基于陣列天線的歸一化變步長抗干擾算法研究*

袁鑫，吳榮剛，孫武，蔣清富

(北京遙感設備研究所,北京　100854)

?

基于陣列天線的歸一化變步長抗干擾算法研究*

袁鑫，吳榮剛，孫武，蔣清富

(北京遙感設備研究所,北京100854)

摘要：針對陣列天線的自適應抗干擾方法，研究了線性約束最小方差(LCMV)算法，并對其收斂性進行分析，提出歸一化變步長線性約束最小方差(LCMV)算法。該方法解決了定步長自適應算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差不能同時滿足的難題，避免了協(xié)方差矩陣求逆運算，減小了運算量，便于工程實現(xiàn)。通過仿真和實驗表明，該算法收斂速度快，能在干擾方向上形成很深零陷，干擾抑制效果好。

關鍵詞：自適應；陣列天線；收斂速度；穩(wěn)態(tài)誤差；線性約束最小方差；抗干擾

0引言

近年來，自適應陣列天線技術廣泛的應用在衛(wèi)星導航領域，用于對抗敵方人為的干擾，從而提高軍事武器的精確打擊能力。該技術根據(jù)信號和干擾的實際環(huán)境靈活地控制各個天線陣元的加權參數(shù)，自動調(diào)節(jié)天線方向圖的形狀，在不影響有用信號增益的前提下，對干擾進行有效的調(diào)零抑制。而自適應抗干擾算法是整個自適應天線技術的核心內(nèi)容，成為大家普遍關注的重點[1-2]。

基于陣列天線的空域自適應處理是有效的自適應抗干擾算法，但是由于空域處理本身自由度的限制，當存在大量寬帶干擾和窄帶干擾時，采用空域處理需要更多的天線陣列，花費太大。空時自適應處理[3](space-time adaptive processing,STAP)聯(lián)合空域處理和時域處理的優(yōu)點，在不增加天線陣元的情況下，通過時間抽頭來增加陣列天線自適應處理的自由度以抑制大量窄帶干擾，寬帶干擾和色散多徑干擾[4]，但是這種處理方法需要求解協(xié)方差矩陣的逆，抽頭數(shù)越多，矩陣維數(shù)越大，逆運算復雜度越高，實時性很難保證。因此一系列不需要數(shù)據(jù)存儲，計算量小的遞推算法[5]應運而生。

常用的自適應算法有最小均方誤差(LMS)算法[6-7]和遞推最小二乘(RLS)算法[8]。RLS算法直接對協(xié)方差矩陣的逆進行遞推估計更新，收斂速度快，但是計算復雜度高，存儲量大，不利于實時實現(xiàn)；LMS算法結構簡單，魯棒性強，計算量小，但是收斂速度慢，穩(wěn)定性差。本文在線性約束最小方差LCMV算法的基礎上分析算法性能，提出歸一化變步長LCMV算法，提高其收斂速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差，實施性強，并模擬真實干擾進行仿真驗證。

1LCMV算法

空時自適應算法處理結構[9-10]如圖1所示。天線陣共有M個陣元，每個陣元通道后有一個N階FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器各抽頭輸入信號如圖1所示。

圖1　空時自適應算法處理結構圖Fig.1　Functional block diagram of adaptive pace-ime processing

用x表示輸入信號矩陣為

x=(x11,x12,…,x1N,x21,x22,…,x2N,…,xM1,xM2,…,xMN)T.

(1)

用MN×1維向量w表示處理器權矢量，則

w=(w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,wM1,…,wMN)T.

(2)

空時濾波器的輸出值為

y=wHx.

(3)

各陣元接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為R=E[xxH](MN×MN維)，由線性約束最小方差準則，該處理器可以描述為如式(4)的最優(yōu)化問題

(4)

在約束條件下求得權向量的第一陣元的加權系數(shù)w11=w12=…=w1N=1，利用拉格朗日乘子法可以推導出最優(yōu)空時處理器的解為

(5)

為了避免求逆過程帶來運算量大的問題，首先預設一個初值w(0)，使得w從w(0)開始沿著pout減小的方向自適應的調(diào)整到wopt。pout減小的最快方向是其負梯度方向，結合約束條件wHS=1，可以得到遞推式:

(6)

式中：μ為步長因子；▽pout為輸出功率梯度，調(diào)整a為了滿足wH(n+1)S=1成立，因此

[w(n)-μ▽wpout+aS]TS=1，

(7)

(8)

將式(8)帶入式(6)可以得到遞推表達式為

(9)

結合最小均方誤差(LMS)算法則有

w(n)x(n).

(10)

最后可以得到基于線性約束最小方差LCMV準則的最優(yōu)權值遞推表達式

(11)

公式(11)中只有一個參數(shù)μ，必須選擇合適的μ否則算法的收斂性不能得到保證。下面對其收斂特性進行分析。

2LCMV收斂性分析

衡量LCMV算法性能指標主要有算法的收斂性，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差[11-12]。首先分析收斂性，它是實現(xiàn)其自適應功能的根本保證。定義權值誤差矢量

v(n)=w0-w(n).

(12)

將式(12)代入權值更新公式，取期望利用歸納遞推可得

E{v(n+1)}=(I-μR)E{v(n)}.

(13)

對R進行特征值分解R=QΛQT，并令v′(n)=QTv(n)，則式(13)可變換為

E{v′(n+1)}=(I-2μΛ)nE{v′(0)}.

(14)

當n→∞，I-2μΛ→0，此時權系數(shù)的期望值才能收斂到最優(yōu)權矢量。因此要使LCMV算法收斂于均值，必須使步長因子μ滿足

(15)

式中：λmax是協(xié)方差矩陣R的最大特征值，當?shù)螖?shù)接近于無窮大時，自適應濾波器系數(shù)矢量近似等于最佳維納解wopt。由于協(xié)方差矩陣是正定性Hermite矩陣，因此

(16)

式中：tr[R]為R的跡，等于R的對角線元素之和，也等于輸入信號的總功率。

因此將(16)代入(15)，可以把收斂條件進一步嚴格為式(17)。因此如果陣元數(shù)固定，已知輸入信號功率和濾波器階數(shù)，通過式(17)選擇合適的步長因子，可以控制自適應算法的收斂性。

(17)

其次分析算法的收斂速度，需要引入時間常數(shù)參數(shù)。當步長參數(shù)μ比較小時，時間常數(shù)近似為

(18)

由式(18)可知，時間常數(shù)與迭代步長μ成反比，步長μ越小，算法收斂速率越慢，步長μ越大，算法收斂速率越快。如圖2所示，不同的μ收斂速度不同，μ=0.005時，迭代次數(shù)在500點之后才開始收斂，而μ=0.01時，迭代次數(shù)在200點之后就收斂了。

圖2　不同步長參數(shù)的輸出收斂曲線圖Fig.2　Convergence diagram of different step size parameters

為了進一步分析衡量算法收斂速度的指標，定義最大時間常數(shù)為

(19)

當輸入信號相同時，最大時間常數(shù)下界可寫為

(20)

由式(20)可以看出，最快收斂速度的大小由輸入信號協(xié)方差矩陣R特征值的分散程度決定。而協(xié)方差矩陣R的特征值在一定程度上可以反映干擾的強度和個數(shù)，因此當沒有干擾時，R特征值的分散度最小，收斂最快；當存在干擾時，如果輸入陣列的信號功率譜密度具有很大的動態(tài)時，就會難以收斂。

最后分析穩(wěn)態(tài)誤差。在圖2中，當曲線趨于穩(wěn)定時，縱軸所對應的數(shù)值就是該自適應算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。假設沒有噪聲，那么在自適應迭代過程中，LCMV算法的濾波器權系數(shù)矢量就會收斂于一個穩(wěn)態(tài)解，這個解為均方誤差性能曲線表面的最小點，此時式(12)中的v的協(xié)方差為0，均方誤差等于ξmin。然而實際過程中因為存在噪聲，會引起穩(wěn)態(tài)權矢量解隨機地圍繞最小點發(fā)生變化，產(chǎn)生超量均方誤差，即ξ的穩(wěn)態(tài)值將會大于ξmin。定義超量均方誤差，反映真實性能與最佳性能在時間平均上差別的量度[13]：

EMSE=E[ξn-ξmin]≈μξmintr[R].

(21)

穩(wěn)態(tài)失調(diào)定義為超量均方誤差與最小均方誤差的比值，它是自適應算法實際性能和最佳性能在時間平均上的差別的一個量度，表達式如下：

(22)

式(22)表現(xiàn)了梯度估值噪聲引起的自適應系統(tǒng)的性能與最佳維納解性能之間的差異。可以看出失調(diào)M正比于步長μ。因此μ是一個控制收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的常量[14]：選擇大的μ可以很快收斂，但是當收斂到wopt附近后將在一個較大的鄰域內(nèi)抖動而無法進一步收斂；選擇較小的步長可以收斂到wopt附近很小的鄰域，但是收斂速度非常緩慢。

3歸一化變步長LCMV算法

比較歸一化LCMV算法的遞歸表達式與傳統(tǒng)的LCMV算法的遞歸表達式，可以看出歸一化LCMV算法可以看作是一種特殊的變步長的LCMV算法，通過除以信號功率進而消除由于輸入權向量過大而導致的噪聲增加。同時，也增大了算法的動態(tài)輸入范圍，提高算法的收斂速度，因此比傳統(tǒng)的LCMV算法收斂性能更佳。

xH(n)w(n).

(24)

如圖3所示，歸一化LCMV算法在1 000次迭代后收斂到最小均方誤差，而LCMV算法在5 000次迭代后才收斂到最小均方誤差?？梢?，由于變步長的原因使得歸一化LCMV算法具有更快的收斂速度，另外歸一化LCMV算法的收斂條件與輸入信號的特征值無關，并且計算量與LCMV算法相當，因此歸一化LCMV算法在實際中比LCMV算法應用更為廣泛。

圖3　歸一化LCMV和LCMV的穩(wěn)態(tài)誤差輸出值比較Fig.3　Comparison diagram of static error between normalized LCMV and LCMV

4性能仿真

本仿真實驗采用四元圓形天線陣，每個陣元的延遲數(shù)為N=3。接收機處理帶寬為B=4 MBZ，中頻f=46 MBZ，采樣率fs=62 MBZ。噪聲功率設置為-80 dBW。干擾設置情況如表1所示。

表1　干擾參數(shù)表

為了更好的反映干擾在空間中的位置信息，如圖4所示，x軸為俯仰角，y軸為方位角，通過music算法得到5個干擾的空間譜峰圖，與表1給出的干擾信息一致。通過采用歸一化變步長LCMV自適應抗干擾算法得到自適應的權系數(shù)，利用該權系數(shù)得到抗干擾零陷圖，如圖5所示，零陷深度基本都在-70 dB以下，說明能夠對抗該場景下的多個寬帶干擾。

圖4　干擾分布圖Fig.4　Distribution diagram of interferences

圖5　自適應抗干擾零陷圖Fig.5　Null steering diagram of adaptive antijamming

圖6為自適應抗干擾處理收斂圖，可以看出，當?shù)\算在8 000點以后權值收斂，收斂時間大約為120 μs，收斂速度很快。圖7為抗干擾處理前后頻譜對比圖，紅色為抗干擾前5個寬帶干擾在4 MBZ頻譜內(nèi)的疊加，藍色為抗干擾后輸出的噪聲譜，說明自適應算法能很好地抑制干擾信號到噪聲門限以下。

圖6　自適應抗干擾處理收斂圖Fig.6　Convergence diagram of adaptive antijamming

圖7　自適應抗干擾處理前后頻譜圖Fig.7　Frequency spectrum diagram of adaptive antijamming

5結束語

歸一化變步長LCMV算法解決了定步長算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差不能同時滿足的問題，該算法應用于陣列天線抗干擾方向，能很好的解決空時自適應濾波協(xié)方差矩陣求逆運算量大的問題，通過迭代運算可以達到和求逆運算一樣的抗干擾效果，便于工程實現(xiàn)。經(jīng)實驗仿真表明，對大于陣元個數(shù)的多個寬帶干擾，算法收斂快速，能在干擾方向上形成很深零陷，將干擾抑制到噪聲門限以下。

參考文獻：

[1]王永良，丁前軍，李榮鋒.自適應陣列處理[M].北京：清華大學出版社，2009：73-80.

WANG Yong-liang, DING Qian-jun, LI Rong-feng. Adaptive Array Processing[M].Beijing : Tsinghua University Press,2009:73-80.

[2]Li Jow Hsin. Study of Adaptive Antenna Array for GPS Interference Mitigation[D].Master’s thesis, National Cheng Kung University，2005.

[3]郭藝.GPS接收機空時抗干擾理論與實現(xiàn)關鍵技術研究[D].長沙：國防科學技術大學，2007.

GUO Yi. The Theory and Key Realization Technologies of Space-Time Interference Suppression for GPS Receiver[D].Changsha: National University of Defense Technology,2007.

[4]FANTE R L, VACCRO J J. Wideband Cancellation of Interference in a GPS Receive Array[J]. IEEE Trans on AES,2000,36(2):549-564.

[5]REED C W, VAN WECHEL R, JOHNSTON I, et al. FaSTAPTM: A Scalable Anti-Jam Architecture for GPS[C]∥ Position Location and Navigation Symposium, 2004:496-502.

[6]張全普，邱麗原. LMS自適應濾波器干擾方法[J]. 電子科技，2012，25(7):86-88.

ZHANG Quan-pu, QIU Li-yuan. Research on Jamming Methods Against the LMS Adaptive Filter[J]. Electronic Sci.&Tech.,2012,25(7):86-88.

[7]徐紹檔，唐世軍.一種變步長LMS自適應濾波算法研究[J].測試技術學報，2004,18(zl):81-84.

XU Shao-dang, TANG Shi-jun. Study of A Variable Step Size LMS Adaptive Filtering Algorithm[J].Journal of Test and Measurement Technology, 2004,18(zl),81-84.

[8]CIOFFI J M, KAILATH T. Windowed Fast Transversal Filters for Recursive Least Squares Adaptive Filtering[J]. IEEE Trans. on ASSP，1985,33(3):607-625.

[9]宋文武. GPS接收機空時抗干擾濾波技術研究[J]. 艦船科學技術，2010，32(7)：77-80.

SONG Wen-wu. Research on Space Time Anti-Jam Filtering Technology for GPS Receiver[J].Ship Sci.&Tech.,2010,32(7):77-80.

[10]孫曉昶，黃甫堪，陳強，等.GPS接收機抗干擾空時自適應濾波方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2004，25(8):168-173.

SUN Xiao-chang, HUANG Fu-kan, CHEN Qiang, et al. Joint Space-Time Adaptive Filtering for GPS Anti-Jamming Receiver[J]. Journal of China Institute of Communications, 2004,25(8):168-173.

[11]BILCU R C, KUOSMANEN P，EGIAZARIAN K. A Transform Domain LMS Adaptive Filter with Variable Step-Size[J]. IEEE Signal Processing Letters，2002,9(2):51-53.

[12]CHAN S C, ZHOU Y. Improved Generalized-Proportionate Step Size LMS Algorithms and Performance Analysis[C]∥ ISCAS, 2006:2325-2328.

[13]POOR H V. An Introduction to Signal Detection and Estimation [M]. 2nd ed.New York: Springer-Verlag,1994.

[14]谷源濤，唐昆.新的變步長歸一化最小均方算法[J].清華大學學報:自然科學版，2002,42(1):15-18.

GU Yuan-tao, TANG Kun. Novel Variable Step Size NLMS Algorithm[J]. Tsinghua Univ:Sci&Teched,2002,42(1):15-18.

[15]DOUGLAS S C, Analysis and Implementation of the Max-NLMS Adaptive Filter[C]∥The 29th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, vol.1, Pacific Grove, CA,1995:659-663.

Normalized Variable Step Size Adaptive Interference Suppression on Array Antenna

YUAN Xin, WU Rong-gang, SUN Wu, JIANG Qing-fu

(Beijing Institute of Remote Sensing Equipment, Beijing 100854,China)

Abstract:Aimed at the adaptive interference suppression method on array antenna, the method and convergence of linearly constrained minimum variance (LCMV) is discussed. A normalized variable step size adaptive algorithm based on LCMV is proposed. This algorithm not only can resolve the contradiction between convergent speed and static error but also reduce the computational burden of covariance matrix inverse algorithm. It can decrease the computational amount and be realized easily. Both simulation and testing results demonstrate that the algorithm can provide faster convergence, generate deeper null steering in the direction of interferences and effectively suppress them.

Key words:adaptive； array antenna; convergent speed; static error; linearly constrained minimum variance(LCMV); antijamming

*收稿日期：2015-04-16；修回日期：2015-07-08

基金項目：有

作者簡介：袁鑫(1986-)，女，陜西寶雞人。工程師，碩士，主要研究方向為北斗導航和陣列抗干擾技術。

通信地址：100854北京市142信箱205分箱1號轉十一室E-mail：yx.tiger@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.02.012

中圖分類號：TN82；TN973.3；TP301.6

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-02-0074-06

導航、制導與控制