均布荷載下軟土地基一維非線性固結(jié)的有限差分法

趙明華,賀成斌,,馬繽輝,陳秋南,雷 勇（.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南長沙 4008；.湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南湘潭 40）

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均布荷載下軟土地基一維非線性固結(jié)的有限差分法

趙明華1,賀成斌1,2,馬繽輝2,陳秋南2,雷 勇2
（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南長沙 410082；2.湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南湘潭 411201）

摘要:針對深厚軟黏土地基一維固結(jié)計算中,土體初始應(yīng)力和附加應(yīng)力分布形式對地基固結(jié)度存在較大影響的問題,假設(shè)土體初始應(yīng)力沿深度變化、外荷載引起的附加應(yīng)力隨時間和深度變化、土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足雙曲線模型,推導(dǎo)了均布荷載下軟土地基的一維非線性固結(jié)控制方程,并采用差分法求解,得到了地基固結(jié)度及沉降計算公式。算例分析表明,該方法計算所得地基固結(jié)度與傳統(tǒng)解析解吻合良好,且在時間維度上分段計算可有效提高差分法計算效率;采用該方法計算地基沉降所得結(jié)果與實測數(shù)據(jù)吻合較好,且能大幅度簡化固結(jié)計算過程,具有較好的工程應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞:軟黏土;一維固結(jié);非線性;有限差分法;均布荷載;雙曲線模型

傳統(tǒng)的太沙基一維固結(jié)理論假定外荷載為一次瞬時施加,并未考慮實際工程中外荷載往往是線性、分級或者是循環(huán)施加的特點,也未考慮土體本身應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性特征,故此許多學(xué)者進行了改進研究。Schiffman[1]最先分析了變荷載下的地基一維固結(jié)問題,之后Wilson等[2-5]對該問題作了進一步的研究,得到了很多有益的結(jié)論。賴勇等[6]進行了特殊應(yīng)力路徑下的土體固結(jié)排水試驗,其所得土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系結(jié)果與對數(shù)曲線型非線性模型、正弦函數(shù)型非線性模型和傳統(tǒng)的雙曲線模型的擬合結(jié)果較為吻合；余湘娟等[7]采用修正的雙曲線模型擬合了正常固結(jié)狀態(tài)下土的次固結(jié)系數(shù)與壓力之間的定量關(guān)系,提出了正常固結(jié)土次固結(jié)沉降量計算的一種修正方法；何良德等[8]提出了一種反映沉降速率與剩余沉降半立方非線性關(guān)系的雙曲線預(yù)測模型。此外,在一維非線性固結(jié)理論的研究中,Davis 等[9-11]基于e-lgσ′關(guān)系來考慮土體物理非線性特性,但先期固結(jié)壓力的取值對e-lgσ′模型計算地基沉降至關(guān)重要,如何確定先期固結(jié)壓力仍是一個頗有爭議的問題。鑒于此,魏汝龍[12]認(rèn)為如果無法合理地區(qū)分初壓和再壓,則可利用雙曲線模型計算地基沉降,且計算結(jié)果優(yōu)于e-lgσ′模型；徐少曼[13]經(jīng)過試驗也證明了雙曲線模型能夠更好地模擬軟黏土的本構(gòu)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上,施建勇等[14]得到了荷載瞬時施加時的雙曲線模型一維固結(jié)理論,其計算結(jié)果與室內(nèi)試驗吻合較好,但由于試驗所用試樣較小,無法驗證該理論在計算深厚軟黏土?xí)r的適用性；張磊等[15]基于雙曲線模型建立了變荷載作用下的地基一維固結(jié)理論,然而,該理論假設(shè)土體初始有效應(yīng)力和附加應(yīng)力沿深度不變,這與實際情況不盡相同。因此,本文結(jié)合前人研究成果,以土體應(yīng)力應(yīng)變的雙曲線模型為出發(fā)點,假定地基初始應(yīng)力沿深度變化,同時外荷載引起的附加應(yīng)力隨時間和深度變化,推導(dǎo)均布荷載下地基一維固結(jié)控制方程,并引入有限差分法進行求解,得到地基固結(jié)度及沉降計算公式。

1 一維固結(jié)控制方程

1.1 基本假設(shè)

設(shè)軟土為飽和狀態(tài),壓縮土層厚度為H,軟土地基表面透水,底面的排水條件分為透水和不透水兩種。地表作用隨時間變化的均布路堤荷載qtop（t）。地基內(nèi)水壓力分布情況見圖1,其中ρwg（h1+H-z）為深度z處的靜水壓力；pw為該處總的水壓力；u為均布路堤荷載qtop（t）在土體中產(chǎn)生的超孔隙水壓力。

圖1 地基一維固結(jié)模型示意圖

a.土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足雙曲線模型:

b.設(shè)滲透系數(shù)k和壓縮系數(shù)av成比例關(guān)系[15]:

式中:ρw為水的密度；g為重力加速度；cv為固結(jié)系數(shù)；e0為初始孔隙比；const為常量。

c.土體的初始有效應(yīng)力σ′0（z）沿深度z變化。

d.考慮外荷載隨時間變化（見圖2（a））,則外荷載引起的土體附加應(yīng)力也隨時間變化,且附加應(yīng)力沿深度也會變化,因此附加應(yīng)力可用q（t,z）表示（見圖2（b））。

圖2 外荷載線性增加時土體中附加應(yīng)力分布

1.2 固結(jié)控制方程推導(dǎo)

在基本假設(shè)a、b的基礎(chǔ)上可得到一維固結(jié)控制方程為

根據(jù)有效應(yīng)力原理,深度z處的應(yīng)力表達式為

式（4）兩邊分別對z、t求偏導(dǎo),可得:

將式（5）（6）代入式（3）可得均布荷載下的地基一維非線性固結(jié)控制方程為

1.3 邊界和初始條件

a.初始時刻,上部荷載全部由孔隙水壓力承擔(dān),其數(shù)學(xué)表達式為

b.加載后,地基底面為透水層時,底面孔隙水壓力為零,其數(shù)學(xué)表達式為

c.加載后,地基底面為不透水層時,表面孔隙水壓力為零,其數(shù)學(xué)表達式為

d.地基頂面透水、底面不透水時,土體豎向超靜孔壓與下臥層的超靜孔壓相等。

2 控制方程的差分法求解

2.1 差分法格式

按照有限差分法的基本原理,以深度z為縱軸,時間t為橫軸,建立地基固結(jié)分析的計算區(qū)域。將深度z劃分為M等份,時間t劃分為N等份,建立差分法計算網(wǎng)格。如圖3所示,網(wǎng)格節(jié)點代表孔隙水壓力u,其中ua,b表示加載至a時刻地基中深度b處的孔隙水壓力值。

圖3 差分法網(wǎng)格劃分示意圖

將初始條件和邊界條件寫成差分格式:

對于控制方程（7）,采用Crank-Nicolson格式離散后得如下差分格式:

式中:T為總的固結(jié)時間；M、N分別為深度和固結(jié)時間的網(wǎng)格數(shù)。

為簡化計算,將式（12）作線性化處理,可得:

由于線性化處理必然會帶來誤差,為了盡量減小誤差,可以通過細(xì)化差分網(wǎng)格進行調(diào)整。假設(shè):

則兩種邊界條件下的差分法計算公式可寫成如下形式:

底面透水時,A為（M-1）×（M-1）階矩陣,u為（M-1）×1階矩陣,B為（M-1）×1階矩陣。在t=aΔt時有:

底面不透水時,A為M×M階矩陣,u為M×1階矩陣,B為M×1階矩陣。在t=aΔt時有:

2.2 固結(jié)度計算公式

依據(jù)單向壓縮原理,可知地基沉降的計算公式為

按沉降定義的地基平均固結(jié)度計算公式可寫成:

此外,地基平均固結(jié)度按平均孔壓定義也可表示為

2.3 理論驗證

引用文獻[16]中的算例進行驗證。計算參數(shù)為:壓縮土層厚度為5m,且底面為透水層；荷載經(jīng)過50d的時間從qa=0kPa線性增加至qa=300kPa,之后維持不變；土體固結(jié)系數(shù)cv=5.7888×10-3m2/d,初始壓縮模量E0=1687 kPa。

文獻[16]中的解析解假設(shè)外荷載引起的附加應(yīng)力隨時間和深度呈線性分布,且土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為線彈性模型。對應(yīng)本文差分法解答的特殊情形,即m=0,則式（1）可寫成:

以下采用本文前面提出的有限差分法（以下簡稱本文方法）計算地基平均固結(jié)度,為提高計算效率,在時間維度上將差分計算分為兩段:第一段時長為100d,分成500份,Δt=0.2d；第二段時長為剩下的1800 d,共分1800份,Δt=1 d。本文方法計算所得地基平均固結(jié)度與文獻[16]的解析解計算結(jié)果見表1。

表1 地基平均固結(jié)度計算結(jié)果

由表1可知,本文方法計算結(jié)果與文獻[16]的解析解計算結(jié)果最大相對誤差僅為0.0106％,表明本文方法合理可行,且能夠滿足計算精度要求。

3 算 例

為驗證本文方法對變荷載作用和一維非線性固結(jié)條件下地基固結(jié)度計算的可行性,選用文獻[3]中的算例進行分析。該算例為位于Ca’Mello的筒倉軟基工程,軟基上施加的荷載隨時間的變化規(guī)律見圖4中的外荷載曲線。Favaretti等[3]對軟基沉降進行了現(xiàn)場觀測,并通過試驗測得了土體固結(jié)系數(shù)（cv=0.1296m2/d）以及加載過程中土體應(yīng)力應(yīng)變的變化規(guī)律。本文根據(jù)文獻[3]中的土性指標(biāo)擬合得到土體雙曲線模型的壓縮特性參數(shù)為: E0=270 kPa,m=0.9。設(shè)土體所受初始應(yīng)力為土體的自重應(yīng)力,其大小沿深度線性增加。采用本文方法計算地基沉降并與文獻[17]的解析解以及文獻[3]中實測值進行對比,結(jié)果見圖4。

圖4 地基沉降曲線

由圖4可知,本文方法計算所得沉降曲線的起伏趨勢與實測結(jié)果基本一致,而文獻[17]的解析解沉降曲線則滯后于實測結(jié)果,表明本文方法更具有合理性和可行性。

實際上,地基沉降解析解往往都是在標(biāo)準(zhǔn)荷載形式下推導(dǎo)得出的,不能靈活處理實際工程中的變荷載問題。利用文獻[17]的理論計算上述軟基沉降時,需要將外荷載簡化成標(biāo)準(zhǔn)的簡諧荷載,這樣必然會導(dǎo)致人為誤差,從而使理論計算的沉降曲線與實測曲線不同步,而本文方法只需將外荷載的函數(shù)表達式輸入程序,無論是脈沖荷載、簡諧荷載還是多次分級荷載都能夠準(zhǔn)確模擬,從而減少了荷載形式轉(zhuǎn)換步驟,減小了人為誤差,大大簡化了地基固結(jié)度和沉降的計算過程,且可通過時間維度的分段計算手段,獲得較高計算精度,因此具有解析解無法替代的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

a.本文方法可適應(yīng)各種變荷載情況,能大幅度簡化固結(jié)計算過程,且可通過在時間維度上分段計算的方法有效提高計算效率,計算結(jié)果與傳統(tǒng)解析解吻合良好,表明本文方法合理可行。

b.本文方法考慮了外荷載是時間的函數(shù)的情況,可解決實際工程中脈沖荷載、簡諧荷載或者多次分級加載條件下地基固結(jié)度和沉降計算問題。計算時只需將外荷載的函數(shù)表達式輸入程序,避免了其他理論計算方法需進行外荷載形式轉(zhuǎn)換的步驟,減小了人為誤差,大大簡化了地基固結(jié)度和沉降的計算過程,因此具有較好的工程應(yīng)用價值。

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中圖分類號:TU471.8

文獻標(biāo)志碼:A

文章編號:1006- 7647（2016）03- 0026- 05

DOI:10.3880/j.issn.1006- 7647.2016.03.006

基金項目:國家自然科學(xué)基金（51308208,41372303）；湖南省自然科學(xué)基金（2015JJ3069）

作者簡介:趙明華（1956—）,男,教授,博士,主要從事高等級公路特殊土路基處理技術(shù)研究。E-mail:mhzhaohd@21cn.com

收稿日期:（2015- 04 23 編輯:熊水斌）

Finite differencemethod for one-dimensional nonlinear consolidation of softground under uniform loads

ZHAOMinghua1, HE Chengbin1,2,mA Binhui2,CHEN Qiunan2, LEI Yong2（1.College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China；2.School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China）

Abstract:In the calculation of one-dimensional soft clayground consolidation in deep soil, initial stress and additional effective stress distributions in soilgreatly influence the degree of consolidation ofground.With regard to this problem, one-dimensional nonlinear consolidationgoverning equations of softground under uniform loads are derived and solved with the finite differencemethod, based on the assumptions that the initial stress in soil varies with theground depth, and the additional effective stress caused by external loads changes with bothground depth and consolidation time, as well as the hyperbolicmodel of the soil stress-strain relationship.Formulas for the degree of consolidation and settlement ofground are presented.A case study shows that the degree of consolidation ofground calculated with the finite differencemethod agrees with the traditional analytical solution, and the computational efficiency of the finite differencemethod can be effectively improved when the segmental calculationmethod is used throughout the consolidation process.The results of another example show that the settlement ofground calculated with the finite differencemethod agrees with the in-situ data.The suggestedmethod cangreatly simplify the consolidation calculation and is of high applicative value in engineering.

Key words:soft clay；one-dimensional consolidation；nonlinearity；finite differencemethod；uniform load；hyperbolicmodel