)翼的結(jié)果類(lèi)似。由于氣動(dòng)阻尼的存在,力與力矩均有所減小。在一定的來(lái)流速度范圍內(nèi),氣動(dòng)力有助于機(jī)翼的折疊變形。

圖6　柔性機(jī)翼在重力和氣動(dòng)力作用下的力學(xué)響應(yīng)

3結(jié)論

結(jié)合多體動(dòng)力學(xué)中的浮動(dòng)坐標(biāo)系法與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中模態(tài)綜合法,本文建立了機(jī)翼折疊變形過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)控制方程,該控制方程考慮了一些非線(xiàn)性項(xiàng),如與速度二次方有關(guān)的廣義慣性力,可以用于分析機(jī)翼在緩慢變形和快速折疊變形的瞬態(tài)響應(yīng)。分析了機(jī)翼柔性對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。將有理函數(shù)近似導(dǎo)出的折疊變形運(yùn)動(dòng)中的非定常氣動(dòng)力近似表達(dá)式引入到動(dòng)力學(xué)控制方程中,分析了柔性機(jī)翼的瞬態(tài)氣動(dòng)彈性響應(yīng)?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論:

1) 運(yùn)用浮動(dòng)坐標(biāo)系法與模態(tài)綜合法建立的折疊機(jī)翼動(dòng)力學(xué)控制方程。該控制方程適用類(lèi)似的多段機(jī)翼結(jié)構(gòu),并且可以改變約束方程,可以獲得不同變形方式下的瞬態(tài)響應(yīng);

2) 對(duì)機(jī)翼折疊變形過(guò)程越緩慢,得到的瞬態(tài)響應(yīng)越平穩(wěn);對(duì)于柔性折疊機(jī)翼而言,柔性對(duì)機(jī)翼在折疊變形過(guò)程的瞬態(tài)響應(yīng)影響較大;

3) 考慮氣動(dòng)力時(shí),在一定的流速范圍內(nèi),來(lái)流速度越大,在變形結(jié)束后翼尖位移響應(yīng)的振蕩越小。因此氣動(dòng)力在一定的程度上有助于機(jī)翼的折疊變形運(yùn)動(dòng)。

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收稿日期：2015-05-19

作者簡(jiǎn)介：倪迎鴿(1987—),女，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生,主要從事變體飛機(jī)一體化設(shè)計(jì)的研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：V271.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2016)03-0418-06

Transient Dynamic Response Analysis of a Wing in the Folding Motion

Ni Yingge, Hou Chi, Wan Xiaopeng, Zhao Meiying

(College of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:A set of equations which govern the time evolutions of a wing in the folding motion are developed to predict the transient dynamic responses by integration the floating frame approach in multibody dynamics with component modal synthesis in structural dynamics. The developed equations are further integrated with unsteady aerodynamics in the folding motion which is obtained by rational function approximation to carry out the transient dynamic responses with time-varying aerodynamics. Results demonstrate that the transient responses are more stable in a slower folding motion. The flexible wing has a great effect on the responses. Within a certain flow velocity a greater velocity means a smaller oscillation of the tip displacement and contributes to the folding motion.

Keywords:folding wing;transient dynamic responses;rational function approximation;floating frame approach;component modal synthesis;unsteady aerodynamics; dynamics; time varying systems